一道不定積分的多種解法

李慶娟

【摘要】不定積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的求解方法有很多，熟練掌握不定積分的求解方法是后期

學(xué)習(xí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，本文主要是基于分部積分法就一道不定積分的求解方法就行探討.

【關(guān)鍵詞】不定積分；分部積分法；湊微分.

【中圖分類號(hào)】013 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

解法1 一般情況下，被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積時(shí)，可以確定基本上是采用分部積分法，分部積分法的公式是∫udv=uv-∫vdu，在公式中哪個(gè)函數(shù)作為u，哪個(gè)函數(shù)作為v是有講究的，基本規(guī)律是將五類基本初等函數(shù)按順序排列，即“反對(duì)冪三指”，當(dāng)任意兩類不同函數(shù)相乘時(shí)，基于誰排在后誰優(yōu)先湊進(jìn)去作為v的原則，所以就本題而言我們先處理三角函數(shù)，但注意cos2x作為整體是湊不進(jìn)去的，故需要先變形，我們利用三角函數(shù)的倍角公式，將cos2x降冪，進(jìn)而繼續(xù)求解，詳細(xì)過程如下

解法2 在解法1的基礎(chǔ)上，在第二步時(shí)可采用整體湊微分的方法.

解法3 解法1與2均是對(duì)三角函數(shù)采用降冪方法先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再湊微分，然后利用分部積分法求得結(jié)果，那也可以不化簡(jiǎn)而直接湊微分，但也只能將一個(gè)cosx湊進(jìn)去，然后利用分部積分法求解，解法如下：

解法5 以上四個(gè)解法，都是從三角函數(shù)出發(fā)，那也可逆向思維，打破常規(guī)，考慮冪函數(shù)湊進(jìn)去作為v，再采用分部積分法進(jìn)行求解.

注：解法5中，雖然在第一步處理時(shí)是優(yōu)先選擇了將冪函數(shù)湊進(jìn)去作為v，但是注意后面處理相同情況時(shí)，還是優(yōu)先選擇了三角函數(shù)，否則是解不出來結(jié)果的.

以上，我們給出了一道不定積分的五種計(jì)算方法，當(dāng)然這方法都是分部積分法的應(yīng)用，雖然是同一個(gè)應(yīng)用，但是我們處理方式不同，方法過程就有所不同，今后，在做不定積分題目時(shí)，在掌握基本方法和原理的基礎(chǔ)上，我們要學(xué)會(huì)發(fā)散思維，靈活處理.