集合論多宇宙觀與形式主義

裘江杰

1 引言

一般認(rèn)為，誕生于一百多年前的公理集合論有著兩重身份（[22]）：其一，它是數(shù)理邏輯的四大分支之一1數(shù)理邏輯的另外三個主要分支是模型論、遞歸論以及證明論。，因此也是數(shù)學(xué)的一個專門領(lǐng)域；其二，常規(guī)數(shù)學(xué)所研究的對象可以被表示為各種集合，所使用到的方法以及預(yù)設(shè)也可以溯源到集合論公理，概言之，許多數(shù)學(xué)命題可以被視為各種集合論公理系統(tǒng)2最典型的集合論公理系統(tǒng)是ZFC，此外，在研究中還會涉及到ZFC 的各種子系統(tǒng)、擴(kuò)張系統(tǒng)，甚至與ZFC 不一致的系統(tǒng)，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的觀點也把它當(dāng)作數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)是關(guān)于什么的？數(shù)學(xué)命題在什么意義上為真為假？對于這樣一些問題的不同回答可以粗略地對應(yīng)到從實在論到反實在論的譜系中的不同的位置，那么，基于公理集合論，則產(chǎn)生了對集合對象、集合宇宙的客觀實在性不同的本體論立場。

數(shù)學(xué)家們對關(guān)于數(shù)學(xué)對象以及集合對象的實在性問題的初始反應(yīng)通常是樸素的，他們會自然認(rèn)為他們自己以及其他嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)家所研究的對象是獨立于人類心智而客觀存在著的，這樣一種觀點屬于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實在論。

不過，從學(xué)術(shù)史的視角反觀數(shù)學(xué)哲學(xué)中實在論問題爭論的歷史發(fā)展，情況就要變得復(fù)雜了。實際上，呈現(xiàn)在我們面前的更可能是部分實在部分反實在觀；比如，在數(shù)學(xué)史上，像負(fù)數(shù)、虛數(shù)這樣一些概念在它們被引入之初都曾經(jīng)被視作為本身無所指的形式或者語言物項，可以對它們進(jìn)行形式操作，但是這種形式操作只是為了得到描述實存對象的性質(zhì)或者實存對象之間關(guān)系的數(shù)學(xué)命題，操作本身并無實際意義3比如，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（G.Cardano）最早使用虛數(shù)記號，但他認(rèn)為這僅僅是形式表示。。在這些具體的歷史場景里，學(xué)者們至少是下意識地承認(rèn)一些數(shù)學(xué)對象的實在性，但是同時把那些新被引入的概念則當(dāng)作只是形式表示而已。

十九世紀(jì)末，實質(zhì)性地探討無窮以及無窮對象的集合論面臨的悖論導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機的爆發(fā)，對危機的應(yīng)對的重要結(jié)果之一正是前述的公理集合論的創(chuàng)立4與之競爭的有羅素的類型論，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域勝出的是公理集合論，不過，類型論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及計算機科學(xué)基礎(chǔ)中仍然有著一定的影響，比如，2002 年菲爾茲獎獲得者沃沃斯基（V.Voevodsky）創(chuàng)立的同倫類型論（homotopy type theory）就結(jié)合了類型論的思想。，另外一個有影響力的后果則是希爾伯特規(guī)劃的提出與實施5希爾伯特本人對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)注主要有兩個時期（19 世紀(jì)末以及20 世紀(jì)20 年代左右），希爾伯特規(guī)劃則主要是在后一個時期被提出的，目前公認(rèn)的是，這一規(guī)劃之于希爾伯特，不僅僅是面向應(yīng)對數(shù)學(xué)危機的，實際上也是對直覺主義的回應(yīng)，從這一點似乎能看到希爾伯特對數(shù)學(xué)實在論的某種認(rèn)同。，前者在這一百多年里得到了迅猛的發(fā)展，其中一部分相對深刻的成果被認(rèn)為是受到（特別是實在論的）數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的指引而達(dá)致的（[16,18]）；后者則是形式主義思想的一個主要體現(xiàn)，一種常見的觀點是認(rèn)為希爾伯特規(guī)劃體現(xiàn)了形式主義的反實在論或者至少是對無窮的反實在論思想（[10,23]）。

如前所述，在公理集合論領(lǐng)域工作的數(shù)學(xué)家可能天然會傾向于實在論，但是在哥德爾不完全性定理以及各種自然的獨立性結(jié)果出現(xiàn)之后，自二十世紀(jì)六十年代以來，數(shù)學(xué)家們對自身的本體論立場更為自覺，同時他們的立場也進(jìn)一步發(fā)生了分化：其中既有武?。℉.W.Woodin）這樣的堅定的實在論者（[15]），也有像謝拉赫（S.Shelah）這樣的在本體論上更加謹(jǐn)慎的學(xué)者（[10]），后者被“不謹(jǐn)慎地”視為持有形式主義思想，并且因而是反實在論者（[18]）。

