數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的回顧與展望

張定強(qiáng) 裴凱

摘要：數(shù)學(xué)例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，影響著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的成效。以中國(guó)知網(wǎng)收錄的與此主題相關(guān)的核心期刊論文為研究對(duì)象，采用文獻(xiàn)計(jì)量法與內(nèi)容分析法，對(duì)其進(jìn)行量化與質(zhì)性分析。量化分析從發(fā)表年份、期刊來源、作者單位類型及合著情況、關(guān)注情況四個(gè)方面進(jìn)行，質(zhì)性分析從數(shù)學(xué)教材例題以及數(shù)學(xué)例題教學(xué)兩個(gè)層面梳理研究結(jié)果。數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究需要立足傳統(tǒng)、面向世界、重視實(shí)踐，強(qiáng)化反思，進(jìn)而找準(zhǔn)數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的立足點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)例題;例題教學(xué);回顧展望

例題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[1]，也是學(xué)生理解概念、原理，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的具體途徑[2]。而例題只有通過教學(xué)這一方式才能發(fā)揮其功能，例題教學(xué)則是課堂教學(xué)的重要組成部分，也是決定教學(xué)效果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。關(guān)于數(shù)學(xué)例題教學(xué)，自數(shù)學(xué)課程改革實(shí)施至今已有不少研究成果，本文通過對(duì)這些研究成果的整理和分析，以了解數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的現(xiàn)狀，充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的必要性和重要性，展望未來研究方向。

一、研究設(shè)計(jì)

本研究以“中國(guó)知網(wǎng)資源總庫(kù)”為文獻(xiàn)來源，為保證所檢索文獻(xiàn)的全面性與權(quán)威性，在“期刊”的高級(jí)檢索“主題”一欄中分別輸入“數(shù)學(xué)例題教學(xué)”和“數(shù)學(xué)例題”，將搜索日期限定為1999年至2018年，并且“來源類別”選定為“核心期刊”，剔除重復(fù)以及無(wú)關(guān)文獻(xiàn)，選取38篇文獻(xiàn)作為研究對(duì)象。本文以文獻(xiàn)計(jì)量法與內(nèi)容分析法為主要研究方法。

二、研究結(jié)果

（一）量化分析結(jié)果

1.發(fā)表年份

從數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的發(fā)文數(shù)量及年份分布，可以反映出該研究的研究現(xiàn)狀以及被關(guān)注程度，也可預(yù)測(cè)未來研究的發(fā)展趨勢(shì)。由圖1可以看出，1999～2018年，中文數(shù)據(jù)庫(kù)“中國(guó)知網(wǎng)”收錄“數(shù)學(xué)例題教學(xué)”研究的核心期刊論文數(shù)量于2015年達(dá)到峰值，其整體呈上升趨勢(shì)，局部呈波動(dòng)狀，反映了數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究近20年的基本態(tài)勢(shì)。

2.期刊來源

由表1可以看出，關(guān)于數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的論文核心期刊來源共10種，其中71%來源于《教學(xué)與管理》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》與《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》三種期刊。

3.作者單位類型及合著情況

作者單位類型揭示出研究該領(lǐng)域的主體作者分布狀況。將作者單位類型簡(jiǎn)單劃分為中小學(xué)、高校和專門研究機(jī)構(gòu)三種，論文的合著情況分為獨(dú)立撰寫與合作撰寫兩類。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，中小學(xué)教師是數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的主力軍，有19篇是其獨(dú)立完成，占比60%，合作撰寫的論文作者單位類型大多是高校。

4.關(guān)注學(xué)段

研究對(duì)象所處學(xué)段反映了該領(lǐng)域研究者的關(guān)注點(diǎn)。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，研究對(duì)象所處學(xué)段近50%集中于高中，其次是小學(xué)、初中，學(xué)前、中職或大學(xué)等其他學(xué)段均無(wú)涉及。

