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      關(guān)注知識綜合,聚焦方法策略

      2020-11-06 04:16:51苗曉麗
      關(guān)鍵詞:反比例函數(shù)數(shù)形結(jié)合圖像

      苗曉麗

      [摘? 要] 反比例函數(shù)與幾何綜合題在中考中十分常見,問題的考查內(nèi)容、命制形式、解析方法具有極高的研究價值,對問題開展教學(xué)探究有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 文章對問題背景進行探討,結(jié)合實例開展思路突破、拓展探究,提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

      [關(guān)鍵詞] 反比例函數(shù);幾何綜合;圖像;模型;數(shù)形結(jié)合

      問題背景

      反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點知識,需要掌握其性質(zhì)和圖像,而中考常綜合考查反比例函數(shù)和幾何知識,以常見的動點、平移、翻折、存在性等形式命題. 其問題類型多樣、難度較大,對學(xué)生的知識理解、方法掌握和解題思想有著較高的要求. 反比例函數(shù)與幾何綜合的突破關(guān)鍵為點坐標,由點坐標可以確定反比例函數(shù)曲線,而結(jié)合幾何點則可以建立幾何圖形. 對于該類綜合題有以下兩種突破思路:一是從關(guān)鍵點或線段入手,聯(lián)系點坐標和直線線段進行互化,聯(lián)合探究反比例函數(shù)與幾何特征;二是轉(zhuǎn)化、整合函數(shù)與幾何特征,構(gòu)建相應(yīng)的方程,或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)模型,利用對應(yīng)性質(zhì)來探究突破.

      問題探究

      中考中常見反比例函數(shù)與幾何的綜合題,其設(shè)問形式和解析思路均具有一定的代表性,具有極高的研究價值,下面以2019年江蘇省徐州市的一道壓軸題為例開展解題探究.

      (2019年江蘇省徐州市中考卷第28題)平面直角坐標系中,O為原點,點A,B分別在y軸、x軸的正半軸上. △AOB的兩條外角平分線交于點P,P在反比例函數(shù)y=■的圖像上. PA的延長線交x軸于點C,PB的延長線交y軸于點D,連接CD.

      (1)求∠P的度數(shù)及點P的坐標;

      (2)求△OCD的面積;

      (3)△AOB的面積是否存在最大值?若存在,求出最大面積;若不存在,請說明理由.

      思路突破? 本題目主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和幾何三角形等相關(guān)知識,解題的關(guān)鍵是把握函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)點——點坐標,合理構(gòu)建模型來轉(zhuǎn)化突破,對于其中的面積問題則需要充分結(jié)合面積公式,合理采用面積模型的構(gòu)建方法進行轉(zhuǎn)化解析.

      解析? (1)該問求∠P的度數(shù)及坐標,需要充分利用角平分線的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理. 已知AP和BP分別為△AOB的兩條外角平分線,則∠PAB=■∠BAY,∠PBA=■∠ABX,所以∠PAB+∠PBA=135°,則∠APB=45°. 過點P作AB的垂線,垂足為點H,再過點P分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為N和M,如圖2所示. 分析可證△PMA≌△PHA,△PNB≌△PHB,所以PM=PN. 根據(jù)反比例函數(shù)解析式可設(shè)點P的坐標為a,■,則a=■,可解得a=3,所以點P的坐標為(3,3).

      (2)該問求△OCD的面積,首先需要理解三角形構(gòu)建的過程,是兩條角平分線的延長線與坐標軸的交點,求三角形面積應(yīng)從關(guān)鍵點或關(guān)鍵線段入手. 由于△OCD為特殊的直角三角形,則其面積可以表示為S■=■·OC·OD,顯然解題的關(guān)鍵是確定OC和OD,可以求線段長,也可以直接確定OC·OD的值.

      結(jié)合條件分析可知不易直接求點C和點D的坐標,故需要求OC·OD的值,可將其視為相似三角形對應(yīng)邊成比例的一部分. 連接OP,并按照圖3標識角度. 分析可知∠7+∠8=45°,又知PM∥BC,PN∥OM,則∠3=∠7,∠4=∠8,所以∠3+∠4=45°,同理可證∠1=∠4,所以△POC∽△DOP,由相似性質(zhì)可得■=■,則OP2=OC·OD,從而有OC·OD=18,所以S■=■·OC·OD=9,即△OCD的面積為9.

      (3)該問探討△AOB的面積是否有最大值,三角形面積最值探究一般需要利用函數(shù)或不等式性質(zhì),因此可以采用如下思路:整合幾何特性,結(jié)合面積公式將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段長或坐標參數(shù)的面積函數(shù),通過函數(shù)分析來確定最值.

      設(shè)BN=x,AM=y,則OA=3-y,OB=3-x,由(1)問可知AB=x+y,在Rt△AOB中使用勾股定理可得(3-x)2+(3-y)2=(x+y)2,整理可得y=■,所以S■=■(3-x)(3-y)=■. 設(shè)■=k,整理可得x2+(k-3)x+3k=0. 由于x為實數(shù),則Δ=(k-3)2-12k≥0,可解得k≥9+6■或k≤9-6■,△AOB的面積小于9,則k≤9-6■,所以S■有最大值27-18■,即△AOB的面積存在最大值,且為27-18■.

      評析? 上述反比例函數(shù)與幾何綜合題主要考查幾何面積,解析時需充分利用函數(shù)與幾何的性質(zhì). 其中第(2)問構(gòu)造了相似三角形,利用相似性質(zhì)來轉(zhuǎn)化條件;而第(3)問則利用面積模型將問題轉(zhuǎn)化為面積函數(shù)及方程,利用一元二次方程根的判別式來分析函數(shù)的最大值. 總體來看,問題突破過程中需要充分把握函數(shù)與幾何特性,借助函數(shù)及方程性質(zhì)來分析轉(zhuǎn)化.

