初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的實(shí)踐與思考

葛善成 李明樹 王曉峰

摘? 要：項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是通過(guò)合作探究解決真實(shí)情境中的復(fù)雜問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方式. 文章從實(shí)踐的角度明確初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、價(jià)值、設(shè)計(jì)及實(shí)施策略，以“做數(shù)學(xué)”為基本實(shí)踐樣態(tài)，將“定寬曲線”的項(xiàng)目任務(wù)分解為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、持續(xù)探究、成果展示、評(píng)價(jià)引領(lǐng)四個(gè)部分，強(qiáng)調(diào)自我規(guī)范、展示交流、智慧分享、完善作品，注重學(xué)生的活動(dòng)體驗(yàn)和思維發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：項(xiàng)目式學(xué)習(xí)；定寬曲線；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

基金項(xiàng)目：2022年中國(guó)教育學(xué)會(huì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究（初中）專項(xiàng)課題——初中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)素養(yǎng)行為表現(xiàn)及其教學(xué)案例研究（22ZS101411ZB）．

作者簡(jiǎn)介：葛善成（1990— ），男，一級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究；

李明樹（1977— ），男，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究；

王曉峰（1970— ），男，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、命題和評(píng)價(jià)研究．

一、初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為主，其目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是一套系統(tǒng)的教學(xué)方法，它是對(duì)復(fù)雜、真實(shí)問(wèn)題的探究過(guò)程，也是精心設(shè)計(jì)項(xiàng)目作品、規(guī)劃和實(shí)施項(xiàng)目任務(wù)的過(guò)程，學(xué)生在此過(guò)程中能夠掌握所需的知識(shí)和技能. 有國(guó)內(nèi)研究者將核心素養(yǎng)時(shí)代項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵定義為一種建構(gòu)性的教與學(xué)的方式，即教師指導(dǎo)學(xué)生基于真實(shí)情境提出問(wèn)題，利用相關(guān)知識(shí)和信息資料開展研究、設(shè)計(jì)和實(shí)踐操作，最終解決問(wèn)題并展示和分享項(xiàng)目成果.

在實(shí)踐中，我們結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，將初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)總結(jié)為基于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)，圍繞數(shù)學(xué)教育活動(dòng)展開，學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)核心知識(shí)、技能、方法、思想，融合其他學(xué)科知識(shí)解決真實(shí)情境問(wèn)題的實(shí)踐性學(xué)習(xí)活動(dòng)，最終目標(biāo)是深化學(xué)生的知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)生的高階思維. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)將課堂教學(xué)和實(shí)踐活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，帶領(lǐng)學(xué)生深入體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，體現(xiàn)以問(wèn)題為導(dǎo)向、以探究為核心、以共同發(fā)現(xiàn)為形式、以發(fā)展思考能力為目標(biāo)的教育理念，有助于學(xué)生形成思考方法、判斷能力、批判性思維、創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.

二、初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略

夏雪梅教授提出了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)框架，即“尋找核心知識(shí)—形成本質(zhì)問(wèn)題—轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題—澄清項(xiàng)目的高階認(rèn)知策略—確認(rèn)主要的學(xué)習(xí)實(shí)踐—明確學(xué)習(xí)成果及公開方式”，并設(shè)計(jì)覆蓋全程的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn). 結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)應(yīng)該指向核心素養(yǎng)，以解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為重點(diǎn)，通過(guò)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識(shí)的有效整合，構(gòu)建包含本質(zhì)問(wèn)題、驅(qū)動(dòng)問(wèn)題、核心知識(shí)、高階認(rèn)知、學(xué)習(xí)實(shí)踐、項(xiàng)目成果、反思評(píng)價(jià)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)體系. 我們?cè)趯?shí)踐中探索出以“做數(shù)學(xué)”為基本實(shí)踐樣態(tài)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)施策略，如圖1所示.

