數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

洪偉強(qiáng)

【摘要】高考大綱明確指出：高考是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重能力的考查，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì).這就要求我們的教學(xué)要寓知識(shí)、技能、方法、思想于一體，在教學(xué)過(guò)程中不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.本文論述了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法，通過(guò)例題講述這一重要數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，并說(shuō)明了運(yùn)用這種思想解題的有效性與優(yōu)越性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;滲透;數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)思想;人文價(jià)值

在教育教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)往往不愿作圖，或作不好圖，不善用圖，常常在解題時(shí)束手無(wú)策，陷入困境.實(shí)踐證明，如果充分利用數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路，便能使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，從而得解.所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，在分析其代數(shù)含義的基礎(chǔ)上揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間圖形巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，并且充分利用這種結(jié)合尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法.它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.

高中數(shù)學(xué)中常用到數(shù)形結(jié)合的題型主要有：一是有關(guān)取值范圍及最大值、最小值的問(wèn)題;二是用代數(shù)方法較復(fù)雜、較難或無(wú)法下手的問(wèn)題.常用的“結(jié)合”有：一是利用某些數(shù)學(xué)概念具有的幾何意義;二是利用函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系;三是利用曲線與方程、不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系等.

高中數(shù)學(xué)中常用到數(shù)形結(jié)合的“形”是：數(shù)軸、坐標(biāo)軸（系）、圖像、圖形、單位圓等.

1 數(shù)軸

1.1 借助數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算

例1 設(shè)A={x| |x-a|<2}，B=x2x-1x+2<1，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 解不等式得A=（a-2，a+2），B=（-2，3），

要使AB，借助數(shù)軸，如圖1，

則a-2≥-2且a+2≤3，則0≤a≤1，

即a的取值范圍是0≤a≤1.

評(píng)注 我們?cè)谇蠛瘮?shù)的定義域、解不等式組時(shí)常常借助數(shù)軸，它比較直觀、形象.

1.2 借助數(shù)軸解有理高次不等式

例2 解不等式x2+2x-23+2x-x2

解析 移項(xiàng)，整理，將原不等式化為

x3-x2-x-2-（x2-2x-3） <0 （x-2）（x2+x+1）（x-3）（x+1） >0x-2（x-3）（x+1） >0

借助數(shù)軸，如圖2，利用數(shù)軸標(biāo)根法，可得原不等式的解集為{x| -13}.

1.3 借助數(shù)軸求函數(shù)的最值

例3 求函數(shù)y=|x-2|+|x+3|的最小值.

解析 |x-2|+|x+3|的幾何意義是：在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使其到兩定點(diǎn)-3和2的距離之和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)P在-3和2之間時(shí)，其距離之和最小，最小值是5.

評(píng)注 這里運(yùn)用了絕對(duì)值的幾何意義.

2 函數(shù)的圖像

高中階段的函數(shù)有：基本初等函數(shù)（I）、基本初等函數(shù)（II）.前者包括：正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù);后者是指三角函數(shù)，主要是正（余）弦函數(shù)、正切函數(shù)等.我們要熟練掌握它們的圖像的特征，以及它們的平移、對(duì)稱和翻折等變換.

2.1 借助函數(shù)的圖像求函數(shù)的定義域

例4 設(shè)0≤a<1時(shí)，函數(shù)f（x）=（a-1）x2-6ax+a+1恒為正，求f（x）的定義域.

分析 若將f（x）改寫成g（a）（0≤a<1），可知g（a）的圖像是一條線段（無(wú)右端點(diǎn)），且位于a軸上方.

解析 設(shè)g（a）=（a-1）x2-6ax+a+1=（x2-6x+1）a+1-x2（0≤a<1），則g（a）是定義在[0，1）上的一次函數(shù)或常函數(shù)，故其圖像是條線段（有左端點(diǎn)無(wú)右端點(diǎn)）.由已知，得g（a）>0恒成立，故線段應(yīng)在a軸的上方，如圖3，則g（0）>0且g（1）≥0，即1-x2>0且x2-6x+1+1-x2≥0，所以-1

評(píng)注 將f（x）改寫成g（a），利用g（a）的圖像使本題迅速得解.

2.2 借助函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域（最值）

例5 如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)，且最小值為5，那么f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是（? ）.

A.增函數(shù)且最小值為-5

B.增函數(shù)且最大值為-5

C.減函數(shù)且最小值為-5

D.減函數(shù)且最大值為-5

解析 利用函數(shù)的性質(zhì)，作出其草圖，如圖4，則選B.

例6 求函數(shù)y=x2+2x+2+x2-6x+13的最小值.

