積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

過心麗

[摘? 要] 數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，是指對具體形象的事物進(jìn)行觀察操作、歸納猜想、表達(dá)驗證后獲得的一種經(jīng)驗. 文章借助“勾股定理及其驗證”，從喚醒、感悟、運(yùn)用、升華四個方面闡述了積累基本活動經(jīng)驗、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法.

[關(guān)鍵詞] 親自操作;活動經(jīng)驗;思維發(fā)展

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生較少主動參與到知識形成的過程中去，不能深入理解知識，更不用說靈活運(yùn)用知識解決問題了. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將課程總目標(biāo)從“雙基”教學(xué)修改為“四基”教學(xué)，即基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方式的變革和學(xué)生的主體性地位，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生在課堂上獲得了主動發(fā)現(xiàn)、探索、研究、總結(jié)的空間. 學(xué)生要適應(yīng)這種更為靈活的課堂，就必須積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這也是三維目標(biāo)中的過程與方法目標(biāo)所要求的. 那什么是基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是指，學(xué)生通過對具體、形象的事物進(jìn)行一定的觀察操作、歸納猜想、表達(dá)、驗證或證明，所獲得的一種經(jīng)驗. 由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特色，有些知識無法通過傳遞訓(xùn)練直接得到，因此數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗必須通過學(xué)生的親身經(jīng)歷和感悟得到，是學(xué)生通過經(jīng)歷、感悟數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理后積淀出的一種思維模式，繼而建立一定的數(shù)學(xué)直觀，甚至達(dá)到更高的層次——形成數(shù)學(xué)的直覺. 學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗不僅是動手實(shí)踐得到的經(jīng)驗，還是大腦實(shí)踐后得到的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗.

只有通過長期積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的過程，才能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀，才更易于學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用，才更有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，從而使學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W習(xí)技巧. 筆者借助勾股定理及其驗證，開展了關(guān)于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的一次教學(xué)探索.

結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗，喚醒已有

基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)來源于生活，滲透在我們生活的方方面面，其在生活中的應(yīng)用更是數(shù)不勝數(shù). 學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，一方面來自之前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不斷積累，層層深入積淀;另一方面來自實(shí)際生活的潛移默化，從而自然而然地獲得一些數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.

教學(xué)片段1

師展示PPT：這是古希臘曾經(jīng)發(fā)行的一張郵票（如圖1），其中的圖案證明了一個非常重要的數(shù)學(xué)定理. 請你計算圖中三個正方形的面積，看看能發(fā)現(xiàn)什么.

生：S■+S■=S■.

師：請大家在學(xué)案上的網(wǎng)格中任意畫一個直角三角形，然后分別以三條邊為邊向外作三個正方形，計算這三個正方形的面積. 此時，剛才的結(jié)論還成立嗎？

生投影展示：利用割補(bǔ)法，仍然有S■+S■=S■.

師：如果把直角三角形的兩條直角邊記為a，b，斜邊記為c，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三個正方形的面積分別為a2，b2，c2，所以a2+b2=c2.

師：非常棒！通過剛才的計算，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理.

設(shè)計意圖？搖 筆者利用生活中常見的郵票，借由學(xué)生熟悉的網(wǎng)格，激活了學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，為后續(xù)積累更高層次的經(jīng)驗做鋪墊. 同時，依托生活中滲透的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，通過學(xué)生的親身經(jīng)歷和操作驗證，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)勾股樹相關(guān)結(jié)論并歸納得到勾股定理，加深了學(xué)生對知識的理解和掌握，幫助學(xué)生積累了更深一層的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，同時激發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理的驗證和應(yīng)用做鋪墊.

經(jīng)歷知識形成過程，感悟數(shù)學(xué)

基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)問題光靠生搬硬套并不能解決. 讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，可以幫助他們更好地理清思路，了解數(shù)學(xué)知識之間的結(jié)構(gòu)體系，感悟更深一層的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，從而正確地應(yīng)用相關(guān)知識解決問題，這是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一種有效手段.

教學(xué)片段2

師：請大家以小組為單位，將準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形紙片拼成一個正方形，然后用不同的方式計算正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生展示圖2的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為（a+b）2，再由割補(bǔ)法得其面積為c2+2ab，所以（a+b）2=c2+2ab，化簡后得a2+b2=c2.

師：還有其他拼法嗎？

生展示圖3的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為c2，再由割補(bǔ)法得其面積為（b-a）2+2ab，所以c2=（b-a）2+2ab，化簡后可得a2+b2=c2.

師：剛才我們借助等積法驗證了勾股定理，其實(shí)等積法在直角三角形內(nèi)還有一個常見的應(yīng)用——請大家思考“如果直角三角形的兩條直角邊AB=6，BC=8，那么斜邊上的高BD為多少”.

生：容易求得直角三角形的斜邊為10，利用等積法可得6×8=10×BD，所以BD=4.8.

師：非常棒！我們初中階段要計算直角三角形斜邊上的高，就是利用等積法.

