答題知技巧，事半功必倍

劉紅梅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門以解決問題為主要任務(wù)的學(xué)科，對(duì)于學(xué)生而言，解決問題能力最直接的體現(xiàn)方式就是“答題”，答題的效果是反映學(xué)生知識(shí)掌握程度及能力水平的重要標(biāo)志，因此學(xué)生的答題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要關(guān)注點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 答題技巧;選擇題;解決問題;中考數(shù)學(xué)

初中階段是九年制義務(wù)教育的沖刺階段，學(xué)生將面臨“中考”這一人生中重要的一次階段性成果檢測(cè)，中考成績(jī)?cè)趲熒睦镉兄e足輕重的作用. 誠(chéng)然，答題以知識(shí)為基礎(chǔ)，以方法為手段，雙基的掌握是正確答題的重要保障，同時(shí)答題技巧在解題中有時(shí)也能發(fā)揮關(guān)鍵性的作用，能夠熟練掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用答題技巧，可以在一定程度上縮短解題時(shí)間、提高答題正確率，使解題達(dá)到“事半功倍”的效果. 本文參照南通市2019年的一道中考題，以選擇題的答題技巧為例，談?wù)劜煌慕忸}技巧在實(shí)際問題中的運(yùn)用，給師生們作為參考，權(quán)當(dāng)是拋磚引玉.

在教學(xué)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，答題技巧并非在所有問題的解答過程中都很明顯，而是無形地滲透于解決問題的所有環(huán)節(jié). 其中能較為明顯地體現(xiàn)出答題技巧的以選擇題、填空題為主. 由于篇幅限制，本文僅初步盤點(diǎn)選擇題的答題技巧.

選擇題常見的解題技巧有直接解答法、排除法、特殊值法、觀察猜想法、測(cè)量法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法、枚舉法等，這些技巧常常能夠給選擇題的解決提供“捷徑”，讓選擇題的解答更快、更準(zhǔn).

問題展示

（2019·南通）如圖1，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<120°）得到△AB′C′，B′C′與BC，AC分別交于點(diǎn)D，E. 設(shè)CD+DE=x，△AEC′的面積為y，則y與x的函數(shù)圖像大致為（? ? ? ）

問題剖析

該問題以△AEC′的面積為考查對(duì)象，探究三角形的面積隨CD，DE兩線段之和變化而變化的關(guān)系. 從選項(xiàng)中可以看出，我們需要辨別出自變量及因變量的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系還是二次函數(shù)關(guān)系及這個(gè)函數(shù)的增減性. 在解答過程中，確定三角形的面積計(jì)算方式是基礎(chǔ)，找準(zhǔn)△AEC′的面積與CD，DE兩線段之和所存在的聯(lián)系為關(guān)鍵.

問題解決

方法一：巧觀察，細(xì)猜想

觀察是對(duì)問題的解讀，猜想是對(duì)問題的分析，觀察與猜想是解決數(shù)學(xué)問題的首要心理活動(dòng). 尤其對(duì)于幾何問題的解答，觀察與猜想更是不可缺少的重要步驟.

如圖2，對(duì)于△AEC′而言，要求面積，首先確定它的底邊為EC′，接著作出EC′邊上的高AF，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)AF的長(zhǎng)度，其值與△AB′C′即△ABC的高相等，為定值，因此△AEC′的面積只與線段C′E長(zhǎng)度相關(guān)，可以確定y與x的函數(shù)為一次函數(shù)，隨即排除C和D兩個(gè)選項(xiàng)，再由觀察可知，隨著CD+DE的增大，EC′的長(zhǎng)度減小，則三角形的面積隨之減小，因此即可將答案確定為選項(xiàng)B.

在上述過程中，我們采用了觀察猜想法及排除法，其中發(fā)現(xiàn)三角形的高為定值是解題的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)三角形的面積與線段之和的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系作出正確的判斷是鎖定答案的重點(diǎn).

方法二：特殊值，靜制動(dòng)

特殊值代入法是選擇題中較為實(shí)用的技巧，它可以使抽象的問題具體化，降低問題的難度. 對(duì)于幾何動(dòng)態(tài)問題來說，“以靜制動(dòng)”是不變的原則，也是解決該類問題的必備思路. 在該問題中，將“以靜制動(dòng)”與特殊值代入法相結(jié)合即可使問題迎刃而解.

在上述問題中，我們觀察到CD+DE的值隨α的變化而變化，△AEC′的面積同樣會(huì)隨之變化，α可以作為探究的對(duì)象，題中給α限定的范圍是0°<α<120°，我們可以依據(jù)這個(gè)范圍將臨界值確定為特殊值進(jìn)行討論.

①當(dāng)α逼近0°時(shí)（如圖3），可見△AEC′的面積趨近于0，此時(shí)CD+DE近似等于BC的長(zhǎng)度2■，則我們可以近似地將（2■，0）作為該函數(shù)圖像上的一個(gè)參照點(diǎn).