近年來，在公理集合論的數(shù)學(xué)以及哲學(xué)研究中，多宇宙觀（Multiverse View）得到了越來越多的重視和討論（[1,7,22]）。

哈姆肯斯（J.D.Hamkins）認(rèn)為傳統(tǒng)的集合論實在論是一種單一宇宙觀（The universe view），即它斷言，恰有一個唯一的集合宇宙，這一本體論立場隱含著所謂的絕對的集合觀念，但是哈姆肯斯等學(xué)者認(rèn)為這是可質(zhì)疑的，特別的，它與獨立性現(xiàn)象以及根據(jù)不同的方法構(gòu)造各種集合論模型這樣的數(shù)學(xué)實踐是不一致的，因此，他們認(rèn)為，集合概念是多元的，進(jìn)而客觀存在著的是多個集合宇宙，而非單一的宇宙，這眾多的集合宇宙又組成了集合論復(fù)宇宙（set theory multiverse）6采用楊睿之的譯法。，集合論的一部分研究工作應(yīng)該關(guān)注集合論復(fù)宇宙。

哈姆肯斯等學(xué)者的多宇宙觀是一種頗為奇特的立場，已有學(xué)者意識到這一概念及相應(yīng)的理論與形式主義的某種親緣關(guān)系（[1,16]），本文的任務(wù)則是希望能論證多宇宙觀確實可以容納到形式主義的框架中，只不過需要更換對形式主義的反實在論的刻板印象，這種新的形式主義在本體論上將是謹(jǐn)慎的，同時它所注重的主要是方法論或者認(rèn)識論層面上的，它重視數(shù)學(xué)實踐，同時也以促進(jìn)數(shù)學(xué)實踐為主要目的。

論文的結(jié)構(gòu)如下：首先我們會在第二節(jié)梳理這種多宇宙觀的“前世今生”，我們將會發(fā)現(xiàn)實在論解讀并不是其唯一可選的本體論立場，也就是說，賦予其某種形式主義“色彩”是可能的；其次，在第三節(jié)中，我們會整理多種視角中的形式主義的形象，這一整理使我們相信形式主義可以擺脫“反實在論”的帽子，這使得它容納多宇宙觀成為可能；在第四節(jié)中，我們會在這種中立的本體論的立場下，基于希爾伯特和科里（H.Curry）的思想重構(gòu)形式主義的框架；最后，在第五節(jié)中，基于這一改造后的形式主義的框架，我們會試圖“重述”多宇宙觀“故事”。

2 多樣的多宇宙觀

顧名思義，集合論多宇宙觀似乎是這樣一種形上學(xué)觀點：存在著多個集合論宇宙。但是，一方面，提出或者持有多宇宙觀的，幾乎都是集合論學(xué)者，他們的第一身份都是數(shù)學(xué)家，因此，很難說他們本身有清晰的形上學(xué)立場，另一方面，就如本節(jié)接下來將分析的，持有多宇宙觀的學(xué)者間也存在著分歧，因此我們或許可以首先將注意力投向它們的對立面，集合論單一宇宙觀。所謂的單一宇宙觀指的是這樣一種實在論立場：存在著唯一一個包含所有的集合的總體，這一總體我們稱為集合宇宙，它本身不是集合，但是它是由獨立于我們的心智、語言或者概念系統(tǒng)而存在著的所有的集合所組成的。一些學(xué)者認(rèn)為，至少在“哥德爾時代，集合論學(xué)者們還生活在這種（樸素的）單一宇宙觀下”（[5]）；不過“曲調(diào)”并不是完全“協(xié)調(diào)的”，比如，哈姆肯斯把多宇宙觀的思想追溯到了馮·諾依曼1925 年的論文《集合論的一種公理化》，認(rèn)為其中對“集合論的一個模型可以是集合論的另外一個模型中的集合”討論中就蘊涵了多宇宙觀的初步想法（[7]）。

哈姆肯斯的這種追溯并不是孤例，弗里德曼（S.Friedman）與其合作者提出了“垂直”多宇宙（vertical multiverse）的概念，并認(rèn)為這一概念以及相應(yīng)的思想在策梅羅（E.Zermelo）那里就已有了“萌芽”（[1]），策梅羅得到過這樣的結(jié)果：二階集合論系統(tǒng)Z2是擬范疇的（quasi-categorical），即，對每個強不可達(dá)基數(shù)（strongly inaccessible cardinal）κ，Vκ是Z2的同構(gòu)意義上唯一的基數(shù)為κ的模型。

