定積分等式證明的方法之教學(xué)研究

李慶娟

【摘要】定積分等式證明是一類典型且有些難度的問題，其題型多變，靈活性較大，證明的方法主要有利用輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零證明、換元法、分部積分法、微分中值定理法、零點(diǎn)定理法、二重積分證明法、夾逼定理法.

【關(guān)鍵詞】換元法;分部積分法;中值定理

【基金項(xiàng)目】大連財(cái)經(jīng)學(xué)院教研教改項(xiàng)目《應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下數(shù)學(xué)課程教考分離的研究》：2020dlcjjg12

在微積分的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)定積分的計(jì)算方法掌握比較熟練，但對(duì)于有關(guān)定積分的等式證明問題的證明方法和技巧的掌握卻不好，學(xué)生遇到這樣的題目往往無從下手，甚至毫無頭緒.定積分等式證明問題是一類典型且較難的問題，題型多變，靈活性較大，雖然這類問題較難，但也并不是沒有規(guī)律可循，學(xué)生在學(xué)習(xí)積分學(xué)過程中要善于總結(jié)、歸納，只有熟練掌握了一定的方法與技巧，在遇到這樣的證明問題時(shí)才能思路開闊，將問題順利解決.本文通過例題解析的形式列舉了定積分等式證明的七種典型方法和技巧.

1 利用F′（x）=0證明定積分等式

在微積分中，利用導(dǎo)數(shù)為零推出函數(shù)為常數(shù)是證明等式問題的基本方法.一般情況下，我們要先通過分析待證明的等式構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函數(shù)F（x），然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)恒為零，再利用F（x）≡C進(jìn)一步證明.

例 設(shè)函數(shù)f（x）單調(diào)增加且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，已知f（0）=0，f（a）=b，且f（x）與g（x）互為反函數(shù)，證明：∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab.（2016年大連市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

分析 先將已知式子改寫為∫a0f（x）dx+∫f（a）0g（x）dx=af（a），利用定積分的“變限法”構(gòu)造出輔助函數(shù)F（x），即將積分限中的常數(shù)a改為變量x.

證明 令F（x）=∫x0f（t）dt+∫f（x）0g（t）dt-xf（x）.

因?yàn)?F′（x）=f（x）+g（f（x））f′（x）-f（x）-xf′（x），

這里注意到f（x）與g（x）互為反函數(shù)，即g（f（x））=x，故F′（x）=0，進(jìn)而得出F（x）≡C.又F（0）=0，即C=0，所以F（a）=0，又f（a）=b，故∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab得證.

2 利用換元法證明定積分等式

換元法是計(jì)算定積分的重要方法之一，它也是證明定積分等式比較好用的方法.利用此方法時(shí)，如何確定變量代換的形式是關(guān)鍵.通常我們需要觀察等式兩端所含積分的上下限及被積函數(shù)的變化，從而采取相應(yīng)的變量代換形式.

例 設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）均是區(qū)間[-a，a]上的連續(xù)函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，f（x）滿足等式f（x）+f（-x）=A，證明：∫a-af（x）g（x）dx=A∫a0g（x）dx.

分析 注意到積分上下限的變化，直接代換行不通，可將左端積分先利用積分區(qū)間可加性分開，再采用換元的形式進(jìn)行代換.

證明 由定積分區(qū)間可加性，得

∫a-af（x）g（x）dx=∫0-af（x）g（x）dx+∫a0f（x）g（x）dx，

令x=-t，dx=-dt，當(dāng)x=-a時(shí)，t=a，當(dāng)x=0時(shí)，t=0，

則 ∫0-af（x）g（x）dx=∫a0f（-t）g（t）dt

=∫a0f（-x）g（x）dx，

故∫a-af（x）g（x）dx=∫a0f（x）+f（-x）g（x）dx

=A∫a0g（x）dx.

例 設(shè)f（x）連續(xù)，證明：∫π20f（sin x）dx=∫π20fcos xdx.

分析 觀察等式兩邊的積分上下限沒有變化，但被積函數(shù)變名了，故可用含π2的形式進(jìn)行變量代換.

證明 令x=π2-t，則dx=-dt，當(dāng)x=0時(shí)，t=π2，當(dāng)x=π2時(shí)，t=0，

∴∫π20fsin xdx=-∫0π2fsinπ2-tdt

=∫π20fcos tdt=∫π20fcos xdx.

3 利用分部積分法證明定積分等式

一般情況下，當(dāng)所要證明的定積分等式中含有f（x），f′（x）或f（x）的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們往往考慮利用分部積分法證明，這也是證明定積分等式問題的重要方法.

例 設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且滿足f（a）=f（b）=0，證明：∫baf（x）dx=12∫baf″（x）（x-a）（x-b）dx.

證明 等式右端的積分利用分部積分法可得

∫baf″（x）（x-a）（x-b）dx

=∫ba（x-a）（x-b）df′（x）

=（x-a）（x-b）f′（x）ba-∫baf′（x）2x-a-bdx

=-2x-a-bf（x）ba+2∫baf（x）dx=2∫baf（x）dx，

所以∫baf（x）dx=12∫baf″（x）（x-a）（x-b）dx.

