初中數(shù)學動點問題教學實踐研究

羅志

【摘要】初中數(shù)學動點問題是各地中考數(shù)學的熱點考題，其中幾何問題與二次函數(shù)相結(jié)合的動點問題更是中考的壓軸大題.這類題目的綜合性強，解題要求高，學生存在的解題困難多.要提高學生對此類問題的解題能力，教師需要在教學中全面了解學生在解決動點問題時存在的困難，掌握常見動點問題的類型和教學要求，采用多種教學策略，傳授多種解題方法，加強解題指導，才能有效突破學生解決該類題目的困難，從而提升學生對動點問題的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;動點問題;二次函數(shù)

初中數(shù)學中的動點問題是比較典型的綜合性題目，經(jīng)常是中考數(shù)學的壓軸大題.該類題目涉及的知識點較多，運用的解決方法特殊，要求解題者思維比較靈活，故學生存在的困難較多.為了提高學生對初中數(shù)學動點問題的解決能力，筆者結(jié)合二次函數(shù)教學實踐，對解決數(shù)學動點問題的有效教學策略進行了研究探索.

一、解決數(shù)學動點問題的困難分析

（一）解決動點問題的困難

由于數(shù)學動點問題綜合性強，解題要求高，因此造成許多學生在解題中存在較多的困難.這些困難主要體現(xiàn)在如下方面：

一是存在理解性困難.許多學生對此類題目給出的條件、所求結(jié)果或是隱含條件等內(nèi)容在理解上存在困難，不能全面準確地理解題意，不能把題目中的動點問題與已學知識相聯(lián)系，因而造成解題困難.

二是存在選擇性困難.動點問題的解題方法具有較強的靈活性，一些學生在解題中常常是不善于選擇正確的公式、定理與方法，因而找不到解題的路徑，易造成解題思路混亂，只能將動點問題與二次函數(shù)相聯(lián)系，但不知道具體選擇哪個知識點解題.

三是找不出變量關(guān)系.由于二次函數(shù)動點問題的題目文字敘述較長，不少學生抓不住題目中的關(guān)鍵詞語和句子，難以發(fā)現(xiàn)題目中的變量、不變量以及它們之間的聯(lián)系，列不出函數(shù)關(guān)系式，因此就無法有效解題.

四是解題方法不靈活.在解決二次函數(shù)動點問題時，不少學生的解題思維不夠靈活，掌握的解題方法比較少，不善于把復雜問題進行轉(zhuǎn)化，或是借助數(shù)形結(jié)合思想解題，解題的條理性差，造成解題中的錯誤較多.

例1 如圖1所示，二次函數(shù)y=12x2-3x+4與y軸相交于M點，N是拋物線上任一點，連接MN，以MO，MN為鄰邊構(gòu)建平行四邊形MNPO，設(shè)N點的橫坐標是a.求

（1）P點落在x軸上時，a值是多少？

（2）如果P點落在x軸下方，則a是多少時線段QP有最大值？

解題分析 解答此題的關(guān)鍵之處在于利用平行四邊形對邊相等的性質(zhì)求得對邊長度，進而可得出a值.但許多學生在解題中無法形成正確的解題思路，沒有真正理解題意，不能正確選擇公式與定理，只是盲目地運用配方法求最值， 不能將動點問題與平行四邊形的性質(zhì)有機結(jié)合，因而導致解題出現(xiàn)困難.

（二）出現(xiàn)困難的原因分析

學生在二次函數(shù)動點問題解題中出現(xiàn)困難，主要是由以下兩方面原因所致.

1.教師方面的原因

一是教師教學態(tài)度的影響.動點問題的求解比較困難，一些教師在此類問題教學中存在急于求成的態(tài)度，對動點問題的講解不能做到耐心、反復、舉一反三，對學生出現(xiàn)的問題不能耐心指導，故加深了學生對此類問題的畏難心理.

二是教師教學方法的影響.許多教師在二次函數(shù)動點問題教學中，不能采取針對性的教學方法，不善于運用幾何畫板等信息化教學軟件，讓學生直觀感受動點的運動狀態(tài)，而是以機械式解題訓練為主，使學生不能靈活運用多種解題方法.三是教師沒有掌握學生解題困難的原因.不少教師沒有掌握學生在二次函數(shù)動點問題解題中出現(xiàn)困難的深層原因，對不同層次學生不能因材施教，不注重對學生解題思維的訓練和數(shù)學思想方法的運用，導致學生解題思路不靈活，從而對動點問題解題困難.