弗里德曼及其合作者認(rèn)為，策梅羅的這些集合論模型，隨著指標(biāo)κ的增大，形成了一個塔狀（tower-like）的多宇宙，這是一種縱向“生長”的復(fù)宇宙。弗里德曼等學(xué)者提煉出這種“垂直”多宇宙的目的是為了發(fā)展他們目前還在進(jìn)行中的超宇宙規(guī)劃（The hyperuniverse program）（[2]），這一規(guī)劃是對哥德爾綱領(lǐng)的一種實現(xiàn)的進(jìn)路7另外一個著名的進(jìn)路是武丁的終極L 研究，郝兆寬（[17]）對之有細(xì)致深入的介紹。，由于它并不與我們所討論的主題直接相關(guān)，因此不再詳細(xì)展開，我們把討論的焦點集中在“垂直”多宇宙上。

這種“垂直”多宇宙與哈姆肯斯的多宇宙是不同的8對后者的介紹稍后給出。，但是它們的倡議者都有著實在論的意向，因此面臨著相似的質(zhì)疑或者問題。對于“垂直”多宇宙，至少有兩個相關(guān)聯(lián)著的問題。

首先，如前所述，構(gòu)成這種復(fù)宇宙的都是集合論的模型，如果我們?nèi)∠鄳?yīng)的集合論系統(tǒng)為ZFC 系統(tǒng)，而這些指標(biāo)κ都是大基數(shù)，那么，眾所周知，ZFC 并未保證任何大基數(shù)的存在，甚至在ZFC 中都無法證明存在大基數(shù)的相對一致性9若用LA 表示一條大基數(shù)公理，那么ZFC+LA ?Con(ZFC)；假如有ZFC ?Con(ZFC) →Con(ZFC+LA)，那么將得ZFC+LA ?Con(ZFC+LA)，這與哥德爾不完全性定理矛盾。，這意味著“垂直”多宇宙概念本身已經(jīng)預(yù)設(shè)了大基數(shù)這一強的集合概念，但是后者并不是集合論學(xué)者所共同接受的，因此若在本體論上持謹(jǐn)慎的態(tài)度，則先把它們作為理想元，懸置實在性問題可能是一種可采取的策略，這一策略是形式主義的，但是請注意，它并未直接否定大基數(shù)的實在性，因此不能將之視為反實在論的。

其次，假如我們接受這種大基數(shù)以及“垂直”多宇宙的客觀實在性，那么其中涉及到的大基數(shù)則都存在于集合論宇宙V中，因此，對這些大基數(shù)κ，Vκ不僅僅是V的真前段，同時也會是V中的元素，但是如此一來，這種“垂直”多宇宙就是V的一個子類，因此，稱它是多宇宙更像是一種表達(dá)上的方便。

在集合論的研究中，我們確實會使用到V的一些子類，比如序數(shù)類ON、可定義集類L，但是前者本質(zhì)上是對一種概念（在這里是序數(shù)）的外延表示，這是許多子類的用意；對于后者，我們有時確實也會稱其為可定義宇宙，不過一般我們會使用其進(jìn)行相對一致性的證明，而這又是形式主義風(fēng)格的工作。

總之，這種“垂直”多宇宙的概念并不導(dǎo)向?qū)嵲谡撚^，相反，它與形式主義或許有更加自然的關(guān)聯(lián)。

哈姆肯斯的多宇宙是一種“橫向的圖景”，原因在于哈姆肯斯版本的多宇宙的核心概念是力迫（Forcing），這是一種構(gòu)造集合論模型的方法，它通過在原模型中加入新的元素而得到更加“龐大”但是“高度”不變的新模型，因此這種多宇宙不會在其成員間形成有規(guī)律的“個子”的遞增或者遞減的關(guān)系。

哈姆肯斯已經(jīng)注意到使用力迫法時會遇到的困難（[8]）。概言之，標(biāo)準(zhǔn)的集合力迫法建立的仍然是相對一致性結(jié)果，它的核心是將集合論系統(tǒng)的足夠大的有窮片段的一個可數(shù)傳遞模型“變胖”為一個新的可數(shù)傳遞模型，使得后者成為同一系統(tǒng)的另一個有窮片段加上某個指定的命題的模型，比如，如果證明中涉及的集合論系統(tǒng)為ZFC，指定的命題為φ，那么力迫法建立的相對一致性結(jié)果即為Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)10關(guān)于力迫法的介紹可以參看苦能（K.Kunen）的經(jīng)典教材[9]。。因此，力迫法本身不能產(chǎn)生新的集合論模型，更不用說提供一整個多宇宙。