（二）質(zhì)性分析結(jié)果

1.基于教學(xué)的數(shù)學(xué)教材例題分析

（1）功能分析

由于部分教師在實(shí)際教學(xué)中未充分認(rèn)識(shí)到教材例題的價(jià)值與功能，造成教材例題無(wú)效或負(fù)效使用的現(xiàn)象，基于此吳立寶提出了教材例題的六大功能[3]。教材例題作為教材內(nèi)容的重要組成部分，其在教材所處位置的不同，發(fā)揮的功能也有所不同。一般情況下，例題在講述完某個(gè)概念、定理后給出，一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念、定理等的高度概括與抽象性，通過例題將抽象概念具體化，幫助學(xué)生初步理解和掌握;另一方面，由于概念大多是用陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)表征，而例題是將陳述性知識(shí)程序化的體現(xiàn)，有助于學(xué)生認(rèn)知圖式的構(gòu)建及自動(dòng)化[4]，這體現(xiàn)了例題的示范與鞏固功能，其中示范功能除了顯性層面的示范，如解題規(guī)范、解題程序等外，還有隱形層面的示范，如數(shù)學(xué)思維方法等。此外，部分新知直接以例題的形式給出，此類新知不是要求學(xué)生重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)的拓展延伸，這體現(xiàn)例題的展示新知功能[5]。最后部分例題在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上也為后續(xù)的新知打下基礎(chǔ)，體現(xiàn)了例題的復(fù)習(xí)功能與銜接功能。

不同類型的教材例題其教學(xué)功能也不盡相同，通過對(duì)教材例題分類剖析，可明確不同類型教材例題的功能。陸明明根據(jù)喻平教授提出的四種數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式，將教材例題分為問題解答型和問題解決型兩類，指出問題解答型例題功能在于幫助學(xué)生將陳述性知識(shí)程序化、自動(dòng)化，而問題解決型例題功能在于幫助學(xué)生獲得問題解決的策略性知識(shí)[6]。此外，以學(xué)生典型錯(cuò)誤為素材的糾錯(cuò)型例題，促使學(xué)生在教師引導(dǎo)下積極發(fā)揮自我意識(shí)和主觀能動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)，觀念和方法的正確理解和掌握，充分發(fā)揮示錯(cuò)的警示功能[7]。

綜上所述，數(shù)學(xué)教材例題有助于學(xué)生將解題過程規(guī)范化，抽象概念具體化，陳述性知識(shí)程序化，零散知識(shí)系統(tǒng)化，靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，隱形思想顯性化。研究者需以充分挖掘教材例題功能為前提，發(fā)掘數(shù)學(xué)例題教學(xué)潛能，發(fā)揮數(shù)學(xué)例題的教學(xué)價(jià)值。

（2）比較研究

練習(xí)題的配置是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，一定程度上反映了數(shù)學(xué)教材編寫者的價(jià)值取向與編寫風(fēng)格[8]，對(duì)數(shù)學(xué)教材例題的比較研究分為編寫特色與綜合難度兩個(gè)維度。宋運(yùn)明等學(xué)者對(duì)小學(xué)3個(gè)版本4～6年級(jí)數(shù)學(xué)教材例題從8個(gè)維度進(jìn)行了全面分析研究，首次提出了例題編寫特色的分析框架，并在如何彰顯例題編寫特點(diǎn)方面提出了建議[9]。張文宇等人對(duì)海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)教材分?jǐn)?shù)內(nèi)容例題的整體結(jié)構(gòu)和編寫特征進(jìn)行比較，整體結(jié)構(gòu)部分以史寧中的知識(shí)團(tuán)思想為基礎(chǔ)，編寫特征部分則在宋運(yùn)明的例題編寫特色分析框架的基礎(chǔ)上，借鑒朱雁、范良火的例題表征形式以及李業(yè)平的例題回答方式研究成果，結(jié)合教材特征，對(duì)其進(jìn)行修改，除知識(shí)領(lǐng)域、情境傾向以及有無(wú)插圖三個(gè)維度外，添加例題表征方式及回答方式兩個(gè)維度[10]，如表3所示。此外，盧萍與邵光華參照練習(xí)題設(shè)置結(jié)構(gòu)制定了例題設(shè)置的比較框架，從例題的淺層結(jié)構(gòu)與深層結(jié)構(gòu)對(duì)中德教材代數(shù)部分例題特色進(jìn)行比較[11]。王曉麗，張明亮將戴再平建立的例題分類進(jìn)行調(diào)整，并采用黎野平建構(gòu)的分析問題3層面為研究工具，對(duì)中美初中數(shù)學(xué)教材有理數(shù)部分的例題從數(shù)量、內(nèi)容、形式、背景、特征以及特色模塊進(jìn)行比較研究[12]。