2.學生方面的原因

一是認知能力不佳.由于初中生的抽象思維能力正處于發(fā)展階段，容易受到情感、意志、態(tài)度等非智力因素的影響，以及已有數(shù)學基礎(chǔ)知識的限制，造成學生二次函數(shù)動點問題解題能力不足.二是解題思維不靈活.許多學生的數(shù)學思維不夠靈活、發(fā)散，解題的思路比較窄，不善于對復雜的動點問題進行轉(zhuǎn)化與分解，不能靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解題，造成解題中困難重重，影響了對動點問題的解題興趣.

三是缺乏解題經(jīng)驗.許多學生對動點問題存在畏難心理，不愿意觸碰此類題目，或是被動學習此類問題，掌握的解題方法較少，解題的思路不清晰，欠缺動點問題解題經(jīng)驗.

二、動點問題解題類型與教學要求

（一）動點問題解題類型

二次函數(shù)動點問題的類型主要有以下幾種，掌握這些問題類型，有利于教師采取有針對性的措施開展教學，從而取得良好的教學效果.

1.從所求問題分類

從所求問題進行分類，二次函數(shù)動點問題主要分為三類：求函數(shù)解析式的問題，求最值問題，求存在性問題.

2.從動點個數(shù)分類

從動點個數(shù)分類看，有單動點問題和雙動點問題.

3.從函數(shù)與圖形結(jié)合分類

主要分為：二次函數(shù)與直線結(jié)合問題，與三角形結(jié)合問題，與四邊形結(jié)合問題，與圓結(jié)合問題等.

（二）動點問題教學要求

在教學二次函數(shù)與動點結(jié)合問題時，教師要提升學生的解題能力，除了加強對學生審題能力的培養(yǎng)，讓學生全面真正理解題意，掌握動點的運動過程或軌跡，注重把二次函數(shù)與平面幾何圖形相聯(lián)系外，還要重點加強以下三個方面的教學.

1.加強各知識點的聯(lián)系教學

由于二次函數(shù)動點問題涉及二次函數(shù)知識、初中平面幾何知識、代數(shù)知識等，學生既需要熟練掌握這些知識，又需要掌握各知識點之間的相互聯(lián)系，這樣才能更容易發(fā)現(xiàn)隱含條件，掌握題目中的變量與等式關(guān)系，為動點問題解題奠定良好的基礎(chǔ).

2.加強輔助線添加方法教學

由于動點問題綜合性強、難度大，學生在解題中經(jīng)常需要添加輔助線，借助輔助線使動點問題的解決變得更加容易.因此，教師在二次函數(shù)動點問題教學中要注重加強添加輔助線方法的教學，讓學生總結(jié)輔助線的添加方法與規(guī)律，為解題找到突破口.

3.加強各問題之間的聯(lián)系教學

數(shù)學動點問題的題目一般是由三四個問題組成的，各個問題之間都有密切聯(lián)系，二次函數(shù)關(guān)系式、最值、存在性問題等都是相互聯(lián)系的，而且二次函數(shù)本身也有最大值或最小值，如果學生能掌握這些問題之間的相互聯(lián)系，并巧妙利用，就能提高動點問題的解題效率.

三、解決數(shù)學動點問題的教學策略

（一）加強解題方法指導，積累動點問題解題經(jīng)驗

雖然二次函數(shù)動點問題的綜合性強，解題難度大，但其也有規(guī)律可循，同樣也有多種有效的解題思路與方法，加強對學生解題方法的指導，幫助學生積累解題經(jīng)驗，就能使動點問題的解決變得容易.

一是讓學生學會正確審題.在初中數(shù)學動點問題中，條件比較多，經(jīng)常會在題目中隱含著一些條件，學生如果能正確審題，有效挖掘隱含條件，正確找出題目中的變量、常量、等式關(guān)系，學會選擇恰當?shù)臄?shù)學模型，就能為解題提供方便或使解題找到突破口.因此，教師在此類題目的教學中，首先要重視教會學生正確審題.

二是傳授與積累多種解題方法.在二次函數(shù)的動點問題解題中，經(jīng)常要使用待定系數(shù)法、解析法、覆蓋法、切割法、 構(gòu)造特殊三角形（四邊形）法等多種方法，所以，教師在教學中要注重傳授解題方法，讓學生積累解題經(jīng)驗，提高學生的動點問題解題能力.

