淺談湊微分法的教學(xué)

陳文亞

摘 要： 湊微分法（第一換元法）既是高等數(shù)學(xué)積分學(xué)的重點，又是難點.一般學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)湊微分法時，總會被方法的名字迷惑，認(rèn)為湊微分法就是求導(dǎo)數(shù)或求微分，使得整個學(xué)習(xí)走向錯誤的方向，覺得湊微分法非常難學(xué).因此作者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)了一些方法，讓學(xué)生理解湊微分，從而掌握湊微分的實質(zhì)，摒棄原來死套公式的方法，從本質(zhì)上掌握湊微分法.

關(guān)鍵詞： 不定積分 湊微分法 第一換元法

湊微分法是高等數(shù)學(xué)中常用的積分方法，也是一種很重要的積分方法，它既是學(xué)習(xí)第二換元法和分部積分法的基礎(chǔ)，又是學(xué)習(xí)定積分、微分方程、多元函數(shù)重積分的基礎(chǔ).雖然湊微分法很重要，但學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時就是掌握不好，究其原因主要有以下幾個.

一、概念混淆，分不清湊微分和微分的本質(zhì)區(qū)別.初學(xué)者經(jīng)常會把湊微分和微分這兩個概念混淆，這兩個概念雖然字面相近，但兩者是互逆運算，微分與導(dǎo)數(shù)相關(guān).湊微分實際上是已經(jīng)知道函數(shù)的微分，問的是哪個函數(shù)的微分，如微分cosxdx是哪個函數(shù)的微分呢？由導(dǎo)數(shù)公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我們把這個過程稱為湊微分.

湊微分概念與原函數(shù)非常相似，而原函數(shù)全體就是不定積分，從而得到湊微分遵循的是積分原則，但形式是微分，正是這種形式上的差別讓學(xué)生很難接受湊微分的實質(zhì)是積分，所以在剛接觸湊微分法的時候，學(xué)生經(jīng)常會把公式xdx湊微分成d2x或dx.故老師在講授新課時，首要任務(wù)是講清楚湊微分與微分的區(qū)別，同時要反復(fù)強調(diào)湊微分的實質(zhì)是積分，湊微分遵循的原則是積分規(guī)律，但形式還是微分.一旦理清了湊微分的內(nèi)涵，學(xué)生在學(xué)習(xí)湊微分法的時候，就不需要死記那些湊微分的公式，只需記住積分公式，在湊微分的時候?qū)懗晌⒎中问郊纯?，從而減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān).在掌握湊微分的概念后，學(xué)生在選擇函數(shù)進行湊微分時，就會有更大的主動性，知道凡是可以積分的函數(shù)都可以湊微分，那么函數(shù)的選擇范圍就更大.

二、記不住湊微分公式.要想把湊微分法學(xué)好，在理解湊微分實質(zhì)的基礎(chǔ)上，還要熟練掌握常用的積分公式，特別是冪函數(shù)的積分公式.初學(xué)不定積分的同學(xué)一般都會背冪函數(shù)的積分公式，但不會真正使用，教師可以把冪函數(shù)的積分公式的常用形式羅列一下，這有助于學(xué)生學(xué)習(xí)湊微分法.

三、面臨多個函數(shù)可以湊微分，不會選擇判斷.高等數(shù)學(xué)教材在講授湊微分法時，都會通過一些簡單、常見的例題給學(xué)生總結(jié)一些湊微分的公式，學(xué)生即使把這些公式背熟，碰到熟悉的會做，一旦形式發(fā)生改變，就不會運用這些公式了，究其原因就是不理解為何要湊微分.事實上，湊微分法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆運算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中要對內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)，因此湊微分法也要做兩次積分，湊微分是對復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)積分，積完分需要換元，故內(nèi)層函數(shù)湊好微分后的形式都會在原不定積分中出現(xiàn).

根據(jù)上面的討論，湊微分法在計算不定積分的時候，選擇函數(shù)湊微分的依據(jù)有兩個：（一）可以積分的函數(shù)才可以湊微分；（二）選擇的函數(shù)在湊微分后，微分符號d左面表達式與右面的表達式應(yīng)該有公共部分.一般來說，只要湊微分后，微分號前后有公共部分，湊微分的選擇和變形就是對的.

上面的兩個依據(jù)只是教學(xué)生如何選對函數(shù)，函數(shù)選對了不一定能把積分算出來，因為在湊微分的時候通常要注意兩個技巧.第一個技巧是湊微分的時候通常會有系數(shù)或負(fù)號產(chǎn)生，系數(shù)和符號一般都要放在微分號的前面，這樣進行第二步換元時，換元對象非常清晰.第二個技巧是在湊完微分后有時還需要做系數(shù)的恒等變形或常數(shù)的變化.

事實上，湊微分法就是反復(fù)使用基本積分公式表，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要緊扣這個關(guān)鍵點，第一步選擇哪個函數(shù)湊微分，湊成什么形式，都必須依據(jù)積分表，不可憑空捏造；第二步微分湊好后，一定要根據(jù)湊出來的函數(shù)換元，當(dāng)換元后的形式在積分公式表中找不到時，可能是湊微分對象選擇不對，檢查微分符號d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根據(jù)題目的具體情況對湊出來的函數(shù)做系數(shù)和常數(shù)的恒等變形；如果微分符號左右的形式?jīng)]有公共部分，這時就要從第一步重新開始選擇函數(shù).

此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中還會把湊微分法和分部積分法混淆，因為分部積分法的第一步也是湊微分，但雖然兩種方法的第一步都是湊微分，目的卻完全不一樣，湊微分法是為了讓左右有公共部分，以便換元；而分部積分法則是為了把函數(shù)變成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函數(shù)是絕對不會有公共部分的，弄清楚這一點，兩者就不會混淆了.

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