關(guān)于折疊問題突破策略的舉例探究

季慧

[摘? 要] 圖形折疊是中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)問題，其中涉及眾多幾何特性和數(shù)學(xué)規(guī)律，在解析時(shí)需要采用合理的方法策略來構(gòu)建思路.文章以2019年中考的折疊問題為例，探討折疊問題常用的四種突破策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 幾何折疊;折疊問題;全等;軸對稱

圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，以其為背景的折疊問題是中考的常見題型，該類問題常借助圖形折疊來考查軸對稱變換、幾何特性、三角形全等、解直三角形等知識(shí)，問題綜合性較強(qiáng)，解析時(shí)可以采用多種方法策略. 下面探究其解析策略，探討問題教學(xué).

解析策略舉例探究

折疊問題的核心內(nèi)容是軸對稱，其中的折疊特性也是基于該內(nèi)容所構(gòu)建的，而在探究解析時(shí)可以采用多種策略，如把握其中的變量與不變量、軸對稱的垂直平分關(guān)系、圖形折疊中的特殊關(guān)系與特殊位置等，充分挖掘問題中的隱含信息，構(gòu)建相應(yīng)的解題思路.

策略一：把握折疊中的變量與不變量

折疊是圖形動(dòng)態(tài)變化的過程，在該過程中“變”的是位置，而“不變”的是圖形本身所具有的特性，因此在實(shí)際解析時(shí)可以把握其中的變量與不變量，根據(jù)不變量來提取恒定關(guān)系，打開解題突破口.

例1? （2019年江蘇省常州市中考卷）如圖1，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′與AD相交于點(diǎn)E.

（1）連接AC′，則AC′與BD的位置關(guān)系是____________;

（2）EB與ED相等嗎？證明你的結(jié)論.

分析? （1）題干給出了圖形折疊的過程，根據(jù)幾何性質(zhì)和折疊特性可知AE=C′E，由三角形內(nèi)角和定理可得等角關(guān)系，進(jìn)而可推AC′與BD的平行關(guān)系;（2）初步分析EB與ED相等，對于該結(jié)論可以由等腰三角形的“等角對等邊”來獲得，因此可從幾何角來切入.

解? （1）連接AC′，由于AD=C′B，ED=EB，則AE=C′E，由三角形內(nèi)角和定理可知∠EAC′=∠EC′A=∠EBD=∠EDB，所以AC′∥BD.

（2）根據(jù)折疊特性可知∠CBD=∠C′BD，由于AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，進(jìn)而可推知∠EDB=∠EBD，則△BED為等腰三角形，有EB=ED.

策略二：活用軸對稱中的垂直平分

折疊前后的圖形關(guān)于折痕對稱，即折疊所形成的圖形為軸對稱圖形，由軸對稱特性“對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線”可提取等長和垂直線段，由該特性可構(gòu)建相等、垂直關(guān)系，有利于確定后續(xù)解析的方向.

例2 （2019年江蘇省淮安市中考卷）如圖2所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP的值為______.

分析? 連接PB，交CH于E，根據(jù)軸對稱特性和三角形內(nèi)角和定理可得CH垂直平分PB，同時(shí)可證PA∥CH，可得出∠BAP=∠BHE，可在Rt△BCH中構(gòu)建∠HAP的正切關(guān)系，從而代入線段長求值.

解? 連接PB，與CH的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)E，折疊前后的圖形關(guān)于折痕軸對稱，根據(jù)軸對稱特性可知點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，而線段PB⊥CH. 根據(jù)條件可推得AH=BH=PH，所以∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，進(jìn)而可知∠APB=90°. 由PB⊥CH可證PA∥CH，所以∠HAP=∠BHE. 在Rt△BCH中，已知BC=2，BH=■，則tan∠HAP=■=■，即tan∠HAP的值為■.

策略三：提取折疊圖形中的特殊關(guān)系

圖形折疊過程中必然涉及一些特殊的圖形和特殊關(guān)系，例如全等三角形、相似三角形、直角三角形等，根據(jù)其對應(yīng)特性即可提取特殊關(guān)系，合理利用其中的特殊關(guān)系可以構(gòu)建解析思路，簡化解題過程.

例3? （2019年廣東省深圳市中考卷）如圖3所示，在正方形ABCD中，BE=1，將BC沿CE翻折，使B點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)剛好落在對角線AC上，將AD沿AF翻折，使D點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)剛好落在對角線AC上，則EF的線段長為______.

分析? 過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為點(diǎn)M，根據(jù)折疊和等腰直角三角形的性質(zhì)可知EX=EB=AX=1，∠EXC=∠B=90°，AM=DF=YF=1. 而由勾股定理可知AE=■，進(jìn)而可推知正方形邊長AB的長，以及EM的長，后續(xù)利用勾股定理可求出EF的長.

解? 作FM⊥AB于點(diǎn)M，如圖4所示，已知四邊形ABCD為正方形，則有∠BAC=∠CAD=45°. 分析圖形折疊的過程，可知EX=EB=AX=1，∠EXC=∠B=90°. 在Rt△AEX中使用勾股定理可得AE=■=■. 點(diǎn)D的翻折落點(diǎn)是點(diǎn)Y，則AM=DF=YF=1，可推知正方形的邊長AB=FM=■+1，則EM=■-1. 在Rt△EMF中使用勾股定理可得EF=■=■，即EF的線段長為■.