例2 如圖2所示，點M（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c上的一個動點，它在x軸下方，且-2

解題分析 本題可用多種方法進行求解.

方法一 （覆蓋法） ：可把三角形面積通過“割補”的方法，轉(zhuǎn)化成求矩形的面積，即用矩形的面積覆蓋三角形，通過構(gòu)建最小面積的矩形，然后減去多余的三角形，就可求得△PQM面積的最大值和M點的坐標.該方法思路比較簡單，但解題過程稍微煩瑣.（如圖2中的虛線矩形所示）

方法二（切割法）：求解二次函數(shù)動點問題中的面積最值時，一般應構(gòu)建一個至少一邊是“橫平豎直”的三角形，這樣就能把求面積問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，再利用函數(shù)的解析式，將線段轉(zhuǎn)化為坐標，使問題變得簡單.具體方法如下：可通過M點作x軸的垂線（圖中的虛線），這樣就把△PQM分成兩個三角形，容易求出該線段的長度，然后分別求P，Q兩點到垂線的距離，求出兩個小三角形的面積和的表達式（是二次函數(shù)），通過代數(shù)式變換就可求出其最大值，這樣問題就解決了.

方法三（解析法）：從題意可知，兩線段MP，MQ的長度總是變化的，但PQ的位置不變，可過M點作平行于PQ的直線l，要使△PQM的面積最大，則M點到線段PQ的距離最大時可使三角形面積最大，又直線l與PQ平行，則M點的位置可確定，求出M點坐標后就容易求面積問題了.

（二）滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)靈活解題思維能力

要提高學生對二次函數(shù)動點問題的解題能力，培養(yǎng)學生靈活、發(fā)散、創(chuàng)新的思維能力是關(guān)鍵，而在教學中滲透數(shù)學思想方法是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的重要途徑，如數(shù)形結(jié)合思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類討論思想方法等，既能培養(yǎng)學生靈活的數(shù)學解題思維，又能使復雜的動點問題的解決變得簡單、快捷，從而提高解題效率.

例3 有一條直線y=-23x+c交x軸于點M（3，0），交y軸于點N，二次函數(shù)y=-43x2+bx+c也經(jīng)過點M、點N，如圖3所示.

（1）求N點坐標及函數(shù)解析式;

（2）點D（k，0）是x軸上的動點，過D點且垂直x軸的直線與直線MN交于點E，與二次函數(shù)圖像交于點C.點D在OM之間移動，如果△CNE與△EDM相似，求D點坐標.

解題分析 本題的綜合性比較強，要用到多方面的數(shù)學知識，在第（1）小題中可用待定系數(shù)法解決，在第（2）小題中可利用相似三角形的知識，把問題轉(zhuǎn)化為求k的方程，這樣就找到了解題的關(guān)鍵之處，還要注意分情況討論.運用轉(zhuǎn)化數(shù)學思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、分類討論思想方法，能使解題更靈活，變得簡單，降低解題難度，從而快速正確地解題.

在具體解題時，可利用D點坐標和直線的方程表示E，C兩點坐標，Ek，-23k+2，Ck，-43k2+103k+2，再根據(jù)∠NCE=∠MDE=90°或∠CNE=∠MDE=90°這兩種情況進行分類討論，利用包含k的代數(shù)式表示對應邊成比例，可得出一元二次方程，最后可得到所求結(jié)果.

四、結(jié)束語

總之，初中數(shù)學動點問題是教學的難點問題，也是中考的熱點題型，學生在解決此類題目時存在較多的困難.要提高學生的動點問題解題能力，教師需要以學生在解題中存在的困難為依據(jù)，全面改進數(shù)學動點問題教學方法與策略，注重動點問題解題思想與方法的訓練，加強對學生的解題指導，讓學生掌握多種解題方法與技巧，從而提升學生對數(shù)學動點問題的解題能力.

【參考文獻】

[1]沈啟芳.初中數(shù)學中動點問題的教學研究[J].新教育時代電子雜志，2019（36）：1.

[2]周航.初中數(shù)學動點問題的解題策略探討[J].新課程（中學），2015（7）：102-103.

[3]劉青.初中數(shù)學中一些動點問題的歸類[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2016（12）：2-3.

[4]李志芳.初中數(shù)學中動點問題的教學探究[J].讀寫算，2018（35）：80-81.