高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究

秦秀紅

【摘要】不等式內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占比并不大，但與解不等式相關(guān)的算法和技巧卻貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.不等式如同高中數(shù)學(xué)的解題工具，甚至是解決函數(shù)問(wèn)題、圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題過(guò)程中不可缺少的元素，且分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在不等式的解題過(guò)程中也有較明顯的體現(xiàn)，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和鍛煉具有積極的作用.基于此，本文首先借助具體的不等式高考試題，分題型分析了試題的命題意圖和考試方向;其次，結(jié)合高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體情況，針對(duì)不等式內(nèi)容的教學(xué)提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，希望可以為廣大高中數(shù)學(xué)教師提供有效參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);不等式;高考試題;命題規(guī)律;教學(xué)策略

一、高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析

（一）考查不等式概念與性質(zhì)的高考試題分析

例1 （2017高考山東理7）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（? ）.

A.a+1[]b

B.b[]2a

C.a+1[]b

D.log2（a+b）

解析 因?yàn)閍>b>0，且ab=1，

所以a>1，0log22ab=1，2a+1[]b>a+1[]b>a+ba+1[]b>log2（a+b），故選B.

例2 （2016高考新課標(biāo)I8）若a>b>1，0<c<1，則（? ）.

A.ac<bcB.abc<bac

C.alogbc<blogacD.logac<logbc

解析 用特殊值法.令a=3，b=2，c=12，得312>212，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;3×212>2×312，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;3log212<2log31[]2，選項(xiàng)C正確;log312>log212，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

試題分析：

（1）命題意圖分析

這類(lèi)題主要考查不等式的性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì).此類(lèi)題能較好地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（2）考試方向分析

這類(lèi)試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，考查基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記與理解.

（3）解題難點(diǎn)分析

比較指數(shù)式或?qū)?shù)式的大小，若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同或冪的指數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較，也可以利用特殊值法.

（二）考查不等式常規(guī)解法的高考試題分析

例3 （2015高考江蘇卷7）不等式2x2-x<4的解集為.

解析 由題意，得x2-x<2，即x2-x-2<0，故解集為（-1，2）.

例4 （2017全國(guó)Ⅰ理23）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍.

解析 （1）利用零點(diǎn)分段法把含絕對(duì)值的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式組問(wèn)題來(lái)求解.將a=1代入，則不等式f（x）≥g（x）等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0，對(duì)x按x<-1，-1≤x≤1，x>1討論可得解.

（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=2.若f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥2，則f（x）在[-1，1]的最小值必為f（-1）與f（1）之一，所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1.所以a的取值范圍為[-1，1].

試題分析：

（1）命題意圖分析

這類(lèi)題主要考查一元二次不等式、簡(jiǎn)單的分式不等式以及絕對(duì)值不等式的解法.

（2）考試方向分析

這類(lèi)試題若以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題，也可以是解答題，與不等式選講相結(jié)合考查，難度中等.

（3）解題難點(diǎn)分析

解答此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵在于熟記常見(jiàn)不等式的解法.解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào).絕對(duì)值不等式的解法有三種：法一，利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想;法三，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

（三）考查不等式的恒成立、恰成立、能成立的高考試題分析

例5 （2017高考天津理8）已知函數(shù)f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x>1，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立，則a的取值范圍是（? ）.

A.-4716，2????? B.-4716，3916

C.[-23，2]D.-23，3916

解析 可將f（x）≥x2+a轉(zhuǎn)化為-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2去解決，由于涉及分段函數(shù)問(wèn)題，因此，要遵循分段處理原則，分別對(duì)x的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對(duì)每種情況x的范圍，利用極端原理，求出對(duì)應(yīng)的a的范圍.

試題分析：

（1）命題意圖分析

本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，屬于創(chuàng)新題，有一定的難度.它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，以及學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（2）考試方向分析

這類(lèi)試題在考查題型上通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大，往往是高中數(shù)學(xué)主要知識(shí)的綜合題.