哈姆肯斯使用一種變通的方法在類模型上使用力迫法，他稱其使用的是自然主義的力迫（Naturalist Account of Forcing），這一方法非常類似于力迫的布爾值模型方法（Boolean-valued model approach to forcing），因此它們的問題也是相似的。如果將它們視為證明相對一致性的“理想”概念11在集合力迫中，我們也常常稱，從ZFC 的一個可數(shù)傳遞模型M 出發(fā)，這個M 就是一個“理性”元素，它是對在ZFC 中可以明確得到的ZFC 的足夠大的有窮片段的可數(shù)傳遞模型的某種“近似”。，則不成問題，但是這種處理是形式主義式的，自然不是哈姆肯斯及其合作者所期待的，因此他們實質(zhì)上認(rèn)為存在著各種集合宇宙（或者完整的集合論模型），并且對給定的集合宇宙V可以進(jìn)行相應(yīng)的力迫擴(kuò)張；然而單一宇宙論者會質(zhì)疑，既然V是集合宇宙，那么可以從何處取來新的集合，特別的，所使用的力迫對應(yīng)的脫殊濾（Generic Filter）可以存在于V外嗎？哈姆肯斯的回應(yīng)是力迫法和獨立性證明的數(shù)學(xué)實踐表明存在著不同的集合概念，這些概念相互間可以是不一致的，因此必然對應(yīng)有不同的集合宇宙。這一回應(yīng)與其說是對單一宇宙論者的反駁，不如說是對多宇宙觀立場的重申，只不過以更加技術(shù)化的形式呈現(xiàn)。

這樣，是單一宇宙還是多宇宙，就成了立場之爭，從相對粗淺的本體論直覺觀之，前者似乎更能得到“擁護(hù)”，然而，審慎一點，我們或許可以這樣處理：這種多宇宙觀看起來與我們的直觀不太相符，但是，它在邏輯上并不是矛盾的12哈姆肯斯與他的合作者提出了復(fù)宇宙公理，并且證明，它們相對于ZFC 是一致的，證明的概括可參看楊睿之的文章[22]，詳細(xì)可參看吉特曼（V.Gitman）與哈姆肯斯的論文[6]。，因此不妨?xí)簳r不否定之，而是在假設(shè)其成立的基礎(chǔ)上，討論這一立場是否可能帶給我們有意義的哲學(xué)上的洞見或者數(shù)學(xué)實踐上新的成果。這種處理顯然帶有形式主義的色彩。

綜上，我們已經(jīng)了解到，多宇宙觀有著不同的版本，并且它們都并不只導(dǎo)向這樣或者那樣的實在論；對它們的更加謹(jǐn)慎的處理則會關(guān)聯(lián)到形式主義，或者說，這種處理背后體現(xiàn)的正是形式主義的觀點，因此，一個自然的想法就是，是否可以將多宇宙觀容納入到形式主義的框架中？

不過，盡管形式主義已有百年之久，但是與邏輯主義以及直覺主義相比，它的“面目”并不是足夠清晰的（[10]），并且歷史上確實存在過不同的版本，因此在可以回答上述的問題之前，我們首先需要對形式主義進(jìn)行一個相對細(xì)致的梳理；我們會在第三節(jié)討論形式主義可以有的本體論立場，我們認(rèn)為在此點上，形式主義是相對靈活的，甚至可以說形式主義在本體論上是中立的；然后在第四節(jié)，我們會重構(gòu)一個可以回應(yīng)上述問題的形式主義框架。

3 形式主義的本體論立場

被認(rèn)為是典型的形式主義的觀點的，似乎是這樣的：數(shù)學(xué)的對象就是語言的字符，除此之外，并無它物，而數(shù)學(xué)知識則是“關(guān)于那些字符如何彼此關(guān)聯(lián)以及它們在數(shù)學(xué)實踐中怎樣被操作的知識”（[21]，第138 頁）。

這一觀點里所包含的，語言物項無所指這一點可能就是形式主義這個名稱的由來之一，同時或許也正是如此，使得形式主義與反實在論有了某種親緣關(guān)系。然而這只是非常粗略的概括。

不同的形式主義者確實都會表現(xiàn)出或者看起來持某種反實在論觀點，但是他們在程度上存在著區(qū)別，甚至可能是非常不同的，這一點或許可以從持有一些確定的本體論立場的學(xué)者對他們眼中形式主義的定位中反映出來。

有一些嚴(yán)格有窮主義者會把（提出規(guī)劃時期的）希爾伯特當(dāng)作他們的“同路人”，比如，葉峰認(rèn)為，“希爾伯特提出，有一個有窮主義數(shù)學(xué)，它的陳述可以被解釋為關(guān)于有限具體事物的陳述，特別是，關(guān)于有限具體事物的數(shù)量屬性與排列組合屬性的陳述，因此是有實在內(nèi)容的數(shù)學(xué)”（[24]，第138 頁）；因此，在葉峰看來，作為形式主義者的希爾伯特持有的是部分實在部分反實在論的觀點，實在論的部分在于承認(rèn)有窮的數(shù)學(xué)對象，盡管可能是在曲折的意義上的；而反實在論部分則是否定無窮對象的存在；當(dāng)然，嚴(yán)格有窮主義者會否定大的有窮數(shù)目的實在性，但是作為有窮主義者則很可能并不會如此，但是至少，從嚴(yán)格有窮主義者的角度看，作為有窮主義者的希爾伯特所能承認(rèn)的數(shù)學(xué)對象不會超出有窮物項。

