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    不定積分與定積分換元積分法的比較

    2017-03-04 11:36黃優(yōu)良
    教育教學論壇 2017年8期
    關鍵詞:高等數(shù)學

    黃優(yōu)良

    摘要:換元法是積分學教學中的重要內(nèi)容。本文通過對換元法在不定積分與定積分中的比較,闡述了不定積分與定積分換元的實質及其異同,為學生掌握不定積分與定積分的計算帶來方便。

    關鍵詞:高等數(shù)學;積分學;換元法

    中圖分類號:G642.41 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)08-0197-02

    換元法是數(shù)學解題的一個重要方法,在科學研究中有著廣泛的應用。在高等數(shù)學教學中,如何使學生準確掌握不定積分與定積分的換元法顯得尤為重要,也是學生學好積分學的一項關鍵內(nèi)容,為今后學習重積分、曲線積分及曲面積分等打下良好基礎。也許有的人會說,已經(jīng)學習了不定積分的換元法,就沒有必要再去學習定積分的換元法了。這種說法當然是有失偏頗的。這要從兩者的異同來分析。

    一、相似之處──換元手法相似

    不定積分與定積分作為積分學的基礎,其重性是不言而寓的,它們有著許多相似甚至相同之處,特別是定積分通過牛頓—萊布尼茲公式,與不定積分建立了一定的聯(lián)系。它們在求解過程摘要:換元法是積分學教學中的重要內(nèi)容。本文通過對換元法在不定積分與定積分中的比較,闡述了不定積分與定積分換元的實質及其異同,為學生掌握不定積分與定積分的計算帶來方便。

    關鍵詞:高等數(shù)學;積分學;換元法

    中圖分類號:G642.41 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)08-0197-02中都要用到一個重要方法──換元積分法。不定積分與定積分的換元法都有兩類:第一換元積分法與第二換元積分法。第一換元積分法又稱為湊微分法,第二換元積分法也有人稱之為變量置換法。在換元手法上,它們是相似的(甚至可以說是相同的)。不定積分的湊微分法:若f(u)du=F(u)+C(或F'(u)=f(u)),則有:fu(x)u'(x)dx=fu(x)du(x)=Fu(x)+C。(C為任意常數(shù),下同)定積分的湊微分法與不定積分完全類似,不同之處是定積分在考慮積分上下限后得出的結果是積分值,而不定積分得出的結果是函數(shù)系。不定積分的第二換元積分法:為了求解不定積分f(x)dx,作換元:令x=φ(t),得到f(x)dx=f[φ(t)]φ'(t)dt,使得積分形式變得更為簡單,從而得到不定積分的解。對于定積分,也同樣可作變量代換,使得定積分計算起來變得簡便。

    例1:求不定積分dx.

    解:令x=,則dx=-dt,于是

    dx=-dt=-+

    =-arcsint++C=-arcsin+C。

    例2:計算定積分(a>0).

    解:令x=asint,則=acost,dx=acostdt

    換元

    當x=0時,t=0;當x=a時,t=換限

    故:=dt=I,再換元:

    t=-u,則dt=-du,換限:t=0時,u=;當t=時,u=0,I=(-du)=du=

    dt,因此,得:2I=dt=,從而可得:=。不定積分與定積分常用的第二換元法有:倒數(shù)換元(如例1),三角換元(如例2),以及簡單無理函數(shù)換元(比如例1中,還可直接令u=),三角函數(shù)換元(針對被積函數(shù)中含三角函數(shù)的積分),等等。盡管不定積分與定積分有著相似甚至相同的換元手法,但是我們也不能說,在用換元積分法計算定積分時可完全按不定積分的換元法“依此類推”,因為它們有著本質的區(qū)別。

    二、不同之處

    1.不定積分與定積分的含義、所求結果不同。一個函數(shù)的不定積分是指這個函數(shù)的原函數(shù),不定積分的結果依然是函數(shù),幾何上表示平面上一系列平行曲線簇。而我們在引入定積分時,定積分幾何上是在指定區(qū)間上曲邊梯形面積的代數(shù)和。定積分計算所得的結果是一個數(shù)值。在定義方面,如果區(qū)間I上,可導函數(shù)

    F(x)有:F'(x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在不定積分,且f(x)dx=F(x)+C。而對于定積分,設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界或分段有界,經(jīng)過對區(qū)間[a,b]任意分割、近似、求和、取極限的步驟,當分割的細度趨于零時和式的極限總存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在,并定義f(x)dx=f(ξ)Δx。由此可見,不定積分與定積分是有著本質區(qū)別的,這就決定了在用換元法求解時,它們必有不同之處。

    2.換元法求解的過程存在不同,定積分換元的同時要換限。不定積分在換元求解時,最后還必須把中間變量換回成x,使得所求結果依然是x的函數(shù),比如例1。而定積分換元求解時,則不必再將中間變量換回成x了,因為定積分的最終結果是數(shù)值,只要能把結果求出來即可。但是,定積分換元法要注意兩個方面。一是定積分換元時,要“換元換限”,即換元的同時要變換積分上、下限。二是用于換元的函數(shù)應該是單調連續(xù)的。即:設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)x=φ(t)滿足:(1)φ(α)=a,φ(β)=b,(2)φ(t)在

    [α,β](或[β,α])上有連續(xù)導數(shù),且φ'(t)≠0不變號,則f(x)dx=f[φ(t)]φ'(t)dt。這就是定積分的換元積分法。從中也可以看出,定積分換元法要比不定積分換元法簡便一些。

    總之,換元法是一類重要的數(shù)學方法,在不定積分與定積分的計算中,起著至關重要的作用,掌握這類方法,也為高等數(shù)學其他內(nèi)容的學習打下良好的基礎。

    參考文獻:

    [1]同濟大學數(shù)學教研室主編.高等數(shù)學(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,1996:237-254,296-303.

    [2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1991:244-308.

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