成人高等學校專升本全國統(tǒng)考高等數(shù)學中求極限的方法

鄭艷彬

【摘要】函數(shù)極限是高等數(shù)學的基礎，也是成人專升本考試的必考內(nèi)容.鑒于參加成人專升本的大部分考生基礎較差，本文以2015～2019年的真題為例，總結(jié)了?？嫉乃姆N求極限的方法及一些解題技巧，期望能提高考生的應試能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);極限;成人專升本;高等數(shù)學

【基金項目】棗莊學院博士啟動項目：1020711;棗莊學院教改立項重點項目：YJG17001;YJG18026

函數(shù)極限是高等數(shù)學的基礎，也是高等數(shù)學的靈魂所在，它貫穿高等數(shù)學的始終.因為它的重要地位，函數(shù)極限也是成人高等學校專升本全國統(tǒng)考高等數(shù)學的重點考查內(nèi)容.2005年以來的考試中，在選擇題、填空題和計算題中各有一道求函數(shù)極限的題目，分值分別為4分、4分和8分，所占分值約為全卷的10.7%.歷年來求函數(shù)極限的題型也較為穩(wěn)定，所以總結(jié)這些題型對于考生復習備考尤為關(guān)鍵，可以在考試中做到知己知彼，百戰(zhàn)不殆，達到事半功倍的效果.接下來，本文以2015～2019年的真題為主，總結(jié)各種函數(shù)求極限的方法.

一、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是f（x）定義域內(nèi)的點，那么limx→x0f（x）=f（x0）.

例1 （2018年第1題）limx→0xcos x=（? ）.

A.e??? B.2??? C.1??? D.0

解 因為f（x）=xcos x是初等函數(shù)，且在x=0處是連續(xù)的，所以limx→0xcos x=0cos 0=01=0，故答案選D.

例2 （2013年第1題）limx→0 ex-1=（? ）.

A.eB.1C.e-1D. -e

解 因為f（x）=ex-1是初等函數(shù)，且在x=0處是連續(xù)的，所以limx→0 ex-1=e0-1=e-1，故答案為C.

以上兩題利用初等函數(shù)的連續(xù)性可直接求出函數(shù)在某點的極限值.此種題型在2014年以前的選擇題和填空題中出現(xiàn)比較多，2014年及以后則較多考查其他方法和利用函數(shù)連續(xù)性綜合求解函數(shù)的極限.

二、利用兩個重要極限求極限

第一個重要極限：limx→0sin xx=1.其另外一種形式為limx→0xsin x=1.此極限的運用需要同時滿足兩個條件：（1）極限為00型不定式;（2）極限中含有三角函數(shù)，不僅限于含有正弦函數(shù)，其他三角函數(shù)可以通過三角變換化為正弦函數(shù)，如例4.此外，該極限不只需要x→0，可推廣為limα（x）→0sin α（x）α（x）=1，如例5.

例3 （2016年第1題）limx→03sin x2x=（? ）.

A.23B.1C.32D.3

解 limx→03sin x2x=32limx→0sin xx=32，故答案為C.

例4 （2019年第11題）limx→0tan 2xx=.

解 limx→0tan 2xx=limx→0sin 2xcos 2x·1x=2limx→0sin 2x2x·1cos 2x=2limx→0sin 2x2x·limx→01cos 2x=2×1×1=2，故答案為2.

例5 （2017年第11題）limx→2x-2sin（x-2）=.

解 limx→2x-2sin（x-2）=lim（x-2）→0x-2sin（x-2）=1，故答案為1.

第二個重要極限：（1）limx→∞1+1xx=e或（2）limx→0（1+x）1x=e.第二個重要極限可推廣為：（3）limf（x）→∞1+1f（x）f（x）=e，（4）limf（x）→0[1+f（x）]1f（x）=e.該方法適用于求1∞形式的極限.

例6 （2019年第2題）limx→+∞1+2xx=（? ）.

A.-e2B. -eC. eD. e2

解 limx→+∞1+2xx=limx→+∞1+2xx22

=limx→+∞1+2xx22=e2，

故答案為D.