解析 此題應(yīng)研究式子的幾何意義.

y=x2+2x+2+x2-6x+13? =x+12+1+x-32+4? =x+12+0-12+x-32+0-22.

其幾何意義是：在x軸上求一點(diǎn)P（x，0），使其到兩定點(diǎn)A（-1，1）， B （3，2）的距離之和最小.

如圖5，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′3，-2，

連接AB′，與x軸相交于P，則

ymin=|AB′|=（-1-3）2+（1+2）2=5.

評(píng)注 這里利用了式子的幾何意義，使代數(shù)問(wèn)題的解答簡(jiǎn)單明了，也極大拓寬了我們的解題思路.首先要揭示代數(shù)問(wèn)題的幾何含義，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，然后將符合題設(shè)條件的幾何圖形畫出來(lái)，最后對(duì)直觀的幾何圖形進(jìn)行觀察、思考，使我們可以更清晰地找出解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.3 借助函數(shù)圖像求方程的根的問(wèn)題

例7 方程 lg x=sin x的實(shí)根有個(gè).

解析 此方程無(wú)法用代數(shù)的方法將其根求出，只能借助函數(shù)y=lg x和y=sin x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像，觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到原方程根的個(gè)數(shù).

如圖6，可見(jiàn)它們有3個(gè)交點(diǎn)，故方程lg x=sin x的實(shí)根有3個(gè).

例8 已知0

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

解析 在同一平面直角坐標(biāo)系里作出函數(shù)y=a|x|和y=|logax|的圖像，如圖7，立即可得它們有2個(gè)交點(diǎn)，故選B.

例9 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解 若a=0，f（x）=2x-3，顯然在 [-1，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，所以 a≠0.

由題，Δ=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0，得a=-3±72.

①當(dāng)a=-3-72時(shí)，y=f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)在[-1，1]上;

②當(dāng) f（-1）·f（1）=（a-1）（a-5）≤0，即1≤a≤5時(shí)，y=f（x）也恰有一個(gè)零點(diǎn)在[-1，1]上;

③當(dāng)y=f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，作圖8、圖9，則得

a>0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≥0，f（-1）≥0，或a<0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≤0，f（-1）≤0，

解得a≥5或a<-3-72.

因此a的取值范圍是a≥1或a≤-3-72 .

評(píng)注 一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題常借助一元二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)特征來(lái)轉(zhuǎn)化求解.

2.4 借助函數(shù)的圖像解不等式

例10 利用函數(shù)圖像解不等式：4-x2>-x-1.

解析 令y=4-x2，它的圖像是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的半圓，如圖10.

畫出直線y=-x-1.設(shè)直線與半圓的交點(diǎn)為A，

則不等式的解為xA

解方程4-x2=-x-1（-2≤x≤-1），

其解為xA=-1-72，

所以原不等式的解集為x-1-72

評(píng)注 該不等式為無(wú)理不等式，若將其轉(zhuǎn)化為有理不等式組求解，要分類討論，比較復(fù)雜，而利用圖像、不等式與方程之間的關(guān)系解題，就比較簡(jiǎn)潔、直觀.

3 數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

只有對(duì)解析幾何中定義、定理、公式以及圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)非常熟悉，才能夠靈活轉(zhuǎn)化.

例11 設(shè)P是雙曲線x23-y2=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，已知A（3，1），求|PA|+|PF2|的最小值.

解析 本題應(yīng)由幾何意義求解.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的第一定義知，

|PF1|-|PF2|=2a=23，

所以|PF2|=|PF1|-23，

所以PA+|PF2|=|PA|+|PF1|-23≥|AF1|-23=26-23.

當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).

高中數(shù)學(xué)具有知識(shí)量大、難度大、綜合性強(qiáng)、系統(tǒng)性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、對(duì)能力的要求高等特點(diǎn)，所以在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師要時(shí)時(shí)刻刻滲透數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合的思想就是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想，也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有力工具.在教學(xué)中，教師要善于捕捉知識(shí)之間的聯(lián)系，促成它們的轉(zhuǎn)化，要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生多類比，多聯(lián)想，多總結(jié)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)向高級(jí)，由模仿到創(chuàng)新，不斷構(gòu)建、完善自己的知識(shí)體系.這樣做一方面有利于學(xué)生牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)有利于學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅僅要善于解題，還要掌握具體問(wèn)題中滲透的本質(zhì)思想，挖掘更高層次的規(guī)律和方法，并升華為一類問(wèn)題的共性，然后用這個(gè)共性解決所有相關(guān)的問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)思想.