例 已知函數(shù)f（x）為連續(xù)函數(shù)，證明等式∫x0f（t）（x-t）dt=∫x0∫t0f（u）dudt成立.

證明 對(duì)等式右端的積分直接采用分部積分法.

∫x0∫t0f（u）dudt

=t∫t0f（u）dux0-∫x0tf（t）dt

=x∫x0f（u）du-∫x0tf（t）dt

=∫x0f（t）x-tdt.

4 利用微分中值定理證明定積分等式

在微積分中，利用中值定理證明等式或不等式問題是比較典型的方法.一般地，當(dāng)積分等式中含有ξ，f（ξ）及f（ξ）的導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們往往考慮應(yīng)用微分中值定理證明.

例 設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，并且滿足∫10xf（x）dx=∫10f（x）dx，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得∫ξ0f（x）dx=0.

分析 從等式的形式上分析應(yīng)該是羅爾定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù).若直接令F（x）=∫x0f（t）dt，不滿足羅爾定理?xiàng)l件，故行不通.我們從條件等式分析，可將其改寫為∫10xf（x）dx=∫10f（x）dx=1·∫10f（x）dx，利用變限法，將式子中的1改為變量，從而構(gòu)造出輔助函數(shù).

證明 令F（x）=∫x0tf（t）dt-x∫x0f（t）dt，x∈[0，1].

顯然，F(xiàn)（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，

又F（0）=F（1）=0，

由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得F′（ξ）=0，

即ξf（ξ）-∫ξ0f（u）du-ξf（ξ）=0，所以∫ξ0f（x）dx=0.

5 利用零點(diǎn)定理證明定積分等式

零點(diǎn)定理的應(yīng)用十分廣泛，它的主要應(yīng)用就是證明方程根的問題，進(jìn)而可以推廣到定積分等式的證明問題上.在應(yīng)用零點(diǎn)定理時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足定理的條件，即函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)且端點(diǎn)值異號(hào).

例 設(shè)函數(shù)f（x）是[0，1]上的正的連續(xù)函數(shù)，證明：存在x0∈（0，1），使得x0f（x0）=∫1x0f（x）dx.

證明 令F（x）=xf（x）-∫1xf（t）dt，x∈[0，1].

顯然，函數(shù)F（x）在x∈[0，1]上連續(xù)，又因?yàn)镕（0）=-∫10f（t）dt<0，F(xiàn)（1）=f（1）>0，由零點(diǎn)存在定理，至少存在一點(diǎn)x0∈（0，1），使得F（x0）=0，即x0f（x0）=∫1x0f（x）dx.

6 利用二重積分證明定積分等式

利用二重積分證明定積分等式的方法雖然不常用，但是比較典型，其主要思想是先將定積分轉(zhuǎn)化為二重積分，再交換積分次序進(jìn)一步證明.

例 證明：∫10ln（1+x）1+x2dx=π8ln 2.

證明 因?yàn)椤?0x1+xydy=ln（1+xy）10=ln（1+x），

故∫10ln（1+x）1+x2dx=∫10dx∫1011+x2·x1+xydy

=∫10dy∫10x（1+x2）（1+xy）dx.

又因?yàn)楸环e函數(shù)可分解為

x（1+x2）（1+xy）=11+y2x+y1+x2-y1+xy，

所以 ∫10x（1+x2）（1+xy）dx

=11+y2∫10x1+x2+y1+x2-y1+xydx

=11+y212ln 2+π4y-ln 1+y，

進(jìn)一步可得

∫10ln（1+x）1+x2dx

=∫1011+y212ln 2+π4y-ln 1+ydy

=π4ln 2-∫10ln（1+x）1+x2dx，

故∫10ln（1+x）1+x2dx=π8ln 2.

7 利用夾逼定理證明定積分等式

我們知道夾逼定理是求解和證明數(shù)列極限比較好用的方法，如果要證明的定積分等式是含有數(shù)列極限的形式，而一般證明方法行不通時(shí)，我們可以利用夾逼定理進(jìn)行證明.

例 證明：limn→∞∫10nex2n2x2+1dx=π2 .

證明 設(shè)函數(shù)f（x）=ex2，在[0，x]（0≤x≤1）上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

ex2-1=2ξeξ2x，ξ∈（0，x），

進(jìn)而1≤ex2=1+2ξeξ2x≤1+2ex，

于是nn2x2+1≤nex2n2x2+1≤nn2x2+1+2enxn2x2+1，

由定積分的不等式性質(zhì)，得

∫10nex2n2x2+1dx≥∫10nn2x2+1dx=arctan n，

∫10nex2n2x2+1dx≤∫10nn2x2+1dx+∫102enxn2x2+1dx

=arctan n+enln1+n2，

因?yàn)閘imn→∞arctan n=π2，

limn→∞arctan n+enln （1+n2）=π2，

由夾逼定理，可知 limn→∞∫10nex2n2x2+1dx=π2.

綜上，我們給出了定積分等式證明的七種典型方法和技巧.雖然定積分等式證明較難，但是如果我們能夠熟練掌握各種方法和技巧，今后在處理此類問題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手.望本文能給予讀者一定的幫助.

【參考文獻(xiàn)】

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