另一端，一些實在論者會把某些承認(rèn)更多數(shù)學(xué)對象實在性的學(xué)者劃歸為形式主義者。例如，郝兆寬與楊躍把科恩（P.Cohen）與謝拉赫都視作形式主義者13科恩是力迫法的發(fā)明者、邏輯學(xué)界唯一的菲爾茲獎獲得者；而謝拉赫則是邏輯學(xué)界唯一的沃爾夫數(shù)學(xué)獎獲得者，這兩位數(shù)學(xué)家都是數(shù)學(xué)實踐活動中的佼佼者，他們的觀點值得反思。，并把他們的觀點總結(jié)為：“一個集合論語言中的語句σ是真的當(dāng)且僅當(dāng)σ在ZFC 中可證”，特別的，認(rèn)為他們持有的形式主義立場是與實在論的“柏拉圖主義”相對立的（[18]）；因此，至少一部分實在論者會認(rèn)為像科恩與謝拉赫這樣的形式主義者所能承認(rèn)的數(shù)學(xué)對象是ZFC 系統(tǒng)所承諾的，而在標(biāo)準(zhǔn)的形而上學(xué)解釋下，ZFC系統(tǒng)允許有任意大基數(shù)的集合，因此，這些形式主義者所承認(rèn)的數(shù)學(xué)對象將是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出有窮物項的。

在本小節(jié)一開頭所引的觀點所對應(yīng)的，被稱為是詞項形式主義，這種形態(tài)的形式主義在希爾伯特之前就已經(jīng)出現(xiàn)，它是弗雷格所批評的對象（[21]，第139頁），從我們上面的討論中不難了解，這種觀點并不被后來的形式主義者所認(rèn)同。

同詞項形式主義同樣“古老”的，是所謂的游戲形式主義。這一版本的形式主義認(rèn)為“數(shù)學(xué)各分支中的印刷字符并沒有什么數(shù)學(xué)的解釋”，注意，它與詞項形式主義是不同的，因為后者至少“認(rèn)為數(shù)學(xué)是關(guān)于其詞項的”（[21]，第140 頁）；游戲形式主義在本體論上更加激進(jìn)，它所對應(yīng)的是一種徹底的反實在論，即認(rèn)為不存在任何的數(shù)、集合等等這樣的數(shù)學(xué)對象，顯然這也不會被后來的形式主義者認(rèn)同。

二十世紀(jì)四十年代以后，被認(rèn)為具有相對系統(tǒng)的形式主義思想的學(xué)者主要是科里。14這是夏皮羅（S.Shapiro）的觀點（[21]），不過這可能并不完全正確，因為更加晚近的自認(rèn)或者被認(rèn)為論述過形式主義思想的學(xué)者還有如加貝（M.Gabbay）等學(xué)者，只不過他們的思想似乎并不是相對純粹的形式主義的，而是與，比如虛構(gòu)主義（Fictionalism）等交織在一起，更詳細(xì)的介紹請參看斯坦福哲學(xué)百科的詞條數(shù)學(xué)哲學(xué)中的形式主義（[14]）?？评锍钟蟹葱味蠈W(xué)的立場（[14]），他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不應(yīng)該受任何（基本的形而上學(xué)假設(shè)以外的）假設(shè)的限制”（[21]，第165 頁），但是這并不是反實在論的；更確切地說，科里在本體論上是中立的，比如，“他非常樂意致力于一個無限的本體論，這個本體論假定是抽象的表達(dá)式類型”（[14]）。

從到目前為止的梳理中，我們似乎可以得出這樣的結(jié)論：形式主義并不必然導(dǎo)致反實在論，它可能并不那么支持實在論，但是也不會否定之，它應(yīng)該是謹(jǐn)慎的，因此形式主義可以在本體論是中立的。

4 重構(gòu)形式主義

在本節(jié)中我們會試圖重構(gòu)形式主義框架；這一框架應(yīng)該面向數(shù)學(xué)實踐，允許數(shù)學(xué)家們把一些概念視為是“理想元”，但是在本體論上又不做斷然的限制，同時這一框架應(yīng)該免于哥德爾不完全性定理的“攻擊”。