（3）解題難點(diǎn)分析

解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵為運(yùn)用函數(shù)圖像及其性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合）.在求解恒成立參數(shù)時(shí)，可以選擇參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，也可以畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)臨界值求參數(shù)取值范圍，或者轉(zhuǎn)化為F（x）>0的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為討論求函數(shù)的最值或求參數(shù)的取值范圍.對(duì)于判斷不等式恒成立的選擇題，一般采用舉反例排除法，解題時(shí)可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦值的方式進(jìn)行排除.

（四）不等式選講問(wèn)題分析

不等式選講試題的解法其實(shí)內(nèi)嵌于不等式必考試題中，其涉及的絕對(duì)值不等式解法在前文已有所分析和論述，在此不再贅述.

二、高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略分析

（一）題型要分清，課后練習(xí)應(yīng)具針對(duì)性

高中數(shù)學(xué)教師在講解不等式內(nèi)容時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生廣泛做題，深入做題，緊跟課堂學(xué)習(xí)節(jié)奏，不掉隊(duì).從“刷題”角度分析，高中數(shù)學(xué)教師在講解不等式內(nèi)容時(shí)，應(yīng)依據(jù)題型為學(xué)生準(zhǔn)備具有針對(duì)性的習(xí)題，例如上文分析的四大題型.高中數(shù)學(xué)教師可收集、匯總相關(guān)題型的數(shù)學(xué)試題，試題可為高考模擬題，可為高考真題，也可為數(shù)學(xué)課本的課后練習(xí)題.要特別注意的是，高中數(shù)學(xué)課本的課后習(xí)題是高考出題的“范本”和高考數(shù)學(xué)提綱的“約束”，具有較高的參考價(jià)值.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極做課本上的課后習(xí)題，尤其對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)偏差的學(xué)生.高中數(shù)學(xué)試題資料較為豐富，不管是學(xué)校統(tǒng)一購(gòu)置分發(fā)的，還是學(xué)生自行在書(shū)店購(gòu)買(mǎi)的，學(xué)生均可將其作為一輪復(fù)習(xí)和二輪復(fù)習(xí)的“刷題”資料，但必須注意的是，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“斷舍離”，有重點(diǎn)地“刷題”，不能盲目，更不能蠻干.高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)往往差距較大，不同學(xué)生的審題習(xí)慣、思維習(xí)慣以及計(jì)算習(xí)慣不同，“刷題”的效果也顯示出較為明顯的差異.高中數(shù)學(xué)教師在帶領(lǐng)學(xué)生做題時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)自身的實(shí)際情況選擇試題，在明確了具體的做題方向后，再深入復(fù)習(xí).教師在布置課后習(xí)題時(shí)，量不能太大，兼顧復(fù)習(xí)進(jìn)度的同時(shí)，應(yīng)確保不同層次的學(xué)生在課堂中均可有所收獲.因此，高中數(shù)學(xué)教師可將課后習(xí)題分等級(jí)，給不同層次的學(xué)生分發(fā)不同的習(xí)題，對(duì)不同層次的學(xué)生給予不同的做題指導(dǎo)，從而提升學(xué)生課后練習(xí)的針對(duì)性.

（二）練習(xí)冊(cè)用來(lái)“看”，做題需要先“看題”

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)或者復(fù)習(xí)解題方法時(shí)，對(duì)沒(méi)接觸過(guò)的、遺忘了的知識(shí)內(nèi)容需要付出更多的時(shí)間成本.高中數(shù)學(xué)教師在課上往往也只是講解例題后，便要求學(xué)生完成相應(yīng)的課后作業(yè)，其實(shí)，此間缺少了一個(gè)非常關(guān)鍵的過(guò)程，即“看題”.“看題”指的是學(xué)生接觸到新的知識(shí)或復(fù)習(xí)了難點(diǎn)知識(shí)后，不應(yīng)直接“刷題”，而應(yīng)準(zhǔn)備一本練習(xí)冊(cè)，專(zhuān)門(mén)用來(lái)“看題”，將此類(lèi)型題看十道，把此題型的解題步驟琢磨十遍，書(shū)讀百遍其義自見(jiàn)，“看題”的作用即為此.學(xué)生通過(guò)“看題”，可更全面地掌握不同類(lèi)型題目的解法，進(jìn)而在后續(xù)的“刷題”過(guò)程中，會(huì)“下筆如有神”，在解題思路上不至于無(wú)從下手.換言之，“看題”的過(guò)程是為學(xué)生提供解題思路的過(guò)程，雖然學(xué)生不經(jīng)歷此過(guò)程，在實(shí)際做題中依舊會(huì)積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，但此經(jīng)驗(yàn)的積累效率往往較差，會(huì)多走彎路.基于此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多“看題”，多體會(huì)和理解解題過(guò)程中的思想.數(shù)學(xué)的解題過(guò)程在一定程度上也可看作“模仿”的過(guò)程，而此“模仿”在經(jīng)歷了“看題”的過(guò)程后，會(huì)更精致、準(zhǔn)確.

