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    在一題多解中滲透初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

    2020-11-06 04:16蘇明海王興成
    關(guān)鍵詞:一題多解

    蘇明海 王興成

    [摘? 要] 文章對(duì)一道經(jīng)典幾何題目證法進(jìn)行剖析與總結(jié),增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中點(diǎn)問題的理解,并在證法中融入初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),不斷提升學(xué)生的模型思想與推理能力,切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

    [關(guān)鍵詞] 一題多解;初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);幾何證明

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下面簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)是基礎(chǔ)教育和課程改革的方向,其明確規(guī)定了義務(wù)教育階段的課程目標(biāo)與考試內(nèi)容. 《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求,數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想. 在初中學(xué)習(xí)階段,幾何證明題能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力和模型思想. 其中,推理主要包含兩類:一類是從特殊到一般的推理,主要形式是歸納類比;另一類是從一般到特殊的推理,主要形式是演繹. 剖析經(jīng)典題目的多種證法,能使學(xué)生的圖形感更強(qiáng),能進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí),提升他們的演繹推理能力. 在講解中對(duì)典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行多方向思考,依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)尋找突破口,這是合情推理,能使學(xué)生對(duì)一類題目的理解更深刻. 提煉結(jié)構(gòu),形成較強(qiáng)的模型意識(shí),關(guān)注幾何證明的通性通法,這是培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生的重要途徑.

    ■ 經(jīng)典題目

    試題?搖 如圖1,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,連接AD,CE,過點(diǎn)B作BG⊥CE,垂足為G,GB的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F,求證:AF=FD.

    ■ 結(jié)構(gòu)分析

    對(duì)于幾何證明題,解題開始時(shí)需要具備結(jié)構(gòu)意識(shí)與角度意識(shí). 具備結(jié)構(gòu)意識(shí),能快速理清圖形結(jié)構(gòu),對(duì)于常規(guī)結(jié)構(gòu),便可快速得到輔助線;具備角度意識(shí),能使學(xué)生在初始狀態(tài)下盡可能地找到隱藏條件,于是可能得到線段相等的結(jié)論.

    由已知,圖形由兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形構(gòu)成,已構(gòu)成常見的旋轉(zhuǎn)全等結(jié)構(gòu),如圖2,由此本題可考慮連接AE,CD,構(gòu)造出△ABE≌△CBD.

    從角度出發(fā),如圖3,∠ABD+∠CBE=180°,這是周角背景下典型的互補(bǔ)結(jié)構(gòu);如圖4,可由三角形外角和定理推得∠ABF=∠BCG. 推導(dǎo)角度時(shí)重點(diǎn)考慮這兩種結(jié)構(gòu).

    由結(jié)論,本題要證明兩條線段相等,通??梢赞D(zhuǎn)化為證明線段所在的兩個(gè)三角形全等,因此構(gòu)造全等三角形,所以聯(lián)系條件證明全等是解題關(guān)鍵. 除此之外,對(duì)于中點(diǎn)問題,經(jīng)常還會(huì)考慮中位線、斜中半、三線合一等.

    ■ 題目解析

    1. 推理輔助線,找準(zhǔn)基準(zhǔn)三角形

    證法1:如圖5,過點(diǎn)A作AN∥BD交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N. 因?yàn)锳N∥BD,所以∠NAB+∠ABD=180°,∠N=∠NBD. 因?yàn)椤螦BC=∠EBD=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°. 所以∠NAB=∠CBE. 因?yàn)锽G⊥CE,所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CG+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCG=∠ABN. 因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,所以AB=BC. 所以△ABN≌△BCE(ASA). 所以AN=BE. 因?yàn)椤鰾DE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以AN=BE=BD. 所以△AFN≌△DFB(AAS). 所以AF=DF.

    分析?搖 要證明線段相等,優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)化為證明三角形全等,再思考能否利用已知條件或轉(zhuǎn)化已知條件,其目的是為證明全等提供條件. 在本題中,F(xiàn)D所處的基準(zhǔn)三角形為△FBD,但AF所處的基準(zhǔn)三角形△ABF與△FBD不全等,于是不妨依托△FBD構(gòu)造全等.

    此法的核心在于轉(zhuǎn)化結(jié)論后全等的構(gòu)造,構(gòu)造△AFN所需要的輔助線需要選擇與對(duì)比,而培養(yǎng)學(xué)生推理能力的關(guān)鍵也在于此. 一般而言,輔助線應(yīng)盡可能提供證明全等所需要的條件,其次,構(gòu)造平行后產(chǎn)生了互補(bǔ)結(jié)構(gòu),這與已知的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生聯(lián)系,從而得到了核心角之間的等量關(guān)系. 若選擇倍長(zhǎng)BF,輔助線就與已知條件無(wú)法關(guān)聯(lián),已知的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)就無(wú)法給后續(xù)全等的證明提供角的等量關(guān)系. 教師在講解時(shí),一定要融入對(duì)比,通過推理產(chǎn)生最優(yōu)的解題路徑.