“做數(shù)學(xué)”以知行合一為認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)、以建構(gòu)知識(shí)為學(xué)習(xí)論基礎(chǔ)、以情境認(rèn)知為教學(xué)論基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)的方式，用情境支持知識(shí)理解. 從實(shí)施途徑來(lái)看，“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐模型包括操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐三類；從目標(biāo)指向來(lái)看，“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐模型包括驗(yàn)證理解、探索發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用實(shí)踐三類. 其具體實(shí)施路徑為：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)—持續(xù)探究—成果展示—評(píng)價(jià)引領(lǐng).

三、項(xiàng)目設(shè)計(jì)與實(shí)施

項(xiàng)目活動(dòng)1：查閱資料，了解車輪的發(fā)展史.

學(xué)生活動(dòng)：車輪作為人類的先進(jìn)發(fā)明之一，是車輛前進(jìn)的基本組成單元. 學(xué)生在課前查閱資料，了解車輪的起源和發(fā)展史，以及車輪在人類文明史上的重要意義，并在課堂上展示成果.

【反思與評(píng)價(jià)】學(xué)生主動(dòng)了解車輪的演變歷程，從歷史發(fā)展的角度闡述“車輪是圓形的”這一事實(shí)，深刻認(rèn)識(shí)車輪給人類社會(huì)發(fā)展帶來(lái)的進(jìn)步. 通過(guò)為學(xué)生提供一個(gè)來(lái)源于生活的問(wèn)題，促使學(xué)生思考司空見慣的現(xiàn)象背后的科學(xué)原理，產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意愿.

項(xiàng)目活動(dòng)2：探究將車輪做成圓形的優(yōu)勢(shì).

（1）操作體驗(yàn)：感悟非圓形車輪滾動(dòng).

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)三角形或正方形車輪在滾動(dòng)時(shí)不夠平穩(wěn)，說(shuō)明將車輪做成圓形是由于其具有“定寬”的特征（必要性）.

教師進(jìn)而提出問(wèn)題：除了圓形以外，還有什么圖形具備“定寬”的特征？其是否可以替代圓形車輪？

學(xué)生嘗試探究將三角形、正方形、圓形做成車輪的圖形運(yùn)動(dòng)特征，成果展示如下.

第1組：我們組分別借助等邊三角形、正方形塑料片畫出了其頂點(diǎn)和中心在滾動(dòng)過(guò)程中形成的軌跡；借助圓形塑料片畫出了圓上一點(diǎn)和圓心運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.

第2組：我們組嘗試用GeoGebra或網(wǎng)絡(luò)畫板等軟件進(jìn)行不同圖形滾動(dòng)過(guò)程的動(dòng)態(tài)演示，但在制作時(shí)發(fā)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)的背后蘊(yùn)含了大量算理，沒有成功. 然后我們發(fā)現(xiàn)了一款趣味仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)——Algodoo軟件，它可以通過(guò)拖拽、傾斜等方式實(shí)現(xiàn)高精度的物理仿真實(shí)驗(yàn). 我們使用簡(jiǎn)單的繪圖工具創(chuàng)建和編輯場(chǎng)景，完成了本次任務(wù)，如圖2所示.

第3組：我們組通過(guò)尺規(guī)作圖分別作出了圓形車輪滾動(dòng)過(guò)程中圓上一點(diǎn)和圓心運(yùn)動(dòng)形成的軌跡，以及等邊三角形和正方形在滾動(dòng)過(guò)程中頂點(diǎn)和中心運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.

（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：為了保證車子平穩(wěn)前進(jìn)，車輪是不是只能做成圓形？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位展開分工合作，制作萊洛三角形小車并進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn).

學(xué)生成果展示：圖3為萊洛三角形小車滾動(dòng)前進(jìn)演示實(shí)驗(yàn).

實(shí)物演示后，再借助Algodoo軟件直觀演示萊洛三角形滾動(dòng)的畫面（如圖4），從中抽象出萊洛三角形.

（3）探索發(fā)現(xiàn)：觀察圖5，思考萊洛三角形是如何構(gòu)成的.