例7 （2016年第11題）limx→0（1+x）2x=.

解 limx→0（1+x）2x=limx→0[（1+x）1x]2=[limx→0（1+x）1x]2=e2，故答案為e2.

例8 （2018年第12題）limx→0（1-3x）1x=.

解 limx→0（1-3x）1x=limx→0[1+（-3x）]1-3x·（-3）=limx→0[1+（-3x）]1-3x-3=e-3，故答案為e-3.

第二個重要極限考查的頻率較高，但一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中.如果利用第二個重要極限的進一步推廣形式limx→∞1+mxnx=emn或limx→0（1+mx）nx=emn，可快速求出結(jié)果，節(jié)省時間.如例8中，m=-3，n=1，所以答案為e-3.

三、利用等價無窮小代換求極限

常用的等價無窮小有，sin x～x（x→0），tan x～x（x→0），1-cos x～12x2（x→0），ex-1～x（x→0），ln（1+x）～x（x→0），（1+x）α-1～αx（x→0）.許多00型的極限既可以用等價無窮小代換求解，也可用洛必達法則或第一個重要極限求解（如例9），但利用等價無窮小代換求極限過程更加簡單.利用等價無窮小代換求極限時，最好對整個因子進行代換，不要隨意對因子中相加減的項進行代換，否則容易出錯.

例9 （2017年第11題）limx→2x-2sin（x-2）=.

解 x→2時，sin （x-2）→x-2，所以limx→2x-2sin（x-2）=limx→2x-2x-2=1，故答案為1.

例10 （2016年第22題）計算limx→01-exsin x.

解 x→0時，ex-1～x，所以limx→01-exsin x=limx→0-xsin x=-limx→0xsin x=-1.

例11 （2015年第11題）limx→0ln（1+x2）x2=.

解 x→0時，ln（1+x2）～x2（x→0），所以limx→0ln（1+x2）x2=limx→0x2x2=1，故答案為1.

四、利用洛必達法則求極限

對于00型、∞∞型未定式，可以直接使用洛必達法則求極限.有的需要使用兩次（例12）或兩次以上才能求得結(jié)果，每次使用洛必達法則前都要判斷條件是否滿足.而對于0·∞，∞-∞，00，∞0和1∞等形式的極限都可以通過變換轉(zhuǎn)化為00型或∞∞型的極限，從而利用洛必達法則求解.近幾年考試中考查的比較簡單，幾乎全為00型的極限.

例12 （2017年第21題）求limx→0ex-sin x-1x2 .

解 極限為00型，limx→0ex-sin x-1x2=limx→0ex-cos x2x=limx→0ex+sin x2=12.

例13 （2016年第22題）計算limx→01-exsin x.

解 極限為00型，limx→01-exsin x=limx→0-excos x=limx→0（-ex）limx→0 cos x=-11=-1.

例14 （2015年第11題）limx→0ln（1+x2）x2=.

解 極限為00型，limx→0ln（1+x2）x2=limx→02x1+x22x=limx→011+x2=1，故答案為1.

求極限的方法有很多，但是在成人高等學校專升本全國統(tǒng)考高等數(shù)學中，求函數(shù)極限主要考查以上總結(jié)的四種方法.所以考生要牢記相關(guān)公式，注意各種求極限方法適用的題型.成人專升本高等數(shù)學考試雖然簡單，但題目比較靈活，存在很多一題多解和一題需要利用多種方法綜合求解的題型.對于一題多解的題型，如果能用等價無窮小代換求解，則優(yōu)先考慮使用等價無窮小代換，這樣做會更簡便.例如，例9使用等價無窮小代換就比使用第一個重要極限或洛必達法則更加簡單.在客觀題中使用第二個重要極限的進一步推廣形式可以節(jié)省答題時間，并且提高正確率.在計算題中求極限的時候，要體現(xiàn)出解題步驟，并注意規(guī)范書寫，很多考生在書寫的過程中會漏掉極限符號或者自變量的變化趨勢，導致失分，從而得不償失.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：上冊，第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

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