    2. 推理線段角色,巧用旋轉(zhuǎn)背景

    證法2:如圖6,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M,使得AB=BM,連接DM. 因?yàn)椤螦BC=∠EBD=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°. 因?yàn)椤螦BD+∠DBM=180°,所以∠DBM=∠CBE. 因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,所以AB=BC=BM. 因?yàn)椤鰾DE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以△BCE≌△BMD(SAS). 所以∠BCE=∠M. 因?yàn)锽G⊥CE,所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF=∠M. 所以BF∥DM. 又AB=BM,所以BF為△AMD的中位線. 所以F為AD的中點(diǎn),即AF=FD.

    分析?搖 此證法的核心在于理解線段BF的角色,由結(jié)論要證明F是中點(diǎn),因此BF可理解為中位線. 中位線的構(gòu)造一定由倍長(zhǎng)AB產(chǎn)生,此刻問題轉(zhuǎn)化為證明BF∥DM. 證明平行的本質(zhì)是證明角相等,即∠ABF=∠M. 由∠BCE=∠ABF,問題轉(zhuǎn)化為證明∠BCE=∠M. 通過角去尋找三角形,可推理出需要證明△BCE≌△BMD. 這是一組旋轉(zhuǎn)全等,旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)B,由輔助線的構(gòu)造得兩組對(duì)邊相等,此時(shí)可推理出只要證得兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可. 此處,由兩個(gè)互補(bǔ)結(jié)構(gòu)完成角相等的證明、全等三角形的證明后,結(jié)論得證. 教師在講解時(shí),一定要深度挖掘結(jié)論所包含的隱藏信息,構(gòu)造以BF為中位線的三角形. 其中,結(jié)構(gòu)意識(shí)能幫助學(xué)生快速推導(dǎo)角相等,從而完成證明.

    3. 找準(zhǔn)核心角以轉(zhuǎn)化問題

    證法3:如圖7,在CE上取一點(diǎn)H,使得CH=BF,連接BH. 因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形,所以AB=BC. 因?yàn)锽G⊥CE,所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF. 所以△ABF≌△BCH(SAS). 所以AF=BH,∠AFB=∠BHC. 又∠AFB+∠BFD=180°,∠BHC+∠BHE=180°,所以∠BFD=∠BHE. 容易證得∠DBF=∠BEC,又△BDE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以△BFD≌△EHB(AAS). 所以BH=FD. 所以AF=FD.

    分析? 此證法的核心在于轉(zhuǎn)移核心線段AF的位置. 由結(jié)構(gòu)分析可得到∠BCE=∠ABF,AB=BC,由此推理出通過構(gòu)造全等轉(zhuǎn)移AF的位置是可行的. 接下來(lái)的輔助線可直接構(gòu)造出證明全等所需要的第三個(gè)條件,此時(shí)問題變?yōu)樽C明BH=FD. 同理,可得到BD=BE,∠DBF=∠BEC,這兩個(gè)等量關(guān)系使得BH,F(xiàn)D所處的三角形可能全等,最后由互補(bǔ)結(jié)構(gòu)完成證明. 教師在講解時(shí),應(yīng)重點(diǎn)分析轉(zhuǎn)移核心線段AF位置的可能性以及此法最終能夠證明的可行性.

    4. 找準(zhǔn)核心比例來(lái)轉(zhuǎn)化問題

    證法4:如圖8,過點(diǎn)F作FQ∥BD交AB于點(diǎn)Q. 因?yàn)镕Q∥BD,所以∠AFQ=∠ADB,∠AQF=∠ABD,∠QFB=∠FBD. 所以△AQF∽△ABD. 因?yàn)锽G⊥CE,所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF. 同理,∠FBD=∠BEC,因此∠QFB=∠BEC. 所以△BCE∽△QBF. 因?yàn)椤鰾DE和△ABC都是等腰直角三角形,所以BD=BE,AB=BC. 設(shè)BD=x,AB=y,QF=a,QB=b,由△AQF∽△ABD,得■=■①,由△BCE∽△QBF,可得■=■②,將②代入①可得y=2b,因此■=■. 又FQ∥BD,所以■=■. 所以AF=FD.

