高中數(shù)學(xué)例題有效設(shè)計的探索

【摘 要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必須通過多種方式提高學(xué)生對知識的理解與認(rèn)識，而例題是學(xué)生學(xué)習(xí)概念、掌握技能的主要載體，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的引導(dǎo)作用。借助豐富的教學(xué)案例，重點從類化例題、變式例題、一題多解、多題一解、學(xué)生自主出題的設(shè)計5個方面闡述例題的有效設(shè)計，以期起到提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實效的作用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；例題教學(xué)；有效設(shè)計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0046-02

【作者簡介】林秀芬，福建省晉江市英林中學(xué)（福建晉江，362256）教師，二級教師。

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是教師講課時用以闡明數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題及初步應(yīng)用的主要途徑，是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中例題具有重要的引導(dǎo)作用，通過例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達(dá)到理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式、完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的，因而課堂教學(xué)中的例題設(shè)計就顯得尤為關(guān)鍵，教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實際，精心設(shè)計例題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高課堂教學(xué)的實效性。

一、類化例題的設(shè)計——在歸類對比中前行

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，存在著很多混淆不清的問題。可以將這些問題分類歸檔，進行有效組合，把所學(xué)的相關(guān)知識點集中體現(xiàn)在例題中，并集中力量解決同類題中的核心問題，總結(jié)解這類題的方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類旁通的目的。

例1：

（1）求f（x）=-ax3+x2+1（a≤0）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知函數(shù)y=ax3+bx2+6x+1的遞增區(qū)間為（-2，3），求a，b的值；

（3）函數(shù)y=x3-2bx+6在（2，8）內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（4）若函數(shù)f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（5）若函數(shù)f（x）=lnx-ax2-2x（a≠0）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍。

通過類化例題的設(shè)計，整理了“利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性”的方法，包括討論“參數(shù)求單調(diào)區(qū)間”“已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)”“已知在某區(qū)間上單調(diào)性的恒成立問題及存在性問題求參數(shù)”的方法和規(guī)律。因此，在例題設(shè)計時，要有整體意識，在知識交會點處設(shè)計問題，在解決問題的過程中提煉數(shù)學(xué)思想方法。

二、變式例題的設(shè)計——在變換轉(zhuǎn)化中拓展

一題多變，是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化，更換問題中的條件或結(jié)論，從而使學(xué)生掌握知識的本質(zhì)屬性。一題多變能展示知識的發(fā)生過程，促進知識的遷移；能溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，促進知識網(wǎng)絡(luò)的形成；能強化定理公式的條件和適用范圍，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。在學(xué)生融會貫通所學(xué)知識的同時，提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，應(yīng)成為例題教學(xué)的重要目標(biāo)。比如，在新課標(biāo)人教A版必修2“點到直線的距離公式”講解中設(shè)計以下例題。

例2：已知點P（2，-1），求點P到直線3x-4y=0的距離。

變式一：已知點P（2，-1），求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程。

變式二：已知點P（2，-1），求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

變式三：已知點P（2，-1），是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由。

表面上看，以上題目都是點到直線距離公式的應(yīng)用，實際上難度是逐級增加的。例2用點到直線的距離公式即可求出；變式一考慮斜率不存在時是否滿足條件，再利用待定系數(shù)法根據(jù)點到直線的距離公式建立等量關(guān)系，求出斜率；變式二通過數(shù)形結(jié)合的方式可知過點P與原點O距離最大的直線是過點P，且與PO垂直的直線，求出斜率，利用點斜式可得直線方程，再利用點到直線的距離公式求出距離；變式三只需比較“過P點與原點的距離最大的直線l中最大距離”與6的大小，即可判斷是否存在。

三、一題多解的設(shè)計——在主動探究中提效

一題多解就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道例題的解答。一題多解有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在尋求變異中，勇于創(chuàng)新，提高學(xué)生的思維能力，積累解題經(jīng)驗，豐富解題方法，使課堂成為學(xué)生合作、爭辯、探究、交流的場所。

例3：中國的春節(jié)習(xí)俗中，正月初五迎財神，小張所在的某微信群將在當(dāng)天共24個整點舉行搶紅包活動，已知小張打開手機的時刻是隨機的，求他打開手機等待搶紅包的時間不多于10分鐘的概率。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過分析、思考、畫圖，可以得到以下四種解題思路：利用[50，60]時間段所占的面積；利用[50，60]時間段所占的弧長；利用[50，60]時間段所占的圓心角；將時間轉(zhuǎn)化為長60的線段，研究點位于[50，60]之間的線段的概率。在一題多解中進一步掌握了幾何概型的知識與應(yīng)用。

四、多題一解的設(shè)計——在總結(jié)提煉中飛躍

多題一解是用一種數(shù)學(xué)知識解決不同的數(shù)學(xué)問題，即學(xué)生做了同一知識點的許多習(xí)題后，對題目加以歸納、提煉、挖掘其本質(zhì)特征，以達(dá)到事半功倍的效果。

例4：

（1）3男4女排成一列，要求男生互不相鄰，共有多少種排法？

（2）某會議室共有8個座位，現(xiàn)有3人就座，若要求每人左右均有空位，則不同的坐法多少種？

（3）有15盞燈，要求關(guān)掉6盞，且相鄰的燈不能全關(guān)掉，兩端的燈不能關(guān)掉，則不同的關(guān)燈方法有多少？

（4）10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人。現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法有多少種？

以上4道例題，雖內(nèi)容各不相同，但在解答時都采用了同一種方法：插空法。多題一解的設(shè)計可以讓學(xué)生通過分析已知條件，抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，真正掌握某一種數(shù)學(xué)思想方法。

五、學(xué)生自主出題的設(shè)計——在交流創(chuàng)造中升華

在復(fù)習(xí)課中，要把單純的知識復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主梳理所學(xué)知識的過程。因為要設(shè)計題目、設(shè)計好題目，就需要學(xué)生用心把教材通讀一遍，這樣的過程就是復(fù)習(xí)。在這樣設(shè)計習(xí)題過程中，學(xué)生一般都不會分心，能認(rèn)真復(fù)習(xí)、積極思考。

例如，在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的公式及運算法則時，以小組合作的形式，每個小組設(shè)計2道求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的例題給全班同學(xué)解答。

例5（學(xué)生設(shè)計）：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

通過引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計例題，讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既有一定的新鮮感，又能使學(xué)生在復(fù)習(xí)課上得到相應(yīng)的訓(xùn)練，發(fā)揮個性，品嘗到學(xué)習(xí)成功的喜悅。

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師要利用數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，緊扣教學(xué)目標(biāo)設(shè)計好例題，加強設(shè)計精品例題的意識，以少勝多，以質(zhì)為上。如果讓學(xué)生身處“做題初，趣已生；做題時，趣愈濃；做題終，趣不盡”的學(xué)習(xí)情趣中，那么我們的例題設(shè)計便是有效的。