操作：你能借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出萊洛三角形嗎？

思考：萊洛三角形是如何維持車座平穩(wěn)的呢？

【反思與評(píng)價(jià)】首先，通過(guò)非圓形車輪滾動(dòng)使學(xué)生獲得大量的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲；其次，利用萊洛三角形小車和Algodoo軟件，使學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察思考、歸納抽象等過(guò)程建構(gòu)萊洛三角形的概念. 在項(xiàng)目學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑的意識(shí)和勇于探究的精神.

項(xiàng)目活動(dòng)3：探究定寬曲線的性質(zhì).

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位，先獨(dú)立思考，再與小組內(nèi)成員共同完成如下項(xiàng)目作業(yè).

探索發(fā)現(xiàn)：滾動(dòng)萊洛三角形，在滾動(dòng)過(guò)程中，萊洛三角形每時(shí)每刻都有一個(gè)最高點(diǎn)，其中心也在不停地移動(dòng)位置，試畫出最高點(diǎn)和中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并探究定寬曲線的性質(zhì).

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生借助萊洛三角形塑料片動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)萊洛三角形在滾動(dòng)過(guò)程中雖然中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡上下波動(dòng)，但是其最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡卻是平穩(wěn)的，如圖6所示. 這說(shuō)明萊洛三角形在任意方向上的寬度保持不變，從而引出定寬曲線的概念.

思考：除了萊洛三角形外，還有什么圖形符合定寬曲線的特征？

探索：設(shè)定寬曲線的寬度為d，試計(jì)算表1中各圖形的周長(zhǎng)與面積.

學(xué)生成果展示如下.

（1）巴比爾定理：如果定寬曲線的寬度為d，則其周長(zhǎng)為πd，與具體形狀無(wú)關(guān).

（2）布拉什科-勒貝格定理：在寬度相同的定寬曲線中，萊洛三角形面積最小.

（3）等周定理：在寬度相同的定寬曲線中，圓的面積最大.

【反思與評(píng)價(jià)】引導(dǎo)學(xué)生類比萊洛三角形的構(gòu)造方法，以正奇數(shù)多邊形的頂點(diǎn)為圓心、對(duì)角線為半徑構(gòu)造萊洛多邊形. 對(duì)于正偶數(shù)多邊形，學(xué)生嘗試用正方形構(gòu)造，構(gòu)造方法較多，教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算其在不同方向上的寬度，歸納出結(jié)論，即正偶數(shù)多邊形不能構(gòu)造出萊洛多邊形. 學(xué)生經(jīng)歷操作實(shí)驗(yàn)，理解了萊洛多邊形的構(gòu)成元素，便可以進(jìn)一步探索寬度相同的定寬曲線的周長(zhǎng)和面積特征，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力.

項(xiàng)目活動(dòng)4：萊洛三角形真的能做成車輪嗎？

萊洛三角形具備成為車輪的潛質(zhì)，但也有不可避免的缺陷，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生討論改進(jìn)方案，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

綜合實(shí)踐：與圓形車輪相比，萊洛三角形車輪有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)小組合作的形式討論出萊洛三角形車輪和圓形車輪各自的優(yōu)缺點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)相對(duì)于圓形車輪，萊洛三角形車輪的優(yōu)點(diǎn)是節(jié)省材料，缺點(diǎn)是對(duì)制作工藝和技術(shù)要求較高，有明顯的用力集中區(qū)域，易磨損，重心不穩(wěn).

思考：針對(duì)萊洛三角形車輪的以上缺點(diǎn)，你能否設(shè)計(jì)改進(jìn)方案？

學(xué)生成果展示如下.

（1）重心不穩(wěn)問(wèn)題的解決方案1：類比火車鐵軌，設(shè)計(jì)萊洛三角形專用車道，如圖7所示.

（2）重心不穩(wěn)問(wèn)題的解決方案2：根據(jù)機(jī)械原理，加裝傳動(dòng)裝置，如圖8所示.

