優(yōu)化參考答案 發(fā)揮導(dǎo)向作用

白雪峰 宋月娟 任媛媛

[摘? 要] 文章基于一道中考數(shù)學(xué)試題多種解題方法的比較研究，闡明了參考答案的價(jià)值和作用，結(jié)合中考復(fù)習(xí)解題教學(xué)改進(jìn)的實(shí)際需求，提出了在教學(xué)評(píng)價(jià)中編制和使用參考答案的具體策略與要求.

[關(guān)鍵詞] 參考答案;導(dǎo)向作用;中考數(shù)學(xué)試題;一題多解;比較研究

教學(xué)評(píng)價(jià)既是整體教學(xué)理念的引導(dǎo)，又是教學(xué)理念變化的反映，而評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是整個(gè)評(píng)價(jià)的核心 [1]. 因此， 從標(biāo)準(zhǔn)的變化中我們可以看出教學(xué)理念的變化. 在各種考試評(píng)價(jià)中，都會(huì)提供參考答案，因此，參考答案對(duì)師生來(lái)說(shuō)都是非常熟悉的. 在使用參考答案的過(guò)程中，師生都能感受到參考答案帶來(lái)的便利：明確了數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范格式，有助于指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣;提供了便于學(xué)生及時(shí)自我反饋檢測(cè)情況的參考依據(jù)，有助于學(xué)生及時(shí)糾正錯(cuò)誤;呈現(xiàn)了解題思路和主要方法，有助于教師備課，節(jié)省了時(shí)間等等[2] . 但是，由于使用參考答案不當(dāng)以及參考答案自身存在一些缺陷，也帶來(lái)了一些問(wèn)題，使得參考答案失去了指導(dǎo)教學(xué)改進(jìn)的導(dǎo)向功能，以及拓展師生解題思路、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的實(shí)踐價(jià)值. 本文以2019年成都市中考數(shù)學(xué)第19題為例，闡明了筆者對(duì)發(fā)揮參考答案價(jià)值導(dǎo)向作用的思考與實(shí)踐，以期和同仁分享.

問(wèn)題與解析

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=■x+5和y=-2x的圖像相交于點(diǎn)A，反比例函數(shù)y=■的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

（1）求反比例函數(shù)的解析表達(dá)式;

（2）設(shè)一次函數(shù)y=■x+5與反比例函數(shù)y=■的圖像交于點(diǎn)B，連接OB，求△AOB的面積.

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是這樣定義的：設(shè)A是平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線AM，作y軸的垂線AN，M，N是垂足，則點(diǎn)M在x軸的坐標(biāo)m和點(diǎn)N在y軸的坐標(biāo)n一起，記作（m，n），叫作點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A（m，n），垂線段AM=m，AN=n.有了這樣的理解，如果知道在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，那么求△ABC的面積就不必死記硬背那些所謂的公式，應(yīng)用AM，AN為高線，依據(jù)“補(bǔ)形法”便可順暢求解△ABC的面積.

■ 多解與比較

如圖1，（1）由y=■x+5，y=-2x解得x=-2，y=4.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，4）. 將（-2，4）代入y=■，得到a=-8. 所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-■.

（2）由y=■x+5，y=-■解得x=-2，y=4或x=-8，y=1. 所以B（-8，1）.在△ABO中，點(diǎn)A，B，O的坐標(biāo)分別為A（-2，4），B（-8，1），O（0，0）.

下面來(lái)求△ABO的面積.

筆者認(rèn)為，求一個(gè)三角形的面積，一般來(lái)說(shuō)可以考慮從以下三個(gè)角度入手：第一，考慮這個(gè)三角形是否可直接求面積，即是否可以直接求出此三角形的一邊及這一邊上的高;第二，考慮能否將原三角形看成幾個(gè)易求面積的三角形的和或者差;第三，考慮將原三角形轉(zhuǎn)化為其他易求的等面積的圖形來(lái)解決. 實(shí)際上，本題中的三角形或可補(bǔ)成其他圖形以間接求其面積，但是一般來(lái)說(shuō)，補(bǔ)成的圖形邊數(shù)越多，圖形就會(huì)越復(fù)雜，求解相對(duì)也更加困難. 這里僅舉幾例，旨在說(shuō)明方法，有興趣的讀者可以做更多嘗試.

解法1?如圖2，直線AB：y=■x+5與y軸交于點(diǎn)（0，5），即在y軸上的截距為5，所以 OP=5，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線AC，BD，垂足為C，D.

因?yàn)辄c(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，4），（-8，1），所以 AC=2，BD=8. 所以S△ABO=S△BOP-S△AOP=■OP·BD-■OP·AC？搖=■OP·（BD-AC）=■×5×（8-2）=15.

說(shuō)明解法1從直線AB與y軸相交這個(gè)條件出發(fā)，發(fā)現(xiàn)△ABO面積是△BOP與△AOP面積的差，且△BOP與△AOP有公共邊OP，OP易求且長(zhǎng)度為5.

