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    換元積分法的教學(xué)方法初探

    2016-06-03 18:15:06吳美容李小襯姜葉乘
    科教導(dǎo)刊·電子版 2016年11期
    關(guān)鍵詞:換元法不定積分

    吳美容 李小襯 姜葉乘

    摘 要 不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中的一個重要的教學(xué)內(nèi)容,換元積分法是一種重要而常用的積分方法。本文對換元積分法作了深入的研究,并對換元積分法的多種換元技巧進(jìn)行了探討。

    關(guān)鍵詞 換元法 不定積分 湊微分

    中圖分類號:G724.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

    微積分的不定積分求解可以歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù),但是在教學(xué)過程中,由于不定積分求解方法非常靈活,并且原函數(shù)也不唯一,但是這些不同的原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)。換元積分法分為兩大類:第一換元積分法和第二換元積分法。第一換元法也稱為 “湊微分法”,它是不定積分計(jì)算的核心,也是求解積分最基本、最常用方法之一。對于湊微分的教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)員觀察被積函數(shù)的特點(diǎn),看看哪些可以拿出去湊微分,我們一般把簡單的函數(shù)拿去湊微分,復(fù)雜的函數(shù)留下來,正如生活中的一句俗語:把方便留給別人,困難留給自己。巧婦難為無米之炊,學(xué)員必須熟記微分公式和積分公式,否則無法使用湊微分的方法。如何幫助學(xué)員更好地掌握湊微分法,本文將做初步探討。在學(xué)員掌握第一換元法之后,可以加強(qiáng)第二換元的學(xué)習(xí),本文對一些常用的三角代換法、倒代換法等進(jìn)行了總結(jié)。

    1第一類換元積分法

    第一換元積分法也稱為湊微分法,事實(shí)上第一換元積分法是復(fù)合函數(shù)微分運(yùn)算的一種逆運(yùn)算,即微分形式不變性的一種逆運(yùn)算。

    設(shè)函數(shù)f(u)在區(qū)間上連續(xù),u= (x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且 的值域包含在I中,則有換元公式。該公式∫f[ (x)] '(x)dx=[∫f(u)du]u= (x)給出的方法也叫不定積分的第一類換元法。

    第一類換元積分法關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)朋友,理解“湊”的過程,會“湊”微分。換元積分法包含了很多靈活的解題技巧。只有通過大量的實(shí)踐練習(xí),在練習(xí)中總結(jié),在實(shí)踐中掌握換元積分法的訣竅。筆者從教學(xué)實(shí)踐中了探討了換元積分法的常用技巧,引起學(xué)員的濃厚興趣,使他們普遍提高了用換元積分法解題的能力,產(chǎn)生了良好的教學(xué)效果。對這種方法熟悉之后,第一類換元法的中間變量可以不設(shè)出來。使用此公式的關(guān)鍵在于將∫g(x)dx化為∫f[ (x)] '(x)dx直接將中間變量看作一個整體。

    上述所介紹的都是利用換元積分法的幾種典型情形。讀者應(yīng)認(rèn)真研究這些積分方法,掌握求不定積分的一般規(guī)律,多做題,多看典型例題,并靈活運(yùn)用、做好總結(jié)。

    參考文獻(xiàn)

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