（3）易磨損問(wèn)題的解決方案：把圓繞著萊洛三角形滾動(dòng)一周，得到“圓滑”的定寬曲線，如圖9所示.

【反思與評(píng)價(jià)】雖然萊洛三角形車輪因其自身固有的缺陷沒有在生活中得到廣泛應(yīng)用，但也不失為一個(gè)選擇. 在定寬的基礎(chǔ)上探究改進(jìn)方案，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力. 從某種層面上來(lái)說(shuō)，科學(xué)研究就是研究“無(wú)用之學(xué)”，正是由于研究“無(wú)用之學(xué)”，才不斷拓展了人類知識(shí)和認(rèn)知的邊界.

項(xiàng)目活動(dòng)5：定寬曲線的應(yīng)用價(jià)值.

美國(guó)NASA的技術(shù)人員為檢驗(yàn)火箭截面是否為圓形提出了一套檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：每隔60°測(cè)量一次火箭在該方向截面內(nèi)兩點(diǎn)間距離的最大值，如果三次測(cè)得的結(jié)果相同，火箭的截面即為圓形.

問(wèn)題：如圖10，這套檢驗(yàn)方法真的科學(xué)有效嗎？

學(xué)生成果展示：學(xué)生提出該檢測(cè)方法并不科學(xué)，并給出如圖11所示的反例.

【反思與評(píng)價(jià)】定寬曲線因具有定寬的特性，在生活中有著獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值，如掃地機(jī)器人、幼兒專用鉛筆等. 萊洛三角形最為人所熟知的應(yīng)用是汽車發(fā)動(dòng)機(jī)中的轉(zhuǎn)子引擎. 汽缸被萊洛三角形分成三個(gè)獨(dú)立的空間，進(jìn)氣、壓縮、做功和排氣在三個(gè)空間內(nèi)依次完成，轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火做功三次. 這和圓軸發(fā)動(dòng)機(jī)每轉(zhuǎn)兩周才做功一次相比，效率提高了很多.

項(xiàng)目延伸：邁斯納四面體.

某公司專門為自動(dòng)駕駛汽車量身打造了一款3D打印的球形輪胎，它可以提高自動(dòng)駕駛汽車的靈活性和安全性.

綜合實(shí)踐：除了球形以外，還有什么幾何體可以作為車輪呢？

學(xué)生成果展示：圖12為學(xué)生查找的邁斯納四面體圖片.

思考：邁斯納四面體是如何構(gòu)成的？邁斯納四面體有哪些性質(zhì)？邁斯納四面體有哪些應(yīng)用價(jià)值？

【反思與評(píng)價(jià)】項(xiàng)目式學(xué)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中分析問(wèn)題、發(fā)散思維，在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行對(duì)比思考和推理思考，體驗(yàn)知識(shí)的外延世界，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)興趣. 在平面中存在定寬曲線，那么在空間中存在具有類似定寬性質(zhì)的幾何體嗎？引導(dǎo)學(xué)生將前期積累的項(xiàng)目活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到空間中，探索邁斯納四面體的性質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生處在“發(fā)現(xiàn)—探索—成功—再發(fā)現(xiàn)—再探索—再成功”的積極探究狀態(tài)中.

四、項(xiàng)目反思

1. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的問(wèn)題設(shè)計(jì)與項(xiàng)目評(píng)價(jià)匹配

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)應(yīng)該基于真實(shí)情境下的問(wèn)題解決進(jìn)行推進(jìn). 所謂真實(shí)情境并非指現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)發(fā)生的事件，而是指能夠讓學(xué)生通過(guò)思考運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和能力真實(shí)解決問(wèn)題的情境. 現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的給定條件和解決路徑通常不完善，需要教師調(diào)動(dòng)學(xué)生思維中的元認(rèn)知，設(shè)置基于生活經(jīng)驗(yàn)的、真實(shí)的、有趣的，包含核心知識(shí)與概念且具有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，創(chuàng)造條件讓學(xué)生不斷迸發(fā)思維火花，生成精彩觀點(diǎn). 例如，本案例中圍繞“車輪為什么是圓形”設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，并把它拆解成有邏輯的序列子問(wèn)題，包括將車輪做成圓形的優(yōu)勢(shì)，車輪是不是只能做成圓形等. 學(xué)生在探究過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生對(duì)定寬曲線的深層次理解并實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，體現(xiàn)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題高階化的特征.