    分析?此證法的核心在于通過平行線轉(zhuǎn)化AF=FD,將線段相等理解為1 ∶ 1. 相似所得的比例式含有4個(gè)字母,而最終的結(jié)論需要證明AF和AD的2倍關(guān)系或AQ與AB的2倍關(guān)系,即x與a的數(shù)量關(guān)系或y與b的數(shù)量關(guān)系,因此推理出需要利用基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行代數(shù)消元. 依托互補(bǔ)結(jié)構(gòu)定位相等角的位置,由此定位△BCE,△BQF,由相似得到等量關(guān)系,代入消去x,a后結(jié)論得證. 由此法,教師還可將平行線轉(zhuǎn)化比例進(jìn)行一般化推廣.

    基于幾何一題多解與核心素養(yǎng)

    培養(yǎng)的思考

    1. 回歸基礎(chǔ),強(qiáng)化基本概念,確定解題方向

    幾何圖形的基本定義、基本性質(zhì)、基本定理和判定,是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ). 對(duì)于本題,學(xué)生要對(duì)等腰直角三角形的基本概念十分清楚,等腰直角三角形可提供角相等與邊相等. 從對(duì)稱性來(lái)看,等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是斜邊的中垂線;從旋轉(zhuǎn)性來(lái)看,在等腰直角三角形BDE中,直角邊BD繞直角頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后可與BE重合. 一般而言,邊的旋轉(zhuǎn)實(shí)則是三角形的旋轉(zhuǎn). 本題的證法2就可以從旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)理解,通過旋轉(zhuǎn)做等線段轉(zhuǎn)化. 教師在講解時(shí),融入這些內(nèi)容,可使學(xué)生對(duì)基本幾何圖形形成一個(gè)完整的思維體系. 學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)越深刻,解題時(shí)的方向感就越強(qiáng).

    2. 找準(zhǔn)核心,提煉基本結(jié)構(gòu),形成模型意識(shí)

    本題的核心在于理解中點(diǎn),利用中點(diǎn),轉(zhuǎn)化中點(diǎn),通過轉(zhuǎn)化中點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化問題,這是本題的第一個(gè)推理點(diǎn),與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的基本結(jié)構(gòu)有中位線、倍長(zhǎng)中線、三線合一、斜中半. 解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘(G·波利亞語(yǔ)),因此選擇構(gòu)造何種基本結(jié)構(gòu)來(lái)解題,依據(jù)是能否與已知條件相關(guān)聯(lián). 本題的第二個(gè)推理點(diǎn)是全等或相似的證明,本題中出現(xiàn)的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)能夠提供角相等,等腰直角三角形可提供邊相等,因此可通過等角與等邊的位置定位兩個(gè)三角形,完成全等與相似的證明后即可證明結(jié)論.

    對(duì)細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的推理可精準(zhǔn)定位解決問題的方向,從而切實(shí)提高學(xué)生的解題能力. 因此,教師在講解時(shí),一定要融入細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)分析,這是解題方法的指導(dǎo). 沒有對(duì)細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的理解,解題時(shí)學(xué)生是盲目的,缺乏方向感. 學(xué)生在完成多種解法的梳理時(shí),對(duì)中點(diǎn)條件的理解能更加深刻,對(duì)基本結(jié)構(gòu)的應(yīng)用會(huì)更加熟練. 我們的目的是讓中點(diǎn)問題模型化,讓學(xué)生以通解通法應(yīng)對(duì)題目萬(wàn)變.

    3. 在過程中提升能力,讓能力內(nèi)化為核心素養(yǎng)

    在學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)中,幾何證明的演繹推理扮演著重要的角色,因此《課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求從小學(xué)的實(shí)驗(yàn)幾何要逐步過渡到初中的推理幾何. 在幾何教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何基本模型結(jié)構(gòu),提煉幾何證明的通法通性,讓學(xué)生具備模型意識(shí),從而增強(qiáng)學(xué)生的演繹推理能力. 通過對(duì)解題方向的歸納與思考,即本題中對(duì)中點(diǎn)的理解,能增強(qiáng)學(xué)生的合情推理能力.

    幾何中一題多解的過程就是合情推理與演繹推理的最好體現(xiàn),“多”字的內(nèi)核是合情推理,它提供證明的起點(diǎn),“解”字的內(nèi)核是演繹推理,它提供證明的動(dòng)力,兩者相輔相成,辯證統(tǒng)一. 歸納和演繹,正如分析和綜合一樣,是相互聯(lián)系著的. 我們不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去,應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方. 要做到這一點(diǎn),就只有注意它們的相互聯(lián)系、它們的相互補(bǔ)充(恩格斯語(yǔ)). 這里的歸納就是合情推理的一種形式. 因此,在幾何教學(xué)中,以一題多解為載體,重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng),可切實(shí)提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

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