解法2?類似于解法1，如圖3，直線AB：y=■x+5在x軸上的截距為-10，所以O(shè)Q=10. 過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線AM，BN，垂足為M，N. S△ABO=S△AOQ-S△BOQ=15.

說(shuō)明?解法2是從直線AB與x軸相交這個(gè)條件出發(fā)，將△ABO面積看成是△AOQ與△BOQ面積的差，借助于A，B，Q三點(diǎn)坐標(biāo)求解. 解法2相較于解法1，需先求出Q的坐標(biāo)，計(jì)算量略微增多，難度也略有增加.

解法3?如圖4，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線AM，BN，垂足為M，N. 由模型可知： S△ABO=S梯形AMNB. 所以S△ABO =■（y1+y2）（x1-x2）=■（1+4）[（-2）-（-8）] =■×5×6=15.

說(shuō)明?實(shí)際上，在解法3中，應(yīng)用反比例函數(shù) y=-■解析式得x·y=-8，所以x·y=8，所以S△AOM =S△BON=4. 去掉其公共部分的△POM，S△AOP =S梯形BNMP，應(yīng)用題目中反比例函數(shù)圖像及其特殊的性質(zhì)，割去△MOP而補(bǔ)成梯形BNMP，這種解法計(jì)算難度不大，不過(guò)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不易想到.

解法4?如圖5，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸、x軸的垂線AM，BN，垂足為M，N，設(shè)AM，BN交于點(diǎn)Q. 這樣所求△ABO的面積就轉(zhuǎn)化為從矩形MONQ的面積中，減去三個(gè)三角形，即減去△AOM、△BON和△ABQ 的面積.

說(shuō)明?解法3和解法4采用的都是典型的“割補(bǔ)法”，其中解法3是將△ABO補(bǔ)成梯形進(jìn)行求解，而解法4則是將△ABO補(bǔ)成矩形進(jìn)行求解. 應(yīng)該說(shuō)，解題思路是比較簡(jiǎn)單的，但計(jì)算量較解法1和2有所增加.

解法5?如圖6，因?yàn)辄c(diǎn)B（-8，1），所以直線BO：y=-■x.

過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸，垂足為N，且交BO于點(diǎn)C，則yC=■. 所以 S△ABO=■AC·（xO-xB）=■4-■（0+8）=15.

說(shuō)明?實(shí)際上，我們還可以拆分△ABO成兩個(gè)具有公共邊的三角形. 如圖6，如果過(guò)點(diǎn)B作AN的垂線，垂足為M. 作BP垂直x軸于點(diǎn)P，OP=8. 這樣原△ABO被分成兩個(gè)三角形△ABC和△AOC，公共邊為AC. 所以S△ABO = S△ABC+S△AOC=■AC·BM+■AC·ON=■AC·（BM+ON）=■AC·OP=15.

解法6?如圖7，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，1）. 過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，交AO于點(diǎn)D. 將y=1代入y=-2x，解得x=-■. 所以D-■，1，所以BD=■. 所以S△ABO=■×■×4=15.

說(shuō)明在上述解法中，基于過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸的直線，將△ABO分成了兩個(gè)三角形△ABD和△BOD，且兩個(gè)三角形具有公共邊為BD. 實(shí)際上，如圖7，我們還可以過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)E，則EF=OC. 于是S△ABO=S△ABD+S△BOD=■BD·AE+■BD·OC=■BD·AE+■BD·EF=■BD·AF. 即S△ABO =■BD（yA-yO）=15.

事實(shí)上，筆者認(rèn)為解法5和解法6都是通過(guò)分割△ABO求得結(jié)果，解題中所產(chǎn)生的計(jì)算既復(fù)雜又不易理解，不如利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和補(bǔ)形法相結(jié)合而產(chǎn)生的解法1和解法2來(lái)得簡(jiǎn)單. 實(shí)踐出真知，數(shù)學(xué)的解題也是如此.

解法7 如圖8，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OA，可設(shè)直線BC的解析表達(dá)式為y=-2x+b，且過(guò)點(diǎn)（-8，1），易求b=-15，所以可得直線BC：y=-2x-15. 直線BC與x軸的交點(diǎn)為（-7.5，0）. 所以S△AOB=S△AOC=■OC·yA=■×7.5×4=15.

解法8?類似地，如圖9，如果過(guò)點(diǎn)A作AC∥OB，并設(shè)直線AC的解析表達(dá)式為y=-■x+b，由于AC過(guò)點(diǎn)（-2，4），則可得直線AC的解析表達(dá)式為y=-■x+■，它與y軸的交點(diǎn)為0，■. 進(jìn)一步由S△AOB=S△BOC求解.

說(shuō)明? 在解法8中，直線OB的解析式題目中沒(méi)有直接給出，需要學(xué)生自己求解，相較于解法7略為復(fù)雜，感興趣的讀者可自行完成計(jì)算.

解法9?由直線AB的解析式y(tǒng)=■x+5得kAB=■，由直線OA的解析式y(tǒng)=-2x得kOA=-2.