策略四：討論折疊中的落點(diǎn)位置

在圖形折疊過程中落點(diǎn)是其較為重要的內(nèi)容，折疊的落點(diǎn)不同所形成的復(fù)合圖形也具有較大差異，對于落點(diǎn)不明確的問題則可以對其加以討論，形成對應(yīng)幾何模型，據(jù)此構(gòu)建相應(yīng)的解析思路.

例4? （2019年河南省中考卷）如圖5所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=■a. 連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為______.

分析? 本題目沒有明確點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的落點(diǎn)，需要分兩種情況加以討論：①點(diǎn)B′落在AD邊上，②點(diǎn)B′落在CD邊上. 針對不同的情形需要根據(jù)折疊特性及相關(guān)幾何特性來探究突破.

解 ①當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如圖6所示，根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊特性可知∠BAE=∠B′AE=■∠BAD=45°，則AB=BE，所以■a=1，從而解得a=■.

②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時(shí)，如圖7所示，根據(jù)矩形性質(zhì)可得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a. 根據(jù)折疊過程可得∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，EB=EB′=■a，可推知DB′=■，EC=BC-BE=■a. 進(jìn)一步分析可證△ADB′∽△B′CE，由相似性質(zhì)可得■=■，從而可解得a1=■，a2=0（舍去）.

綜上可知，a的值為■或■.

折疊問題教學(xué)思考

上述對折疊問題突破的四種方法策略進(jìn)行了實(shí)例探究，其解析思路和方法技巧具有一定的參考價(jià)值，而在實(shí)際教學(xué)折疊問題時(shí)需考慮學(xué)情和考情，針對問題特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行教學(xué)，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 立足數(shù)學(xué)關(guān)系，奠定解題基礎(chǔ)

幾何的定理定義是解決折疊問題的基本工具，上述所探討的四大解題策略涉及幾何的軸對稱關(guān)系、全等關(guān)系、垂直平分、幾何特性等內(nèi)容，在教學(xué)中需要對這些關(guān)系進(jìn)行梳理. 例如引導(dǎo)學(xué)生理解幾何折疊過程中隱含的軸對稱現(xiàn)象，折疊前后的圖形關(guān)于折痕對稱. 對于其中的折疊特性則需要從線段長、幾何角大小和圖形形狀等方面進(jìn)行總結(jié)闡釋. 教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的特殊關(guān)系，如直角三角形的三邊關(guān)系，相似三角形對應(yīng)邊的比的關(guān)系等，讓學(xué)生掌握圖形折疊的內(nèi)在規(guī)律，充分聯(lián)合其中的數(shù)學(xué)關(guān)系來構(gòu)建思路.

2. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升折疊價(jià)值

圖形折疊問題突破過程中滲透著眾多的數(shù)學(xué)思想，開展折疊問題的數(shù)學(xué)思想教學(xué)可以提升考題的價(jià)值.折疊問題建立在空間平面上，其中涉及線段長的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)隱含著數(shù)學(xué)的函數(shù)思想、方程思想等.對于以折疊為背景的幾何問題，在實(shí)際教學(xué)中不應(yīng)局限于基本的幾何定理，而應(yīng)以折疊為基礎(chǔ)滲透數(shù)學(xué)思想方法.例如上述例4的探究中以勾股定理和相似性質(zhì)為基礎(chǔ)，融合方程思想來構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的解析方程.數(shù)學(xué)解題應(yīng)重視其中的思想方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來指導(dǎo)思路構(gòu)建，可快速打開解題突破口，這對學(xué)生的思維發(fā)展是十分有利的.

3. 關(guān)注折疊構(gòu)造，發(fā)展核心素養(yǎng)

圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，其動(dòng)態(tài)過程中隱含著眾多“變”與“不變”的關(guān)系，教學(xué)中若僅通過圖形探究很難使學(xué)生充分掌握問題的突破方法，也不容易形成折疊問題的突破策略.本文建議教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的折疊實(shí)例，從添加輔助線入手來幫助學(xué)生掌握折疊問題的構(gòu)造方法.例如連接對應(yīng)點(diǎn)，利用連線與折痕的垂直關(guān)系來構(gòu)建直角三角形;完善折疊圖形，利用折疊前后的全等關(guān)系來提取等量關(guān)系.構(gòu)造圖形是初中階段需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的方法技巧，對于幾何問題的突破至關(guān)重要，教師在教學(xué)中應(yīng)重視圖形構(gòu)造，以幾何構(gòu)造為基礎(chǔ)來發(fā)展學(xué)生的構(gòu)造思想，逐步提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

結(jié)束語

折疊問題的突破策略眾多，上述所呈現(xiàn)的只是其中較為常用的幾種，而在實(shí)際解析時(shí)需要根據(jù)問題特點(diǎn)、圖形結(jié)構(gòu)靈活變通.另外圖形折疊中隱含的定理是圖形折疊的本質(zhì)體現(xiàn)，教師在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘，重點(diǎn)體會(huì)，融合數(shù)學(xué)的思想方法來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.