設(shè)計意圖？搖 學(xué)生利用4張全等的直角三角形紙片進(jìn)行拼接，在操作—思考—交流—?dú)w納的過程中親自驗證了勾股定理，對勾股定理有了更深層次的認(rèn)知. 同時，學(xué)生在勾股定理的驗證過程中，對等積法也有了更深入的理解. 筆者順勢引出等積法的另一個常見應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生歸納、發(fā)現(xiàn)求直角三角形斜邊上的高就是利用等積法，幫助學(xué)生進(jìn)一步積累了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，也拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 學(xué)生由此積淀出關(guān)于等積法的一種初步思維模式，這能為后續(xù)利用等積法解決其他類似問題做鋪墊.

觀察問題共性特征，運(yùn)用數(shù)學(xué)

基本活動經(jīng)驗

通過感悟得到的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，不能只停留在紙上談兵層面，我們還需要培養(yǎng)學(xué)生將其運(yùn)用到有共性的問題中的能力. 學(xué)生要能夠在復(fù)雜的條件中判斷出解題的關(guān)鍵點(diǎn)，與已經(jīng)積累的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗相匹配，找到不同問題中的共性特征，并遷移已有的活動經(jīng)驗，舉一反三，從而建立起屬于自己的解決問題的一套經(jīng)驗體系.

教學(xué)片段3

師：已知直角三角形的兩條直角邊AB=5，BC=12，點(diǎn)O是∠BAC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，求點(diǎn)O到AB的距離. 這題如何解決？看到角平分線你有什么想法？

生：過點(diǎn)O作直角三角形三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)可得OD=OE=OF（如圖4）.

師：那如何求垂線段OD的長呢？

生：容易求得AC=13. 因為S■=S■+S■+S■=■OD（AB+BC+AC）=30，所以O(shè)D=2.

師：更一般地，如果把△ABC的面積記為S，周長記為C，那OD可以如何表示？

生：OD=■.

師：那如果已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，如何求點(diǎn)O到BC的距離？

生：如圖5，過點(diǎn)O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)得OD=OE=OF，利用等積法同理可得OD=■.

師：等腰三角形的面積怎么求？

生：如圖6，過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，則BG=CG=5. 由勾股定理得AG=12，故S■=60，OD=■=■.

師：三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，要求這個距離，可利用等積法得到OD=■，然后求出三角形的面積和周長即可.

設(shè)計意圖 ？搖筆者先將問題設(shè)置到直角三角形中，從角平分線的性質(zhì)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，而垂線段放在三角形中可以看作高，所以利用等積法計算大三角形的面積即可求得這個距離. 接著將題目背景設(shè)置到等腰三角形中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個問題的共性——同樣利用等積法可以求得這個距離，關(guān)鍵是作高后結(jié)合“三線合一”求等腰三角形的面積. 學(xué)生通過對不同問題共性特征的觀察，將感悟到的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗進(jìn)行遷移，拓寬了學(xué)生的思維，形成了關(guān)于等積法的更系統(tǒng)的一種思維模式，幫助學(xué)生積累了更加全面的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.

建立數(shù)學(xué)直觀思維，升華數(shù)學(xué)

基本活動經(jīng)驗

積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的最終目的是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 只有通過長期對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累、運(yùn)用和升華，才能從特殊到一般，幫助學(xué)生積淀一種數(shù)學(xué)直觀，甚至形成一定的數(shù)學(xué)直覺，這樣學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時就能快速地?fù)駜?yōu)解決.

教學(xué)片段4

師：更一般地，在△ABC中，AB=13，BC=15，AC=14，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，求點(diǎn)O到邊AB的距離.

生：過點(diǎn)O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)得OD=OE=OF，再利用等積法得OD=■.

師：那如何求這個任意三角形的面積呢？

生：如圖7，作AC邊上的高BD.

師：如何求BD？

生：設(shè)AD=x，則CD=14-x. 于是可以列出方程132-x2=152-（14-x）2.？搖？搖？搖

師：設(shè)未知數(shù)表示出AD和CD，然后在有公共邊的兩個直角三角形中借助BD2兩次運(yùn)用勾股定理列方程. 然后呢？

生：解得x=5. 利用勾股定理得BD=12，所以S■=84，OD=■=4.

師：很好！已知任意一個三角形三條邊的長，只要作高后利用勾股定理列方程即可求出這個三角形的面積，再結(jié)合等積法就可以求出這個三角形的角平分線的交點(diǎn)到一邊的距離了.

設(shè)計意圖？搖 通過前面一系列數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的喚醒、感悟和運(yùn)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗已經(jīng)上升到一定的抽象高度，獲得了許多有價值的思維活動經(jīng)驗. 在此基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)將問題背景設(shè)置得更為一般，放在普通的三角形內(nèi)讓學(xué)生研究，試圖幫助學(xué)生建立一定的數(shù)學(xué)直觀. 從直角三角形到等腰三角形，再到任意一個三角形，筆者通過這三個運(yùn)用的層層遞進(jìn)，從特殊到一般，發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建立起一種數(shù)學(xué)直觀——求三角形角平分線交點(diǎn)到三邊的距離的本質(zhì)就是利用等積法.

結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)中越來越重要. 教師作為教學(xué)活動的組織者和引導(dǎo)者，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，喚醒已有的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗. 同時，在知識的形成過程中，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理，幫助學(xué)生進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，并將其運(yùn)用升華，積淀出一種思維模式，形成一定的數(shù)學(xué)直觀.