重構(gòu)的基礎(chǔ)是希爾伯特規(guī)劃，它是一個受到哥德爾不完全性定理“破壞”的形式主義框架，我們需要細(xì)致地整理希爾伯特的構(gòu)想，這一工作會結(jié)合著與科里的相關(guān)思想的對比討論來進(jìn)行。

科里從希爾伯特那里繼承下來的形式主義思想中主要有兩個基本概念：一是形式系統(tǒng)，二是元數(shù)學(xué)；可以認(rèn)為這兩個概念張成了形式主義框架的基本架構(gòu)。

所謂的形式系統(tǒng)是指形式化的公理系統(tǒng)。對形式系統(tǒng)的關(guān)注并不是在希爾伯特的第二個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究時期才發(fā)生的，他的1899 年的名著《幾何基礎(chǔ)》就構(gòu)造了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的第一個真正嚴(yán)格的形式系統(tǒng)，他在這方面的思考和研究的時間還可以往前推，比如有學(xué)者曾談到，早在1891 年希爾伯特就這樣說過：“在一個真正的幾何學(xué)的公理化中你總能用‘桌子、椅子和啤酒杯’來代替‘點、直線和平面’?！保╗21]，第147 頁）科里則認(rèn)為，“隨著一門數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，在其方法論上會變得越來越嚴(yán)格，結(jié)果是該分支在形式演繹系統(tǒng)中被編集成典”（[21]，第164頁）。也就是說足夠成熟的數(shù)學(xué)分支最終都會形成一個形式系統(tǒng)，科里進(jìn)而“把這種形式化的進(jìn)程（當(dāng)）作為數(shù)學(xué)的本質(zhì)”（[21]，第165 頁）。更細(xì)致而言，即使我們接受實在論，認(rèn)為任何數(shù)學(xué)命題都非真即假，但是對那些真的數(shù)學(xué)命題，我們總需要把它們納入到一個形式系統(tǒng)中，即要么作為系統(tǒng)的公理，要么則是在一個形式系統(tǒng)中作為定理被推演得到。

形式主義的第二個基本概念是元數(shù)學(xué)，元數(shù)學(xué)在希爾伯特那里的要點是一致性證明。對希爾伯特規(guī)劃的一種工具主義（instrumentalism）的解讀是：希爾伯特把無窮數(shù)學(xué)當(dāng)作“理想元”，通過證明“理想元”對有窮主義數(shù)學(xué)的保守性來為這部分?jǐn)?shù)學(xué)辯護(hù)（[24]，第295 頁），這里的保守性指的是“如果借助于無窮數(shù)學(xué)可以證明某個有窮主義數(shù)學(xué)命題，那么在有窮主義數(shù)學(xué)中就可以證明該命題”15取自[24]，表述上有稍微的調(diào)整。；如果采用前述的約定，用PRA 表示有窮主義數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，那么保守性的任務(wù)可以轉(zhuǎn)化為在PRA 中證明“理想元”對應(yīng)的形式系統(tǒng)的一致性（[24]，第296–300頁）這樣就導(dǎo)出了通常所說的，元數(shù)學(xué)的主要任務(wù)是證明形式系統(tǒng)的一致性。

科里則認(rèn)為“一個成熟的數(shù)學(xué)理論的論斷不應(yīng)該被解釋為某一特定的演繹系統(tǒng)（形式系統(tǒng)）之中若干動作的結(jié)果，而應(yīng)該是關(guān)于形式系統(tǒng)的論斷”（[21]，第165 頁），他明確寫道：“數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)”16科里的論述（[3]），轉(zhuǎn)引自夏皮羅（[21]）。；關(guān)于形式系統(tǒng)、關(guān)于數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)研究正是元數(shù)學(xué)。由此可見科里對希爾伯特思想的某種繼承性，但是這不意味著科里只是對希爾伯特“錦上添花”似的發(fā)展。科里至少在兩個關(guān)鍵點上與希爾伯特存在著分歧。

第一點是，希爾伯特把元數(shù)學(xué)限制在有窮主義數(shù)學(xué)上17希爾伯特本人并未明確論述有窮主義數(shù)學(xué)的含義，自然也未給出其形式系統(tǒng)，一種較為常見的觀點是把原始遞歸算術(shù)PRA 視為有窮主義數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，更加詳細(xì)的討論可參看[11,20,24]。，但是科里認(rèn)為“元數(shù)學(xué)本身也是數(shù)學(xué)的一個分支，……也應(yīng)該被形式化。元數(shù)學(xué)中的非有窮元結(jié)果通過建立元數(shù)學(xué)的一個形式系統(tǒng)而被納入考慮，……不會形成一個惡性無窮倒退”（[21]，第165 頁），因此并不需要在進(jìn)行元數(shù)學(xué)討論時進(jìn)行這種限制?？评镌谶@一點上可能是對的，但是要注意到，希爾伯特在提出他的規(guī)劃時尚未出現(xiàn)哥德爾不完全性定理，因此希爾伯特對有窮性的限制可能是出于最大理想化的考慮，而并不是希爾伯特在數(shù)學(xué)本體論上的思想的反映18希爾伯特在[8]中確實有強烈的有窮主義哲學(xué)的色彩，但是希爾伯特的思想在不同的時期里并不那么固定。，因此希爾伯特很有可能會認(rèn)同科里的觀點。

