初中生數(shù)學(xué)解題的思維障礙及應(yīng)對策略

王淑萍

摘要：數(shù)學(xué)習(xí)題千變?nèi)f化，造成學(xué)生解題思維障礙的原因也是多種多樣，怎樣減少思維障礙對解題的消極作用？文章結(jié)合具體案例剖析原因，提出應(yīng)對策略，為發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)作了深入探索。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題;思維障礙;應(yīng)對策略

教學(xué)過程中，經(jīng)常有這樣的學(xué)生向老師抱怨，上課老師講的都能聽明白，可是課下做題時(shí)就是做不對。究其原因就是學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)了思維方式與具體問題解決之間的障礙，這些障礙有的來源于老師教學(xué)中的疏漏，更多的則是來自學(xué)生的思維障礙。如何通過解題培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力是擺在一線教師面前的一項(xiàng)重要課題。本文結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)通過具體案例進(jìn)行分析，供各位同行參考。

一、變式訓(xùn)練，突破思維定勢

由于初中學(xué)生的年齡較小，在學(xué)習(xí)上往往對老師依賴性較強(qiáng)，習(xí)慣對某些知識按照一種套路反復(fù)訓(xùn)練，久而久之就會(huì)形成一種習(xí)慣性思維方向。其優(yōu)點(diǎn)就是縮短了解決問題的時(shí)間，提高了效率，其缺點(diǎn)就是讓思維受到了限制。當(dāng)在學(xué)生非常熟悉的一類問題上改變一個(gè)條件，使問題發(fā)生較大變化時(shí)，學(xué)生仍然會(huì)按照原有的思路去解決“似曾相識”問題，造成“會(huì)而不對”尷尬。

例1 若關(guān)于x的方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)，求α的值。

錯(cuò)解：因?yàn)榉匠痰膬筛榈箶?shù)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得兩根之積為1，即，所以。

分析：因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)看到題目時(shí)直接反應(yīng)就是應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題，所以毫不猶豫得出。實(shí)際上當(dāng)時(shí)，原方程化為了，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，所以需要舍去，故正確答案應(yīng)為。造成出錯(cuò)的根本原因就是忽略了用根與系數(shù)關(guān)系的前提是。

例2 已知等腰三角形的兩邊分別是和，則這個(gè)三角形的周長是_________

錯(cuò)解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為時(shí)，周長為;當(dāng)?shù)妊切蔚难L為時(shí)，周長為。

分析：對于等腰三角形需要分類討論，學(xué)生在自己的頭腦當(dāng)中已經(jīng)根深蒂固，所以有的同學(xué)對于上面的答案更是自信滿滿?？墒牵褪钦f、、根本圍不成一個(gè)三角形，所以正確答案只有一種結(jié)果。

策略：當(dāng)學(xué)生遇到“形似”的題目時(shí)，往往習(xí)慣套用原來已有的解題經(jīng)驗(yàn)解決，這在心理學(xué)中稱為慣性思維，現(xiàn)實(shí)卻是題目中的條件已經(jīng)發(fā)生了改變，造成了學(xué)生“會(huì)而不對”后果。解除此類思維障礙的方法是，教師在教學(xué)過程中可根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)設(shè)計(jì)問題變式，讓學(xué)生從不同角度對知識點(diǎn)有清晰的認(rèn)識和理解。比如在學(xué)習(xí)“勾股定理”時(shí)，可以設(shè)計(jì)題目：已知直角三角形的兩條直角邊分別是3、4，則斜邊是________。變式練習(xí)：已知直角三角形的兩邊是3、4，則第三邊是_________。同過不同變式的練習(xí)不但讓學(xué)生提高了審題意識，更加深了對勾股定理的認(rèn)識和理解。

二、循序漸進(jìn)，提升推理能力

進(jìn)入初中，學(xué)生開始接受推理論證能力的培養(yǎng)。推理證明則成了初中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，不少學(xué)生表現(xiàn)為數(shù)學(xué)語言邏輯順序混亂，前言不搭后語，甚至隨意添加一些條件或者想當(dāng)然。常常啰啰嗦嗦寫了一大堆，卻不知所云。

例3 如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，BE⊥CD，E在CD的延長線上，試探究BE和CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

錯(cuò)解：截取CF=BE，F(xiàn)H⊥CD，過D點(diǎn)向BC作垂線DG。

分析：該同學(xué)通過觀察圖形從直覺上認(rèn)為CD為BE的2倍，但是對于題目中所給的條件和結(jié)論之間關(guān)系卻是一臉茫然，于是按照自己的意思胡亂寫了一通，反映出來的是數(shù)學(xué)語言不夠準(zhǔn)確，甚至出現(xiàn)了錯(cuò)誤，證明過程中出現(xiàn)生拉硬扯的想當(dāng)然，完全不顧條件和結(jié)論之間的因果邏輯關(guān)系。

策略：判斷一個(gè)命題的正確與否，其根本方法就是推理證明。造成書寫混亂的主要原因是因?yàn)閷W(xué)生的邏輯推理意識不強(qiáng)，推理能力不足造成的。教師在教學(xué)過程中要做好對學(xué)生循序漸進(jìn)的引導(dǎo)和啟發(fā)。對于初學(xué)者可以按照讓其先學(xué)會(huì)“說理”，然后過渡到“簡單推理”，再到按照“一定模式”推理直至學(xué)會(huì)嚴(yán)格地推理證明;教師先示范推理證明格式，再逐步要求學(xué)生獨(dú)立分析、寫出證明過程。在教學(xué)中教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和進(jìn)度為學(xué)生安排適量、適中的題目加以訓(xùn)練，讓學(xué)生切實(shí)提高推理論證能力。

