一類四階常微分方程兩點邊值問題的奇攝動

胡永生

(福建農(nóng)業(yè)職業(yè)技術學院 通識教育學院, 福建 福州 350007)

0 引言

奇攝動問題廣泛出現(xiàn)于物理學、醫(yī)學、生物學、力學和天文學等相關的數(shù)學模型中.從實際問題中抽象出來的數(shù)學模型,常常是非線性,變系數(shù)的微分方程,一般又附以非線性的邊界條件或初始條件.這導致絕大多數(shù)情況下無法獲得精確解.求近似解的一種最有效的方法是攝動法,也稱漸近方法[1],如變形坐標法,平均法,匹配漸近展開法,合成展開法,WKB法以及微分不等式理論等[1-5].在工程應用中,彈性梁模型可以表達為一個四階常微分方程.彈性梁是現(xiàn)代飛機、輪船、橋梁、建筑等最基本也是最重要的結構,所以四階常微分方程的各種邊值問題,引起了眾多學者的關注和研究[6-11].由于四階微分方程的各類問題往往都具有現(xiàn)實背景,除了方程本身是一個重要的因素外,方程所附加的邊值條件或初值條件,往往也起著重要作用,不同類型的初(邊)值條件,對應著不同的現(xiàn)實模型.如兩點簡單支撐的彈性梁、一端簡單支撐,一端自由活動的彈性梁就對應著不同的邊界條件[12-13].通常情況下,對于四階常微分方程初(邊)值問題的研究,人們更多采用通過變換將四階邊值問題轉(zhuǎn)化為二階微分方程組,進而利用錐拉伸錐壓縮不動點定理、拓撲度理論以及上下解方法等方式進行研究.但是,借助于伸展變換的引入,利用匹配漸近展開法和Van Dyke匹配原則[1,3-4],很多高階微分方程的初(邊)值問題也能求得漸近解.現(xiàn)研究一類四階常微分方程的邊值問題,先由匹配漸近展開法分別構造外部解和內(nèi)層解,再通過Van Dyke匹配原則將內(nèi)外解匹配“縫接”,得到邊值問題一致有效的復合解.

1 預備知識

1.1 內(nèi)(外)解與匹配漸近展開法[1]

1.2 Van Dyke匹配原理[1,3]

1964年,斯坦福大學航空航天系Milton 在處理翼型布局理論的一些奇異攝動問題過程中,需要解決以下系統(tǒng)的“內(nèi)層解”與“外層解”的匹配問題[5].

提出了一種匹配原則(Van Dyke匹配原理),即

2 漸近解的構造

考慮如下一類四階常微分方程兩點邊值奇攝動問題

(1)

其中0<ε?1是小參數(shù).注意到邊值問題(1)的方程中左邊兩項的導數(shù)階數(shù)差為2,由文[3]可知，該邊值問題將在左右端點各存在一個邊界層.

2.1 外部解的構造

由文[3]可知,假設邊值問題(1)的外部解的二階漸近展開式為

yo(x,ε)=y0(x)+εy1(x)+ε2y2(x)+…

(2)

將式(2)代入邊值問題(1)的第一個方程,并平衡方程兩邊關于ε的同次冪可得

(3)

式(3)的解分別為

(4)

由于外部解不滿足任何邊界條件,故Ai,Bi,(i=0,1,2)為待定積分常數(shù),需要在之后的匹配中確定.因此,邊值問題(1)的外部解的二階近似為

(5)

2.2 x=0處邊界層解的構造

(6)

當λ=1時,其特異極限為

(7)

由于yi應在點x=0處一致有效,而當x=0時ξ=0,故方程(7)應滿足的初值條件為

(8)

為求得點x=0處邊界層解的漸近展開式,假設yi具有如下形式

yi=Y0(ξ)+εY1(ξ)+ε2Y2(ξ)+…

(9)

將式(9)代入到式(7)和式(8)，并平衡關于ε的冪，可得

(10)

(11)

(12)

方程(10)～(12)的通解分別為

Yi=ci0+ci1ξ+ci2eξ+ci3e-ξ,(i=0,1,2)