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020）》提出“調(diào)整教材內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計(jì)課程難度”，于是，中小學(xué)教材的難度比較成為近年來的熱點(diǎn)問題，影響教材難度的因素很多，而難度水平的界定取決于所使用的評(píng)價(jià)工具[13]。鮑建生建構(gòu)的五因素多水平模型長(zhǎng)期以來被用于比較數(shù)學(xué)問題的綜合難度，如表4所示。在《高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國(guó)際比較》一文中對(duì)原有綜合難度模型進(jìn)行修改，背景、運(yùn)算、推理三個(gè)難度因素及水平劃分不變，知識(shí)含量因素名稱變?yōu)橹R(shí)綜合，探究因素改為數(shù)學(xué)認(rèn)知因素。另外，王曉麗，張明亮選擇鮑建生建立的綜合難度模型為研究工具之一，并根據(jù)有理數(shù)例題特點(diǎn)對(duì)鮑建生綜合難度模型中背景因素的劃分修改為無(wú)背景、學(xué)科相關(guān)聯(lián)、日常生活以及無(wú)實(shí)際意義四種[14]。濮安山、徐慧敏也以鮑建生的數(shù)學(xué)課程綜合難度模型為研究工具，將探究因素水平劃分為識(shí)記、理解、應(yīng)用與探究，知識(shí)含量因素水平劃分為單個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)及以上[15]。

（3）二次開發(fā)

顧泠沅指出變式教學(xué)能使不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生都得到有效的訓(xùn)練，中學(xué)數(shù)學(xué)的絕大部分基本題都可以通過適當(dāng)?shù)母脑?，為不同的教學(xué)目標(biāo)服務(wù)[16]。動(dòng)態(tài)課堂教學(xué)的有效性很大程度上取決于對(duì)靜態(tài)教材文本的正確解讀與使用，教師在潛心走進(jìn)教材的同時(shí)，也要善于走出教材，做課程內(nèi)容的開發(fā)創(chuàng)生者，通過對(duì)教材例題的有效改編，多角度、多層次地加深對(duì)課本例題的理解，進(jìn)而優(yōu)化課堂教學(xué)[17]。而在實(shí)際教學(xué)過程中，教師利用教材時(shí)往往存在就題論題、淺嘗輒止，也存在誤解意圖、南轅北轍的負(fù)效運(yùn)用的現(xiàn)象，制約著課堂教學(xué)效益的提高[18]。在此背景下，研究者針對(duì)教材例題的改編做出一系列的策略研究，綜合吳成業(yè)、曹志國(guó)、汪東興等學(xué)者提出的教材例題改編策略，可以概括為“刪”“變”“拓”“調(diào)”“增”五個(gè)字。其中，“刪”指對(duì)教材例題部分條件進(jìn)行適當(dāng)刪減，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的心理需求;“變”一方面指改變數(shù)據(jù)，意在指導(dǎo)學(xué)生不拘泥于數(shù)據(jù)的形式，透過數(shù)據(jù)看本質(zhì)，另一方面指適當(dāng)變換例題素材，充分考慮時(shí)空差距與區(qū)域差異，以貼近學(xué)生生活，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;“拓”指對(duì)教材中例題的解題方法進(jìn)行拓展，采用延遲評(píng)價(jià)方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種解題方法進(jìn)行比較選擇;“調(diào)”指以學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知為起點(diǎn)，調(diào)整教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式與次序，避免循環(huán)論證與形式化的特征探究;“增”指針對(duì)教材信息呈現(xiàn)的留白現(xiàn)象，通過增設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)。此外，也有教師在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)教材例題的不足或不恰當(dāng)之處，對(duì)其進(jìn)行改編后取得良好的教學(xué)效果。如孔莉群教師在以課例為載體的課堂教學(xué)研究活動(dòng)“磨課”過程中，充分體會(huì)到一道例題的優(yōu)化過程，也是教師教學(xué)行為的調(diào)整、改進(jìn)的過程，需要教師把握時(shí)機(jī)，以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為前提，給予恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)，讓學(xué)生處于積極創(chuàng)造的過程中[19]。