項(xiàng)目評(píng)價(jià)伴隨問(wèn)題而設(shè)計(jì)，并涵蓋整個(gè)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過(guò)程，教師要確保項(xiàng)目評(píng)價(jià)與項(xiàng)目目標(biāo)、項(xiàng)目活動(dòng)、項(xiàng)目成果相一致. 評(píng)價(jià)的方式可以多元化，如量化評(píng)價(jià)、判斷性評(píng)價(jià)、選擇性評(píng)價(jià)等. 例如，以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表為標(biāo)準(zhǔn)，在項(xiàng)目推進(jìn)的過(guò)程中讓學(xué)生審視自己的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)行量化評(píng)價(jià)；根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，在分工協(xié)作、溝通交流、自我調(diào)整等方面進(jìn)行判斷性評(píng)價(jià)；選出立足于對(duì)核心知識(shí)的理解，包含個(gè)人和集體智慧的項(xiàng)目成果，以展示與匯報(bào)、質(zhì)疑與答辯等形式進(jìn)行選擇性評(píng)價(jià).

2. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的活動(dòng)體驗(yàn)與思維發(fā)展并重

以“做數(shù)學(xué)”為基本實(shí)踐樣態(tài)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)從具身體驗(yàn)性出發(fā)，通過(guò)學(xué)生的感官突出并延長(zhǎng)活動(dòng)體驗(yàn). 在項(xiàng)目實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生可以在教師的有效支持下，以“做中學(xué)、學(xué)中樂(lè)”的方式開展項(xiàng)目探究，保持好奇心和求知欲. 學(xué)生在利用已有的知識(shí)儲(chǔ)備完成力所能及的作品、解決適切的問(wèn)題、呈現(xiàn)團(tuán)隊(duì)成果時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生成就感. 在項(xiàng)目推進(jìn)過(guò)程中，學(xué)生與同伴開展有效且深入的討論與交流，便會(huì)找到價(jià)值感. 良好的活動(dòng)體驗(yàn)有利于驅(qū)動(dòng)學(xué)生持續(xù)性學(xué)習(xí)，但教師在項(xiàng)目活動(dòng)中不僅要關(guān)注學(xué)生是否獲得了好的體驗(yàn)，更要關(guān)注學(xué)生的思維能力是否得到了應(yīng)有的發(fā)展. 學(xué)生是否對(duì)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題產(chǎn)生了真實(shí)的探究興趣，在持續(xù)探究的過(guò)程中是否調(diào)動(dòng)了多種高階認(rèn)知策略，在形成項(xiàng)目成果時(shí)是否實(shí)現(xiàn)了對(duì)核心知識(shí)的深度理解等，這些隱性而深層的思維活動(dòng)也是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的價(jià)值所在.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］美國(guó)巴克教育研究所. 項(xiàng)目學(xué)習(xí)教師指南：21世紀(jì)的中學(xué)教學(xué)法［M］. 2版. 任偉，譯. 北京：教育科學(xué)出版社，2008.

［3］楊明全. 核心素養(yǎng)時(shí)代的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)：內(nèi)涵重塑與價(jià)值重建［J］. 課程·教材·教法，2021，41（2）：57-63.

［4］夏雪梅. PBL項(xiàng)目化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：學(xué)習(xí)素養(yǎng)視角下的國(guó)際與本土實(shí)踐［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.

［5］喻平.“做數(shù)學(xué)”的理論基礎(chǔ)分析［J］. 教育研究與評(píng)論，2021（3）：22-26.

［6］董林偉，石樹偉. 做數(shù)學(xué)：學(xué)科育人方式的實(shí)踐創(chuàng)新［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（4）：22-24，62.