②當(dāng)α逼近120°時(shí)（如圖4），△AEC′的面積與△ABC的面積近似相等，趨近于■，此時(shí)CD+DE趨近于0，則（0，■）也可以近似認(rèn)為是函數(shù)圖像上的一個(gè)參照點(diǎn);

由①②可知答案在選項(xiàng)B和C之間，但依舊無法確定究竟是哪一個(gè)，這時(shí)需要再取一個(gè)特殊值，根據(jù)0°<α<120°可以考慮將特殊值選定為α=60°.

③當(dāng)α=60°時(shí)（如圖5），不難看出△AEC′的面積是△ABC面積的一半，為■，此時(shí)CD+DE的長(zhǎng)度是BC長(zhǎng)度的一半，為■，即此函數(shù)圖像還經(jīng)過■，■，以此為依據(jù)便可以確定最終結(jié)果為選項(xiàng)B.

選擇題因?yàn)槠漕}型的特殊性，使得特殊值法可以在選擇題解題過程中使用而不能在解答題中進(jìn)行使用，這種方法實(shí)則是演繹推理的體現(xiàn)，即從一般到特殊的思維方式. “以靜制動(dòng)”是幾何動(dòng)態(tài)問題的基本原則及思路，只有找準(zhǔn)“動(dòng)”中的“靜”，才能讓問題具體化，從而找到解決問題的突破口.

方法三：二合一，找關(guān)系

在針對(duì)這個(gè)問題的常規(guī)方法中，找準(zhǔn)自變量及因變量的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，由函數(shù)關(guān)系是一種“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系可知，將CD+DE這兩個(gè)變量之和合并為一個(gè)變量是找到函數(shù)關(guān)系的重要任務(wù).

如圖6，我們經(jīng)過觀察與猜想可以發(fā)現(xiàn)B′D的長(zhǎng)度與CD長(zhǎng)度相等，這個(gè)猜想可以經(jīng)過“雙子”型的全等得到證明，方法也不唯一：①記AB′與BC的交點(diǎn)為F，易證△ABF≌△AC′E，從而得出AF=AE，所以FB′=EC，進(jìn)而可證△DFB′≌△DEC，因此B′D=CD;②連接BB′及C′C，可證△ABB′≌△AC′C，得知BB′=C′C，∠BB′A=∠C′CA，所以∠BB′D=∠C′CD，進(jìn)一步可證△DBB′≌△DC′C，同樣可證B′D=CD. 以此為依據(jù)，即可將線段CD與DE合并成一條線段B′E，再次借助三角形面積的一般公式，作出△AEC′的高即可將三角形的面積表示出來：y=■·（2■-x）·1=-■x+■（0

在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)一般的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)思想不僅是選擇題的技巧，也是所有問題的有效思路. 在上述解決問題的過程中，以數(shù)學(xué)模型及基本方法為依據(jù)，同時(shí)結(jié)合觀察猜想、數(shù)形結(jié)合的技巧，既保證了答題的正確率，也提高了解答速度.

題后反思

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算及一次函數(shù)的圖像，是一道代數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合問題，難度中等，問題的實(shí)質(zhì)是將三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后把三角形的底邊隱藏，解決問題的突破口即是找到隱藏的條件. 綜合問題的解決要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上了解知識(shí)間的彼此聯(lián)系及相互融合，以掌握的知識(shí)作為依據(jù)，結(jié)合選擇題的答題技巧，高效率解決這個(gè)問題、確保答案的正確性便可實(shí)現(xiàn). 由上述的解答過程不難看出，不同的答題技巧可以同時(shí)運(yùn)用于同一個(gè)問題，一個(gè)問題的解答技巧也不是唯一的，所以答題技巧的使用和知識(shí)的掌握一樣需要靈活變通.

解答技巧并非是一種投機(jī)取巧，而是作為幫助解題的“輔助手段”而存在. 作為題型特殊的選擇題，因?yàn)檎_答案必存在于幾個(gè)特定的選項(xiàng)中，所以是最適合運(yùn)用技巧的題型. 技巧雖能幫助解決問題，但卻不能作為解決問題的唯一路徑，知識(shí)與方法才是基礎(chǔ). 對(duì)教師而言，在進(jìn)行選擇題解題指導(dǎo)時(shí)，重點(diǎn)依舊是問題背后隱藏的知識(shí)及常規(guī)方法，技能技巧是建立在基礎(chǔ)知識(shí)上的一種有效手段而非獨(dú)立存在. 解題技巧以知識(shí)作為載體與依托，與基本知識(shí)及基本方法相輔相成，只有充分掌握雙基才能使解題技巧發(fā)揮最大的成效，達(dá)到事半功倍的效果.