另外，陸明明基于問題變式的水平、垂直變式這兩類結(jié)構(gòu)，將例題變式劃分為3個(gè)層次，分別為平行變式、垂直變式與螺旋變式。其中水平變式不帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化，從垂直變式到螺旋變式，認(rèn)知負(fù)荷不斷加重，3個(gè)層次的變式層層遞進(jìn)，互相依存，互相補(bǔ)充[20]。

2.基于研究的數(shù)學(xué)例題教學(xué)探析

（1）理論探尋

樣例學(xué)習(xí)理論是數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的理論基礎(chǔ)之一，也是例題教學(xué)研究的理論支撐。樣例學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者通過研習(xí)樣例習(xí)得專家的問題解決方法的一種學(xué)習(xí)方式。在課堂實(shí)施樣例學(xué)習(xí)，需要著重關(guān)注兩類問題：一方面是樣例的設(shè)計(jì)，另一方面是如何對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行指導(dǎo)，這兩類問題直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果[21]。

變式理論是中國(guó)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)中十分重要的一個(gè)組成部分，核心是善于通過變化突出其中的不變因素[22]，變式理論為數(shù)學(xué)例題的變式教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)。

產(chǎn)生式遷移理論是例題學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)之一，規(guī)則以陳述性知識(shí)的形式進(jìn)入學(xué)習(xí)者的命題網(wǎng)絡(luò)，然后通過變式練習(xí)轉(zhuǎn)化為以產(chǎn)生式表征的程序性知識(shí)。當(dāng)兩項(xiàng)任務(wù)之間有共同的產(chǎn)生式或產(chǎn)生式的重疊式，遷移就會(huì)發(fā)生。所以，產(chǎn)生式的相似是遷移發(fā)生的條件，產(chǎn)生式自動(dòng)化是順利完成復(fù)雜認(rèn)知操作的基礎(chǔ)[22]。

在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的順序不同會(huì)出現(xiàn)首因效應(yīng)，也稱“第一印象效應(yīng)”，由美國(guó)心理學(xué)家洛欽斯首先提出。雖然第一印象并非總是正確的，但卻是最鮮明、最牢固的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，課堂信息的呈現(xiàn)順序也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。但教材基本上還屬于紙質(zhì)為主的信息呈現(xiàn)媒介，編寫者無(wú)法把信息呈現(xiàn)意圖有效地體現(xiàn)在教材上，故在教學(xué)實(shí)踐中，需要教師根據(jù)具體教學(xué)情況，發(fā)揮主觀能動(dòng)性[23]。

（2）實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)

基于數(shù)學(xué)教育價(jià)值視角，林少安舉例闡釋了例題教學(xué)在培養(yǎng)探究能力、養(yǎng)成理性思維，弘揚(yáng)文化價(jià)值以及養(yǎng)成良好品質(zhì)四個(gè)方面的教育價(jià)值[24]，若要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)例題教學(xué)的教育價(jià)值，首先需要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)例題教學(xué)過程中存在的問題，以此為基礎(chǔ)，不斷改善，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)例題的有效教學(xué)。

在以往數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一方面課堂結(jié)構(gòu)以演繹法為主，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，所以構(gòu)建以歸納法為主，以演繹法為輔的課堂教學(xué)模式，充分揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，基本實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)家、教師、學(xué)生思維活動(dòng)的和諧統(tǒng)一至關(guān)重要[25]。另一方面，教學(xué)模式多采用“概念—例題—練習(xí)”，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視程度不夠，這種教學(xué)模式下的概念教學(xué)基本是一次性的，而數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，故數(shù)學(xué)概念的二次教學(xué)應(yīng)成為例題教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已掌握的概念進(jìn)行二次學(xué)習(xí)，挖掘概念中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)[26]。而“條件+任務(wù)”是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)例題的標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)，也是長(zhǎng)期以來數(shù)學(xué)例題的主要形式甚至唯一形式，這促成了“問題解決”的教學(xué)常態(tài)，而數(shù)學(xué)現(xiàn)象作為學(xué)生觀察、探究、發(fā)問的素材，沒有發(fā)揮出本身的教育價(jià)值，孫四周通過具體教學(xué)案例闡釋了基于活動(dòng)與體驗(yàn)的例題教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)象—問題—解決—反思”的全過程[27]。