因?yàn)?kAB·kOA=-2×■=-1，所以O(shè)A⊥AB. 所以△OAB為直角三角形. 經(jīng)計(jì)算得OA=■=2■，AB=■=3■，所以 S△ABO=■OA·AB=■×2■×3■=15.

說(shuō)明?從直線AB與直線OA的解析式可以發(fā)現(xiàn)kAB·kOA=-2×■=-1，根據(jù)解析幾何知識(shí)：如果直線l1的解析式為y=k1x+b1，直線l2的解析式為y=k2x+b2，同時(shí)k1，k2存在且k1k2≠0，那么k1=-■？圳l1⊥l2 . 可知△ABO為直角三角形，因此可以直接求這個(gè)三角形的面積. 但是，這個(gè)條件相較于圖形信息而言較為隱秘，不容易被發(fā)現(xiàn).

另外，在函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中，兩條直線平行或垂直的問(wèn)題屬于常見(jiàn)問(wèn)題. 在初三專題復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際，在不增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的情況下，把部分解析幾何的內(nèi)容介紹給考生，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題實(shí)踐，這也是一種值得提倡的做法. 有了以上公式，學(xué)生再遇到垂直和平行的問(wèn)題，應(yīng)用上述公式便可使“直線型”問(wèn)題得到順暢而簡(jiǎn)明的解決.

縱觀上述解法，可以發(fā)現(xiàn)，解法1至4采用的都是“補(bǔ)形”的方法，通過(guò)借助顯性的已知條件，將所求圖形“轉(zhuǎn)化”為易求面積的特殊圖形，再用補(bǔ)成的大圖形減去相應(yīng)小圖形從而得解. 此種方法選取的條件信息最為直觀，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，計(jì)算量略有區(qū)別，蘊(yùn)含其中的重要數(shù)學(xué)思想就是“化歸”的思想. 解法5、6對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有更高要求，需要借助已知條件合理“分割”這個(gè)三角形，然后再用分割圖形的面積和來(lái)求解：比如，可以作平行于x軸的輔助線進(jìn)行橫向拆分或者作平行于y軸的輔助線縱向拆分;再如，可以過(guò)點(diǎn)A作輔助線拆分，或者過(guò)點(diǎn)B作輔助線. 當(dāng)然，還需要學(xué)生理解平面內(nèi)與坐標(biāo)軸平行的直線上兩點(diǎn)間的距離公式AB=x1-x2或CD=y1-y2. 而解法7、8主要利用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)作△ABO中某一邊的平行線，將原三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊落在坐標(biāo)軸上的三角形的面積，這種方法對(duì)學(xué)生的能力要求更高，需要將函數(shù)解析式、幾何圖形之間的關(guān)系、坐標(biāo)的運(yùn)用綜合思考，確實(shí)需要有較高站位才能實(shí)現(xiàn)這種解法的突破. 在上述解法中，解法9很好地利用了隱含條件kAB·kOA=-1，屬于特殊解法，不具有一般性.

■ 實(shí)踐與思考

縱觀上述四類九種解法，基于比較研究不難發(fā)現(xiàn)：在坐標(biāo)系下解決問(wèn)題，如何將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，是解題關(guān)鍵. 根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的定義，必然需要作平行（或垂直）于坐標(biāo)軸的直線，據(jù)此產(chǎn)生多種思路，也是基于利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段長(zhǎng)的方法，將轉(zhuǎn)化后的圖形與所給坐標(biāo)或可求點(diǎn)的坐標(biāo)相互關(guān)聯(lián)，通俗地說(shuō)就是過(guò)已知點(diǎn)（或易求點(diǎn)）作平行（或垂直）于坐標(biāo)軸的直線，從而實(shí)現(xiàn)圖形的“割”或“補(bǔ)”. 另外值得一提的是，解法5和 6是不同教輔材料中給出的參考答案，而其他解法都是筆者在教學(xué)實(shí)踐中收集整理的. 應(yīng)該說(shuō)每種解法都有它的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生在運(yùn)用中也會(huì)存在一些障礙點(diǎn). 在具體的教學(xué)中，教師還要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、接受程度和發(fā)展要求以及復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)際，適當(dāng)展開(kāi)對(duì)解題方法的研討，因材施教效果才會(huì)更佳.

1. 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提供典型解題方法

在解題教學(xué)中，教師如果固守參考答案所提供的思路或解法，在試題講解中就會(huì)被局限，學(xué)生也就會(huì)缺乏靈活而創(chuàng)新的解題能力，甚至?xí)驗(yàn)榻忸}思路窄化而“碰壁”. 事實(shí)上，參考答案不一定是標(biāo)準(zhǔn)答案，不一定就是最優(yōu)、最簡(jiǎn)的解法，教師在使用參考答案時(shí)必須要有自己的思考，不能過(guò)分依賴參考答案. 在實(shí)際解題教學(xué)中，教師要善于基于學(xué)生，更要善于發(fā)展學(xué)生.