三、一題多解，優(yōu)化解題方法

許多數(shù)學(xué)問題由于所處的視角不同，思考方式不同，切入點(diǎn)不同，會(huì)產(chǎn)生不同的解決方案，眾多的解題方法中，有的簡潔明了，有的復(fù)雜繁瑣。一些同學(xué)由于思路單一，方法僵硬，缺少變通，不能有效地將條件與結(jié)論關(guān)聯(lián)，條件與條件匹配，以至于造成解題時(shí)就地打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，甚至有的繞了很大一圈也不能將問題解決。

例4 如圖，在四邊形ABCD中，AD||BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)M、N。求證：四邊形BNDM是菱形。

方法一：先證△MOD≌△NOB，得出MO=NO，又BO=DO，所以四邊形BNDM為平行四邊形，又MN⊥BD，所以四邊形BNDM為菱形。

方法二：先證△MOD≌△NOB，得出MD=NB，又AD||BC，所以四邊形BNDM為平行四邊形，又MN⊥BD，所以四邊形BNDM為菱形。

方法三：因?yàn)镸N垂直平分BD，所以MB=MD，NB=ND，得出∠MBD=MDB，

由AD||BC，得出∠MDB=∠DBN，所以∠MBO=∠NBO，進(jìn)而證明△MBO≌△NBO，

得出MB=BN=ND=MD，所以四邊形BNDM為菱形。

方法四：由方法三得出∠MBO=∠NBO，又BN=DN，所以∠OBN=∠ODN，

得出∠MBO=∠ODN，所以MB||DN，得出四邊形BNDM為平行四邊形，進(jìn)而證明為菱形。

策略：一題多解能使學(xué)生學(xué)習(xí)中開闊視野，把以前的所學(xué)的知識融會(huì)貫通，有助于發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究能力，而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究能力正是新課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)之一。在教學(xué)過程中，利用所給條件，引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想、對比，采用一題多解方法授課，可以大大增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，讓孩子們更加積極主動(dòng)地參與到教學(xué)中去，提高課堂學(xué)習(xí)效率，收到“做好一題，帶動(dòng)一片”效果。

四、題后反思，挖掘隱含條件

有些數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)獨(dú)特，條件隱蔽，學(xué)生在解題時(shí)往往只關(guān)注顯性條件，結(jié)果導(dǎo)致問題不能正確解決或者結(jié)論不完整。

例5 若△ABC的三邊分別是a，b，c且滿足a4+b2c2-a2c2-b4=0，請判斷三角形的形狀。

錯(cuò)解：由題可得：

分析：本題忽略了等式性質(zhì)2的中等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)“不為零”的數(shù)或式子的限制條件，從而漏掉了另一種情況的存在：當(dāng)a2-b2=0時(shí)，△ABC為等腰三角形。故正確答案為直角三角形或等腰三角形。

例6 已知，求2x+y的值。

錯(cuò)解：因?yàn)槌闪⒌臈l件是a≥0，所以x2-4≥0，4-x2≥0，故x=±2，y=0。2x+y=±4。

分析：解題時(shí)只考慮到了根式成立的條件，而忽略了分式成立的條件，造成了多解。相當(dāng)一部分同學(xué)對于題中的兩個(gè)隱含條件都沒有注意到，只是一臉茫然地望著含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)等式，無所適從，不知從何下手。

策略：通過上述例子可以發(fā)現(xiàn)，隱含條件對解題影響極大，它既有干擾作用，可導(dǎo)致各種錯(cuò)解，又起暗示作用，在解題時(shí)能發(fā)現(xiàn)最有價(jià)值的因素，為順利求解掃除障礙和架橋鋪路。解題時(shí)，只有認(rèn)真審題，深刻理解數(shù)學(xué)概念才能挖掘出隱含條件，提高解題能力。題后反思能夠促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理進(jìn)行再認(rèn)識，有助于學(xué)生更好的建構(gòu)知識體系。教師不能僅僅滿足于引導(dǎo)學(xué)生得出正確答案，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的題后反思。解完題后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生從“結(jié)果”回到“條件”，檢驗(yàn)答案是否準(zhǔn)確，是否符合實(shí)際意義;尤其是解題過程中多次碰壁，更要再次反過頭來審視問題的“條件”，想一想為什么第一次做題時(shí)沒有挖掘到隱含條件，這些條件隱藏在了什么地？這類題目的特征是什么？這對自己今后學(xué)習(xí)新知有什么指導(dǎo)作用？這樣學(xué)生才會(huì)在不斷的反思中進(jìn)步，在反思中提高。

總而言之，數(shù)學(xué)習(xí)題千變?nèi)f化，造成學(xué)生解題思維障礙的原因也是多種多樣，要減少思維障礙對解題的消極作用，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)，關(guān)鍵在教師，重點(diǎn)在課堂。教學(xué)中，教師要注重課堂教學(xué)的問題性，通過一題多問，一題多變，提高學(xué)生的思辨能力，提升問題意識;教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用循序漸進(jìn)，螺旋上升式教學(xué)方法，教會(huì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究，讓學(xué)生在探究知識的過程中提升推理能力;教師要注重教學(xué)的開放性，敢于大膽“放手”，讓學(xué)生的大腦得以解放，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法解決問題，并比較這些方法的優(yōu)劣，尋找出解決問題的最佳方案;教師還要教會(huì)學(xué)生反思，并留給學(xué)生一定的思考時(shí)間、思考空間，使他們對所學(xué)知識有一個(gè)重新認(rèn)識。

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【本文系2020年度安陽市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究課題“初中數(shù)學(xué)教學(xué)中錯(cuò)誤資源有效利用的研究”（課題編號：ayjky20038）的研究成果】

安陽市曙光學(xué)校 河南 安陽 455000