科里與希爾伯特的第二個分歧則是，希爾伯特注重在元數(shù)學(xué)中證明“理想”數(shù)學(xué)的一致性，但是科里“并不要求一個一致性的證明”（[21]，第166 頁）?？评镌谶@一點上對希爾伯特的偏離可能是有問題的，盡管在哥德爾不完全性定理的背景下，希爾伯特的“一致性證明”需要換以“相對一致性證明”以及其他的一些關(guān)于形式系統(tǒng)的研究。

哥德爾不完全性定理表明，任何包含足夠多的算術(shù)的形式系統(tǒng)，如果它是一致的，那么它無法證明其自身的一致性，自然也無法證明比它更“龐大”的系統(tǒng)的一致性，因此希爾伯特原初的元數(shù)學(xué)目標(biāo)確實不可能完成。不過，希爾伯特的“一致性證明”的受挫并不意味元數(shù)學(xué)的“消亡”，元數(shù)學(xué)的重要意義在于，它強調(diào)對數(shù)學(xué)的形式化，以及對形式系統(tǒng)的研究，這種研究是反思性的，一致性或者相對一致性只是其中的一個方面，盡管可能是最重要的方面之一；此外，我們還可以討論對一個數(shù)學(xué)命題的“辯護(hù)”恰好需要什么樣的公理，此即目前已經(jīng)得到了豐富成果的反推數(shù)學(xué)（Reverse Mathematics，[19]）；邏輯學(xué)家弗里德曼（H.Friedman）另辟蹊徑，研究了需要大基數(shù)公理的有窮數(shù)學(xué)命題（[4]），這一工作有兩方面的元數(shù)學(xué)意義：其一，由此可以走向?qū)ΤＲ?guī)數(shù)學(xué)完全的形式系統(tǒng)的找尋；其二，它也可以視為對那些新公理的某種辯護(hù)——屬于常規(guī)數(shù)學(xué)的有窮數(shù)學(xué)命題的獲取需要它們。

上面的討論使我們看到，盡管希爾伯特原初的“一致性證明”的元數(shù)學(xué)失敗了，但是，作為對數(shù)學(xué)的反思性研究的元數(shù)學(xué)仍然具有著強勁的生命力，因此它（們）仍然是形式主義的重要組成部分。

綜上，我們認(rèn)為，形式主義仍然是一個有著獨特生命力的研究框架，它的核心“構(gòu)件”是形式系統(tǒng)與元數(shù)學(xué)。各種形式系統(tǒng)一方面可以是對已有數(shù)學(xué)結(jié)果的系統(tǒng)化整理，另一方面，或許更加重要的是，可以以“隱定義”的方式引入“理想元”，在擱置對其本體論地位的爭論的前提下促發(fā)新的數(shù)學(xué)研究；而對形式系統(tǒng)的性質(zhì)、形式系統(tǒng)之間關(guān)系等的研究則為典型的元數(shù)學(xué)工作。

5 形式主義視角下的多宇宙觀

在第三、四節(jié)里我們討論一種新的形式主義框架，它在本體論上是中立的，而在第二節(jié)中，我們也了解到多宇宙觀并不必然導(dǎo)向?qū)嵲谡?，因此，將多宇宙觀納入到這種新的形式主義框架是可能的。在這一節(jié)里，我們將嘗試把基于多宇宙概念的幾方面的具體工作，納入到框架的合適的“位置”上去。

首先是獨立性研究，這方面的工作反映的是相應(yīng)的形式系統(tǒng)的非完全性。自二十世紀(jì)六十年代以來，獨立性相關(guān)的工作在公理集合論研究中蔚為大觀。從形式主義的角度看，一個獨立性結(jié)果一般由兩個相對一致性證明組成：假設(shè)我們認(rèn)為T是一個一致的理論，進(jìn)入，如果我們獲得了兩個相對一致性命題Con(T)→Con(T+φ)以及Con(T)→Con(T+?φ)，那么就得到了φ相對于T的獨立性，即，我們必須承認(rèn)，T既證明不了φ，也證明不了φ的否定，除非我們認(rèn)為T是不一致的。多宇宙觀則為這種獨立性證明提供了“工業(yè)化”的程序：假設(shè)在多宇宙中有T的模型，如果能使用力迫法在多宇宙中構(gòu)造T+φ的模型以及T+?φ的模型，即可獲得相應(yīng)的獨立性結(jié)果。許多重要的獨立性研究都以這種方式完成。（[13]）

