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    一類不定積分問題的一題多解

    2017-05-10 23:55:36賈文燕
    新教育時代·教師版 2017年8期
    關(guān)鍵詞:不定積分一題多解

    摘 要: 我們從一題多解的角度對有理函數(shù)和可化成有理函數(shù)的不定積分的解題方法做一定探討。

    關(guān)鍵詞:不定積分 有理函數(shù) 一題多解

    不定積分是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要知識點,但由于其題目廣泛,無固定規(guī)律,計算方法又靈活多變,所以學(xué)生對此類問題的計算往往感覺困難,不知如何下手。為此本文試圖從一題多解的角度考慮一類不定積分問題的計算,開拓學(xué)生思路,使其更好地理解掌握不定積分的各種積分方法。

    例1 計算 。

    解法1 湊微分法(也叫第一類換元積分法)

    原式

    解法2第二類換元積分法

    原式

    解法3 倒代換

    令 , 則 , 原式

    解法4用待定系數(shù)法把有理函數(shù)化成部分分式之和,分項積分求出結(jié)果

    利用待定系數(shù)法有理函數(shù)得,

    例2 計算

    解法1 湊微分法

    解法2 第二類換元積分法

    令 , 則

    當 時,

    當 時,

    綜上所述,

    解法3 根式代換

    令 ,則 ,

    例3 計算

    解法1 萬能代換

    解法2 拆項積分和湊微分法相結(jié)合

    注:比較上述兩種解法,利用萬能代換雖然適用于三角函數(shù)有理式積分的各種情況,但往往比較麻煩;要使方法簡單,必須掌握較高技巧.一般的,若求 ,可將分子化成

    [1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上:第七版[M].北京:高等教育出版社,2007:194—208.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析[M]. 高等教育出版社,2001.

    [3]陳紀修等編. 數(shù)學(xué)分析.2版. 高等教育出版社,2004.

    作者簡介

    賈文燕,碩士,數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè),助教

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