(13)

對于Y0,顯然應有系數(shù)c02=0,否則Y0→+∞,(ε→0),將導致無法與外部解匹配.再將方程(10)中初始條件代入可得c00=-c01,c03=c01,故

Y0(ξ)=-c01+c01ξ+c01e-ξ

(14)

同理可得

Y1(ξ)=1-c11+c11ξ+(c11-1)e-ξ

(15)

Y2(ξ)=-c21+c21ξ+c21e-ξ

(16)

至此,可得邊值問題(1)在點x=0處邊界層函數(shù)的二階近似為

yi=-c01+c01ξ+c01e-ξ+ε(1-c11+c11ξ+(c11-1)e-ξ)+

ε2(-c21+c21ξ+c21e-ξ)+O(ε3)

(17)

其中,常數(shù)ci1,(i=0,1,2)需要在與外解的匹配中確定.

2.3 x=0處三項邊界層解與三項外解的匹配

三項外解

利用伸展變量表示

展開為ε的冪級數(shù)

yo=B0+ε(A0ξ+B1)+ε2(A1ξ+B2)+…

三項外解的內(nèi)展開

三項內(nèi)解

yi～-c01+c01ξ+c01e-ξ+ε(1-c11+c11ξ+(c11-1)e-ξ)+ε2(-c21+c21ξ+c21e-ξ).

利用外解變量表示

展開為ε的冪級數(shù)(為避免展開式中出現(xiàn)ε的負數(shù)冪導致無法匹配,令c01=0),

yi=c11x+ε(1-c11+c21x)+ε2(-c21)+…

三項內(nèi)解的外展開

A0=c11,B0=0,A1=c21,B1=1-c11,B2=-c21.

至此,可將邊值問題(1)的外解改寫為

(18)

2.4 x=1處邊界層解的構造

(19)

令ε→0,易知,當v=1時，式(19)的特異極限為

(20)

由于yI應在x=1處一致有效,而當x=1時ζ=0,故式(20)應滿足的初值條件為

yI′(0)=-2ε,yI″(0)=3ε2

(21)

現(xiàn)假設邊值問題(1)在點x=1附近的邊界層函數(shù)具有如下形式

(22)

將式(22)代入到式(20)和式(21)并平衡兩端關于ε的同次冪,可得

(23)

分別滿足的初始條件為

(24)

聯(lián)立式(23)和式(24),并剔除指數(shù)增長項，可得

至此,可得邊值問題(1)在點x=1處的邊界層函數(shù)的二階近似為

(25)

其中常數(shù)ki0,(i=0,1,2)需要在與外解的匹配中確定.

2.5 x=1處三項邊界層解與三項外解的匹配

三項外解

利用伸展變量表示

展開為ε的冪級數(shù)

三項外解的內(nèi)展開

三項內(nèi)解

利用外解變量表示

展開為ε的冪級數(shù)

三項內(nèi)解的外展開

至此,式(25)可改寫為

(26)

由式(5)、式(17)和式(26),以及文[3]可知,邊值問題(1)具有以下一致有效的二階漸近解

(27)

注二階近似下k20∈R.

3 四階常微分方程邊值問題漸近解的數(shù)值驗證

為驗證以上漸近展開法所得漸近解的正確性,現(xiàn)取定ε=0.001,k20=1,將邊值問題(1)的二階漸近解式(27)與數(shù)值解對照,結果見表1.

表1 漸近解與數(shù)值解的對照

由表1可見,根據(jù)匹配漸近展開法得到的漸近解式(27),相對于數(shù)值解達到了較高的精度,這驗證了漸近解的正確性.

4 結語

相比于各文獻中采用的錐拉伸錐壓縮不動點定理、拓撲度理論、上下解方法、全連續(xù)算子的Schauder不動點定理等方法,對四階常微分方程邊值問題的研究,匹配漸近展開法和Van Dyke匹配原則能簡便快速地獲得邊值問題的任意階漸近解,并且具有足夠高的精度.同時,對于完全四階常微分方程以及其他類型的邊界條件,依托于實際應用,仍具有進一步研究的意義.