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    數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

    2016-10-08 10:15
    成才之路 2016年25期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)

    邱奉美+劉嶠

    摘 要:數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的基本方法,有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維,培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力。文章研究數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明問題、幾何問題中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)歸納法;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;能力培養(yǎng)

    中圖分類號:G421;G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1008-3561(2016)25-0047-01 數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明題中常用的思想方法之一,近年來,數(shù)學(xué)歸納法的靈活運用是高考考查的重點。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要加以重視,有效滲透,巧妙運用,從而提升學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力。數(shù)學(xué)歸納法主要用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的正確性。通常包括三個主要步驟:一是找準(zhǔn)起點,歸納奠基。證明當(dāng)n取第一個值n=n0時(n0=1或2時),命題結(jié)論成立。二是猜想假設(shè),邏輯推理。假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)時的命題結(jié)論成立,那么則可以利用已知條件和假設(shè)條件推導(dǎo)出n=k+1時的命題結(jié)論也成立。三是綜合歸納,做出判斷。即綜合步驟一和二,總結(jié)命題的正確性。

    一、數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明問題的應(yīng)用

    數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式問題方面有著廣泛的應(yīng)用,可以優(yōu)化解題過程,提高解題效率。在運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時,若直接進(jìn)行證明,往往難度較大。此時,需要借助不等式的可加性和傳遞性,細(xì)心觀察,大膽聯(lián)想,適時假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式的特征關(guān)系,從而使問題迎刃而解。因此,教師要重視解題方法的指導(dǎo),提高學(xué)生的解題能力。

    【例題】證明:如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+ a2+…+ an≥n.

    【證明】(1)當(dāng)n=1時,有a1=1,命題正確。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,命題成立,即若k個正數(shù)的乘積a1a2…an=1,則有a1+ a2+…+ ak≥k。當(dāng)n=k+1時,已知k+1個正數(shù)a1,a2 ,…,ak,ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1。若這k+1個正數(shù)a1,a2,…,ak,ak+1都相等,則它們都是1,其和為k+1,命題得證。若這k+1個正數(shù)a1,a2,…,ak,ak+1不全相等,則其中必有大于1的數(shù)與小于1的數(shù),否則與a1a2…ak+1=1相矛盾。不妨設(shè)a1>1,a2<1,將乘積a1a2看成一個數(shù),這樣就可以得到k個正數(shù)a1,a2,a3,…,ak,ak+1的乘積是1,借助歸納假設(shè)法,可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k?!郺3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2,∴a1+a2+…+ak+ak+1-(k+1)≥a1+a2+k-a1a2-(k+1)=-(a1-1)(a2-1),∵a1>1,a2<1,∴-(a1-1)(a2-1)>0,∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0,即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1,∴當(dāng)n=k+1時,命題成立。綜合(1)和(2),可知對于一切正整數(shù)n,如果n個正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n這一命題成立。

    【點評】該題的關(guān)鍵點,是要由“假設(shè)不等式”成立推證到“目標(biāo)不等式”成立。當(dāng)由“假設(shè)不等式”向“目標(biāo)不等式”過渡存在一定的困難時,需要架橋鋪路,構(gòu)設(shè)“中間不等式”,借助“中間不等式”完成向“目標(biāo)不等式的過渡”。

    二、數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用

    在數(shù)學(xué)解題過程中,運用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題,需要借助由特殊到一般的方法。先進(jìn)行猜想,得出一般性結(jié)論用于假設(shè)條件,然后再運用數(shù)學(xué)歸納法,由特殊值開始論證,以驗證特殊性的成立。接著,證明假設(shè)條件n=k時命題成立,從而分析推導(dǎo)出n=k+1時的命題也成立。

    【例題】n個半圓的圓心在同一條直線l上,這n個半圓每兩個都相交,且都在直線l的同側(cè),請問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓???

    【解析】設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧,借助從特殊到一般的方法,進(jìn)行猜想和驗證。第一種情況:當(dāng)n=2時,兩個半圓交于一點,則可分成4段圓弧,故f(2)=4=22。第二種情況:當(dāng)n=3時,三個半圓交于三點,則可分成9段圓弧,故f(3)=9=32。第三種情況:當(dāng)n=4時,四個半圓交于六點,則可分成16段圓弧,故f(4)=16=42。由此可以猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)= n2。借助數(shù)學(xué)歸納法加以證明:(1)當(dāng)n=2時,f(2)=4=22,命題成立。(2)假設(shè)n=k時,f(k)=k2,那么當(dāng)n=k+1時,第k+1個半圓與原k個半圓均相交,為獲得更多的圓弧,任意三個半圓不能交于一點,所以第k+1個半圓與原k個半圓中的每個半圓中的一段圓弧分成兩段弧,這樣就可多出k條圓?。涣硗庠璳個半圓把第k+1個半圓分成了k+1段,這樣又多出了k+1段圓弧?!鄁(k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2,∴滿足條件的(k+1)個半圓被所有的交點最多分成(k+1)2段圓弧。綜合(1)和(2)可知,滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧。

    【點評】該題的關(guān)鍵,是找出幾何元素從k個變成k+1時所證的幾何量將增加多少,此時需要借助幾何圖形加以分析。增加一個半圓時,圓弧段增加的條數(shù),可從f(2)=4,f(3)= f(2)+2+3,f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律:f(k+1)=f(k)+k+(k+1)。

    三、結(jié)束語

    總之,數(shù)學(xué)歸納法的巧妙運用對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維,培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力起著積極的促進(jìn)作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要注意有效滲透數(shù)學(xué)歸納法,結(jié)合典型例題分析,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法,培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性和創(chuàng)造性,提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]馬茂年,俞昕.課堂教學(xué)回歸“數(shù)學(xué)化”的討論和分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2013(03).

    [2]朱華偉,史亮.高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的歸納[J].數(shù)學(xué)通訊,2005(13).

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