      拓展探究

      上述考題主要探討反比例函數(shù)與幾何面積,屬于反比例函數(shù)背景下的面積問題,而反比例函數(shù)與幾何綜合的考查視角較多,幾何特性判斷是另一重要考查內(nèi)容,問題解析時需要充分把握幾何特性與函數(shù)性質(zhì)間的關(guān)聯(lián),下面舉例探究.

      (2018年浙江省金華市中考卷第23題)如圖4所示,四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)y=■與y=■(x>0, 0

      (1)當(dāng)m=4,n=20時.

      ①若點P的縱坐標為2,求直線AB的函數(shù)表達式;

      ②若點P是BD的中點,試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.

      (2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時m,n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,試說明理由.

      解析? 本題目考查反比例函數(shù)背景下幾何圖形的形狀,需從幾何特性出發(fā)來探討.

      (1)①該問求直線AB的表達式,只需要提取反比例函數(shù)圖像上點A和點B的坐標即可,可求得y=■x+3.

      ②該問探討四邊形ABCD的形狀,需要根據(jù)點坐標來確定線段長,由線段長度關(guān)系來分析幾何形狀. 易得B(4,1),D(4,5),則點P(4,3),分析可得PA=PC=■,又知PB=PD,所以四邊形ABCD為平行四邊形;又知BD⊥AC,則四邊形ABCD為菱形.

      (2)該問探究四邊形ABCD能否為正方形,根據(jù)幾何特性可知需有PA=PB=PC=PD(設(shè)為t>0). 分析可得點B坐標為4,■,則點A坐標為4-t,■+t,所以(4-t)■+t=m,化簡得t=4-■,則點D的縱坐標值為8-■,所以點D的坐標為4,8-■.則4·8-■=n,整理可得m+n=32,即四邊形ABCD為正方形時有m+n=32.

      評析? 上述綜合題以反比例函數(shù)為背景考查特殊圖形的性質(zhì),解析時充分把握平行四邊形對角線互相平分、正方形對角線互相平分且相等的特性,而后聯(lián)合點坐標來構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系,從而高效解題.

      教學(xué)建議

      1. 夯實基礎(chǔ),方法積淀

      反比例函數(shù)與幾何考題屬于綜合性問題,其中涉及函數(shù)的性質(zhì)與圖像、幾何定理定義、性質(zhì)變換等基礎(chǔ)知識,問題形式和知識背景變換多樣,但考查內(nèi)容均大同小異,解題的方法技巧是相通的. 開展考題探究需要從問題所涉的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本思想入手,處理好通法和技巧之間的關(guān)系,合理構(gòu)建類型問題的突破思路. 例如上述問題的突破充分利用了函數(shù)與幾何的性質(zhì),把握點坐標與幾何特性之間的聯(lián)系,以此作為突破口開展解析推導(dǎo),同時融合待定系數(shù)法、交點坐標法、代數(shù)方程法等方法技巧. 因此在教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的考查內(nèi)容,夯實基礎(chǔ)知識,歸納總結(jié)知識技巧,進行解題方法的積淀,從根本上提升學(xué)生的能力.

      2. 延伸拓展,開放思維

      把握問題內(nèi)容的主干,在此基礎(chǔ)上開展拓展訓(xùn)練,有助于學(xué)生對問題的理解,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性. 例如上述“拓展探究”階段中從反比例函數(shù)與幾何形狀入手開展問題探究,讓學(xué)生對該類型綜合題的考查視角有了更深刻的認識,總結(jié)了相應(yīng)的突破思路. 在拓展探究過程中還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的拓展遷移方法,對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著一定的幫助. 因此在實際教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開展問題拓展延伸,從問題的內(nèi)容、解法入手進行深度教學(xué),讓學(xué)生感知問題中融合的思想方法,感悟通法解題的優(yōu)勢所在.

      3. 承啟高中,數(shù)形結(jié)合

      函數(shù)與幾何問題是中學(xué)數(shù)學(xué)知識融合的典型代表,該類問題具有一定的導(dǎo)向性,可為函數(shù)與幾何問題的突破提供解法參考. 如上述從關(guān)鍵點入手,聯(lián)系幾何特性的思路不僅適用于初中的反比例函數(shù)與幾何綜合題,對后續(xù)高中數(shù)學(xué)的同類考題也具有參考價值,因此學(xué)生在學(xué)習(xí)中需要洞悉考題結(jié)構(gòu),總結(jié)方法思路,形成解題策略. 另外數(shù)形結(jié)合也是解析函數(shù)與幾何類考題的常用方法,數(shù)形結(jié)合解析問題,即以形助數(shù),以數(shù)輔形,是實現(xiàn)“數(shù)”與“形”有效融合的方法. 通過數(shù)形結(jié)合可以把握曲線圖像與幾何圖形的結(jié)構(gòu)及關(guān)聯(lián),打開問題的突破口,構(gòu)建問題解析的思路.

      總之,開展考題探究應(yīng)關(guān)注問題的考查內(nèi)容、解析思路和拓展方向,形成類型問題系統(tǒng)的知識與方法儲備. 反比例函數(shù)與幾何綜合題是中考的典型問題,其問題結(jié)構(gòu)和突破思路具有廣泛適用性,教師要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題,總結(jié)方法,強化思維,穩(wěn)步提升.

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