要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)例題的有效教學(xué)，首先對(duì)教材例題的二次開發(fā)是基礎(chǔ)，通過對(duì)教材例題適當(dāng)改編，使其成為數(shù)學(xué)例題教學(xué)的原材料。其次例題教學(xué)的恰當(dāng)設(shè)計(jì)是核心。再者提高學(xué)生例題學(xué)習(xí)效率是數(shù)學(xué)例題教學(xué)的根本，這就需要教師從學(xué)生的視角設(shè)計(jì)順應(yīng)學(xué)生發(fā)展的例題教學(xué)[28]。最后整個(gè)教學(xué)過程的優(yōu)化是關(guān)鍵，教學(xué)起點(diǎn)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教師需要在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與教學(xué)目標(biāo)之間進(jìn)行合理分層，增設(shè)臺(tái)階，為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)需要選取合理的教學(xué)方式，通過課堂提問，使學(xué)生暴露思維軌跡，進(jìn)而對(duì)課堂生成進(jìn)行合理調(diào)控，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，故通過對(duì)教育目標(biāo)的合理制定、教學(xué)起點(diǎn)的合理設(shè)置、教學(xué)方式的合理選擇、課堂提問的精心設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)思維的潛移默化、課堂生成的合理調(diào)控，進(jìn)而提高例題教學(xué)的有效性[29]。

例題教學(xué)設(shè)計(jì)作為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)例題教學(xué)有效性的核心，一方面，數(shù)學(xué)課型不同則數(shù)學(xué)例題設(shè)計(jì)意圖不同，進(jìn)而影響例題的設(shè)計(jì)策略。例如，復(fù)習(xí)課具有時(shí)間跨度大，涉及內(nèi)容多，綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生知識(shí)的遷移、查漏補(bǔ)缺、系統(tǒng)掌握以及思維能力的發(fā)展是極其重要的，所以，首先復(fù)習(xí)課例題的選取要遵循新穎性、梯度性、過程性以及關(guān)聯(lián)性的原則[30]。其次，由于思維發(fā)展的階段性特點(diǎn)，決定了對(duì)知識(shí)的掌握要經(jīng)歷一個(gè)由淺入深、由零散到系統(tǒng)的螺旋上升、直至完整的過程，故復(fù)習(xí)課例題重在幫助學(xué)生認(rèn)知圖式結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化。這就需要例題教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)整體規(guī)劃，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，根據(jù)知識(shí)的內(nèi)容領(lǐng)域、知識(shí)間的區(qū)別聯(lián)系、新舊知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和連接點(diǎn)，運(yùn)用系統(tǒng)論的思想，以整體規(guī)劃的眼光通盤考慮例題設(shè)計(jì)，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性[31]。再者，復(fù)習(xí)課需要幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏，識(shí)錯(cuò)糾錯(cuò)，故可設(shè)計(jì)糾錯(cuò)型例題。

另一方面，數(shù)學(xué)例題教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)例題的信息呈現(xiàn)方式也是影響例題教學(xué)的重要因素。根據(jù)首因效應(yīng)，在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的時(shí)間與順序會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生不同的教學(xué)效果。楊秋紅等人將例題信息的呈現(xiàn)簡(jiǎn)單劃分為“無(wú)選擇性呈現(xiàn)”和“選擇性呈現(xiàn)”兩種，其中“選擇性呈現(xiàn)”可進(jìn)一步細(xì)分為三類，指出整體性呈現(xiàn)例題信息雖可以凸顯教師的主要教學(xué)意圖，但也容易忽視信息背后涉及的數(shù)學(xué)思想方法。選擇性呈現(xiàn)方式的思維發(fā)散度較強(qiáng)，但需教師根據(jù)例題本身特點(diǎn)、教學(xué)意圖和學(xué)情把握好發(fā)散的“度”，靈活選擇教學(xué)手段，使其具有可操作性[32]。