其次是新公理的搜尋。對于實在論者，自然不會僅滿足于ZFC 中的可證性，而是希望能夠獲取更強的新公理。對新公理的搜尋目前也是公理集合論的一個主要的研究方向。這方面的工作仍然是可以在新的形式主義框架下進(jìn)行的：我們可以先把新公理所表達(dá)的視為理想元，然后去考察增加了新公理后的新的形式系統(tǒng)的豐富性，這是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一直在實踐著的方法。那么一個自然的問題是，什么樣的數(shù)學(xué)命題可以作為新公理的候選？前述的弗里德曼規(guī)劃是對這個問題的一種回應(yīng)：為獲得具有某種獨立性的常規(guī)數(shù)學(xué)結(jié)果所必須的命題可能可以作為新公理的候選。這一進(jìn)路是形式主義的。

對探究新公理問題的另外一個回應(yīng)則改造自武丁的一個批評（[15,18]）。武丁認(rèn)為19更詳細(xì)的介紹請參看[18]的第二節(jié)。，在假設(shè)武丁基數(shù)類是真類和Ω 猜想下，脫殊多宇宙真理觀只是“把整個集合宇宙的真歸結(jié)為這個宇宙的某個清晰片段的真”，因此“只是一種更為精致的形式主義”（[18]）。如前所述，那種把真視為某個固定的形式系統(tǒng)中的可證性的意象只是對形式主義的“卡通般”的描畫，新的形式主義框架自然不會限制于這種“片段的真理”，盡管它確實強調(diào)可證性，但是它允許有多種的形式系統(tǒng)，并且并不否定形式系統(tǒng)中使用到的理想元和理想命題可能的實在性，因此武丁的批評或許可以說是對形式主義的一個具體策略的駁斥，但是并未直接否定形式主義本身，相反，由武丁的批評可以導(dǎo)向?qū)η笆鰡栴}的這樣的一個回應(yīng)：一個數(shù)學(xué)命題是脫殊絕對的或者在力迫下不變的可能是它可以作為新公理候選的一個必要條件，其理由恰恰在于，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論應(yīng)該是對數(shù)學(xué)的最基本、最普遍的描畫，因此，集合論公理應(yīng)該具有某種絕對性。

最后，就如希爾伯特規(guī)劃促生了證明論那樣，在新的形式主義的框架下，對于多宇宙的研究也在形成新的數(shù)學(xué)實踐。例如，前面介紹過的多宇宙觀的主要倡導(dǎo)者，哈姆肯斯與弗里德曼都與他們各自的合作者進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究20前一方面的工作請參看[22]，后一方面的工作請參看[1,2]。，這方面的工作也得到了其他研究者的跟隨與呼應(yīng)21比如，最近文丘里（G.Venturi，[12]）將羅賓遜無窮力迫法應(yīng)用到脫殊多宇宙上，以對脫殊模型的選取進(jìn)行代數(shù)探討。。

6 結(jié)束語

數(shù)學(xué)對象，或者更一般的集合對象的實在性一直是數(shù)學(xué)哲學(xué)中爭論的焦點。形式主義常常被與反實在論相關(guān)聯(lián)著，但是這并不確切，許多擁護(hù)形式主義的學(xué)者至多只是持有部分實在部分反實在觀，而這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是非常常見的。更重要的是這一斷定或許是偏離形式主義的真正要點的：形式主義的真正要義在于注重形式系統(tǒng)、注重元數(shù)學(xué)；它注意到了數(shù)學(xué)實踐中存在著理想元和理想命題這一事實，從而在本體論上采取相對謹(jǐn)慎的態(tài)度，但是這并不意味著它對那些理想元持反實在論的看法，事實上，理想元、理想命題的提出恰恰是人類創(chuàng)造力和想象力的產(chǎn)物，它們是否最終被接受依賴于它們是否提供了深刻的洞見、是否帶來了豐富的數(shù)學(xué)成果，而這與形式主義對數(shù)學(xué)實踐的注重是一致的。

多宇宙觀是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中新近出現(xiàn)的一組觀點，它（們）的特點在于其并非只是純哲學(xué)概念性的，與之對應(yīng)著精確的數(shù)學(xué)概念以及豐富的研究課題，它并不必然導(dǎo)向?qū)嵲谡摿?，因此可以容納到新的形式主義框架中去，在這種改造后的形式主義的框架下，它會為當(dāng)前的數(shù)學(xué)實踐提供認(rèn)識論上的理據(jù)，同時也像希爾伯特規(guī)劃樣式的形式主義那樣，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)實踐形式。形式主義以及多宇宙觀最終都是“為了人類心智的榮耀”。