（三）課堂講解應(yīng)控制節(jié)奏，提問(wèn)應(yīng)具針對(duì)性

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程較為復(fù)雜，整體教學(xué)難度也較大，雖然從試題內(nèi)容角度分析，高中數(shù)學(xué)題的解題過(guò)程或者整體計(jì)算量并不大，但受限于高中生的實(shí)際能力水平，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)依舊感受到比其他科目更大的壓力，并且此種壓力會(huì)使得學(xué)生在課堂中表現(xiàn)出消極、懈怠的情緒，加之手機(jī)、漫畫(huà)、小說(shuō)等極易分散高中生注意力的事物的影響，導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果存在一定的不可控性，并且教學(xué)質(zhì)量波動(dòng)較大.很多學(xué)校設(shè)有重點(diǎn)班，重點(diǎn)班的學(xué)生成績(jī)普遍較好，思維能力強(qiáng)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果往往較好，課堂教學(xué)節(jié)奏較快，學(xué)生回答問(wèn)題也更具積極性，但普通班的學(xué)生就明顯跟不上節(jié)奏.高中數(shù)學(xué)教師在講解不等式問(wèn)題時(shí)，可從命題意圖、考試方向、解題難點(diǎn)等角度分析不同類(lèi)型題的解題特點(diǎn)，進(jìn)而針對(duì)此類(lèi)特點(diǎn)設(shè)置相應(yīng)的課堂問(wèn)題，且問(wèn)題是從試題出發(fā)，并非從學(xué)生的角度出發(fā).所以在講解不等式問(wèn)題時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)控制課堂教學(xué)的整體節(jié)奏，保證講一題，學(xué)生懂一題.為了確認(rèn)學(xué)生是否真的懂了，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)針對(duì)班級(jí)學(xué)生分層設(shè)置問(wèn)題.針對(duì)成績(jī)一般的學(xué)生，提問(wèn)不等式概念、性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題，針對(duì)成績(jī)中等的學(xué)生，提問(wèn)常規(guī)解法類(lèi)問(wèn)題，針對(duì)成績(jī)較好的學(xué)生，提問(wèn)不等式的恒成立、恰成立、能成立類(lèi)問(wèn)題，進(jìn)而全面了解學(xué)生對(duì)不等式解題方法的掌握程度，為布置課后練習(xí)題提供更全面、更具體、更有效的參考.

三、結(jié)束語(yǔ)

總之，從內(nèi)容角度講，不等式類(lèi)型題的考查內(nèi)容不多，但由于不等式滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)角落，已然成為學(xué)生在解題時(shí)必須計(jì)算和求解的內(nèi)容.高考試題一般不會(huì)針對(duì)不等式單獨(dú)出題，如果題型被限定在了填空題或者選擇題，往往難度較低.不等式一般會(huì)嵌套在具體的大題或者綜合性較強(qiáng)的選擇題和填空題中，作為解題的一部分出現(xiàn).高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，細(xì)化教學(xué)過(guò)程，無(wú)論是在課上提問(wèn)方面，還是在布置課后作業(yè)方面，均應(yīng)更具針對(duì)性，尤其要注意“看題”方法的引導(dǎo)，促使高中生在學(xué)習(xí)不等式、解決不等式問(wèn)題時(shí)有章可循，有法可依.