三、研究未來展望

1.數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的立足點(diǎn)

數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究應(yīng)立足傳統(tǒng)，面向世界。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)例題教學(xué)理論與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的現(xiàn)實(shí)“根”基，但需要辯證理順“國(guó)際化”與“本土化”的關(guān)系，反對(duì)絕對(duì)化的研究立場(chǎng)，運(yùn)用比較、反思、混合的研究方法，不斷觸摸最新數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的前沿，在繼承優(yōu)良研究傳統(tǒng)的前提下，厘清傳統(tǒng)數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的局限性，找準(zhǔn)嘗試、調(diào)整、改善、促進(jìn)數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的立足點(diǎn)。如從中國(guó)傳統(tǒng)例題教學(xué)重視“雙基”的培養(yǎng)到課改將“雙基”拓展為“四基”的研究路徑梳理，捕捉、研究數(shù)學(xué)例題教學(xué)是如何夯實(shí)“四基”的，進(jìn)而探尋數(shù)學(xué)例題教學(xué)過程中如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的生長(zhǎng)點(diǎn)就在于數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐。因此，要把研究的重心置于課堂教學(xué)，分析數(shù)學(xué)例題在整體課堂教學(xué)中的地位與作用，探析例題與概念、命題、原理、思想、方法之間的內(nèi)在關(guān)系，特別是基于數(shù)學(xué)文化的視角探析例題教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)。視數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為其實(shí)驗(yàn)田，運(yùn)用科學(xué)的工具、方法、手段來探視例題教學(xué)發(fā)展學(xué)習(xí)共同體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的功能價(jià)值，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)例題教學(xué)的微型調(diào)查、微型實(shí)驗(yàn)、微型分析、微型改進(jìn)，以診斷分析課堂教學(xué)中的例題教學(xué)問題。珍視每一次課堂教學(xué)中例題的嵌入、導(dǎo)引、分析、探究、反思過程，把數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的生長(zhǎng)點(diǎn)置于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。

3.數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的創(chuàng)新點(diǎn)

數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究要發(fā)揮其功能價(jià)值，就要在理論與實(shí)踐創(chuàng)新上下功夫。首先，數(shù)學(xué)例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)理論探索的一個(gè)重要方面，一定不同于其他學(xué)科的例題教學(xué)，需要運(yùn)用新的技術(shù)和手段來探索例題在不同的課型、不同的時(shí)空、不同的共同體學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)的不同形態(tài)，運(yùn)用教育學(xué)、心理學(xué)、信息學(xué)等理論來探析數(shù)學(xué)例題教學(xué)的機(jī)制與運(yùn)行策略，特別是要綜合眾多已有的研究成果，創(chuàng)新性地探索例題教學(xué)中的投入與產(chǎn)出、情感與價(jià)值、理性與感性、限度與發(fā)展等問題。數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究的創(chuàng)新一定是繼承基礎(chǔ)上的創(chuàng)新，要全面梳理數(shù)學(xué)情境教學(xué)、參與式教學(xué)、變式教學(xué)、問題鏈教學(xué)、自學(xué)輔導(dǎo)教學(xué)等例題教學(xué)環(huán)節(jié)中的優(yōu)勢(shì)與不足，充分地研究在情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思中數(shù)學(xué)例題存在之根、教學(xué)之徑，不斷深度研究數(shù)學(xué)例題教學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新之間的關(guān)系，助推數(shù)學(xué)教學(xué)變革，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。

課改歷經(jīng)20年，數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究取得了不少研究成果。要以此為基礎(chǔ)，站在前人的肩膀上，繼續(xù)探索數(shù)學(xué)例題教學(xué)的理論基礎(chǔ)，用更加全面、細(xì)致、系統(tǒng)的觀點(diǎn)直面現(xiàn)實(shí)問題，牢記數(shù)學(xué)例題教學(xué)的使命與擔(dān)當(dāng)，不斷深入地去學(xué)習(xí)、去實(shí)踐、去觀察，開拓?cái)?shù)學(xué)例題教學(xué)研究新天地。

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責(zé)任編輯：顏瑩