高中數(shù)學一元二次含參不等式的解法探討

張明

摘 要： 新課標改革背景下，高中數(shù)學教學工作面臨新的標準要求，選取高中數(shù)學一元二次含參不等式這一課時內容加以探究，結合普通高中數(shù)學新課程標準對數(shù)學教學的新要求與建議，以及本校實際教學情況、現(xiàn)有成果，探究高中數(shù)學一元二次含參不等式的解法，真正打造以學生為主體的課堂，提升高中數(shù)學課堂教學效率.

關鍵詞： 高中數(shù)學 一元二次含參不等式 教學設計

一、問題提出

在新課程不斷深化改革的教育背景下，以我校（高中）數(shù)學教學工作為例，課程體系、教學內容設置發(fā)生了很大變動.在這種情況下，我們必須重新審視高中數(shù)學教學，例如，在“教”與“學”的過程中，新課標要求數(shù)學教師要以學生學習為主體，引導學生對數(shù)學的感受和理解，有意識培養(yǎng)學生積極主動學習的心態(tài)思維.對于數(shù)學這門學科來說，最大的教育價值就在于培養(yǎng)、提升學生的創(chuàng)新能力、思維能力，本質強調的就是事物不斷變化發(fā)展規(guī)律.簡單一點講，是指在課堂教學、教學設計中，注重學生發(fā)生問題、分析問題、解決問題的過程式能力培養(yǎng)，這是一種數(shù)學思想方法的滲透，目的很明確，就是讓學生學以致用.一元二次含參不等式這一章節(jié)內容在整個高中數(shù)學教學內容體系內，占據(jù)重要地位，是高中集合知識的鞏固與整合，同時也是導數(shù)、線性規(guī)劃、直線與圓錐曲線等知識認知的基礎，更重要的是蘊含數(shù)學思想方法中最本質的一項，包括歸納、轉化、數(shù)形結合等.因此，一元二次含參不等式的解法在整個高中代數(shù)中扮演著不可替代的工具作用，尤其在普通高中新課程標準出臺之后，在該課時教學環(huán)節(jié)，更注重課前教學設計、課后反思及課中情境創(chuàng)設教學模式.

二、一元二次含參不等式解法

關于高中數(shù)學一元二次含參不等式的解法，以及相關教學設計，在該教學工作中，必須注重這一問題，在課堂教學設計層面，可堅持從兩個方向切入.首先是強化學生的分類意識，合理分類，其次是確定討論對象.以一元二次含參不等式該章節(jié)為例，確定討論主題環(huán)節(jié)包括三類，第一類是討論二次項系數(shù)型，第二類是討論判別式型，第三類是討論根的大小型.這里簡單探討前兩種最常見、過程相對容易的解題策略.

（一）二次項系數(shù)

二次項系數(shù)是我們在高中數(shù)學一元二次含參不等式學習中最常見的一種題目類型，如題目1“m∈R，求解不等式m x +2mx-3<0中的x取值范圍？”

對于題目1這種題型，首先要探討分析其中二次項系數(shù)，學生清楚地看到二次項系數(shù)是用字母表示的，在這種情況下，學生最先想到的應該是分析二次項系數(shù)的兩種情況，為0時，不為0時.然后分類討論，當二次項系數(shù)為0時，該一元二次含參不等式就變成了一元一次不等式.緊接著解出“-3<0”，該不等式恒成立；當二次項系數(shù)不為0時，可以將上述一元二次含參不等式分解，分解后得出（mx+3）（mx-1）<0，計算到該步驟環(huán)節(jié)，可以將該不等式的兩個根表示出來，x =3/m，x =1/m.第三步就是分類探討m的另一種情況，即m>0時和m<0時.當m取值大于0時，x的解的集合表示為{x|-

最后，將上述所有探討分析的情況統(tǒng)一歸納，最終得出正確的解題答案：

①當m>0時，x的取值范圍-

②當m=0時，x∈R；

③當m<0時，x的取值范圍

（二）判別式

一元二次含參不等式例題2“求解2x +ax+2>0方程中的x”.以例題2為例，對于例題1而言，可以直接探討分析二次項系數(shù)，也就是其中的字母，但對于例題2不等式，當其中有字母，并且不容易觀察到該字母對應方程是否存在實根的時候，解題策略是討論判別式，思路保持不變，合理分類、確定討論.

第一步，令不等式等于0，即2x +ax+2=0，然后分類探討三種情況：

①當△=a -16<0時，不等式大于0恒成立；

②當△=a -16>0時，可求出方程式的解，即在小于小根、大于大根的范圍情況下，不等式恒成立.

③當△=a -16=0時，求出方程式的解，在實根以外的范圍內，不等式恒成立.

首先，△<0，即-4

其次，△>0，即a<-4或者a>4，得出原不等式的兩個方程根，x = （-a- ），x = （-a+ ）.

最后，△=0，即a =16，進一步得出a=±4，在±4的情況下，x的解為-a/4，計算得出一元二次含參不等式中x解范圍為x∈R且x≠-a/4.

三、解題過程中常見錯誤及注意事項

一元二次含參不等式是高一的一章節(jié)內容，對學生整個高中數(shù)學學習影響重大.高一數(shù)學中的一元二次不等式與初中階段相比較，兩者應當是一種過渡關系，是高一學生對一元二次含參不等式概念、形式了解比較模糊的主要原因，因為接觸到的大多數(shù)學生比較容易受思維定勢的影響，在學習和解題過程中經常忽略掉二次項系數(shù)的取值范圍，特別對個別特殊的解集的判定，比較容易混淆.其次，就是學生對一元二次含參不等式求解能力有待進一步強化，很多學生對它的性質理解不夠透徹，包括數(shù)學知識間的邏輯聯(lián)系、集合關系與不等式解集之間的轉化關系，以及分式不等式等價轉化等.總體來看，在新課標課堂教學中，數(shù)學老師應當繼續(xù)強化課堂分類討論解題思想，在具體細節(jié)上加以改造，側重對學生數(shù)學解題思想的運用.

參考文獻：

[1]楊春娟.含參一元二次不等式的解法與恒成立問題[J].中學生數(shù)學（高中版），2015（2）：28.

[2]劉正權.用已知求未知——高中數(shù)學函數(shù)中一類含參問題解法分析[J].中學教學參考，2014（8）：42.

[3]陳建紅.含參數(shù)不等式的解法[J].新課程學習：基礎教育，2012（10）.