模糊集合論對(duì)羅素悖論的解決

楊 帆

(南開大學(xué) 哲學(xué)院， 天津 300350)

羅素悖論的發(fā)現(xiàn)引起了人們對(duì)集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑，甚至導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。一切后續(xù)的集合論研究都不能回避這個(gè)悖論，于是出現(xiàn)了ZF集合論(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合論(von Neumann-Bernays-G?del set tehroy)等公理化集合論來解決悖論，它們都對(duì)樸素集合論作出了修正。ZF集合論給出的方案是將能夠?qū)е裸Ｕ摰母爬ㄔ瓌t限制為分離公理，即將“如果φ(x)是一個(gè)性質(zhì)，那么就存在一個(gè)集合{x|φ(x)}”修正為“如果φ(x)是一個(gè)性質(zhì)，那么對(duì)任意的A存在一個(gè)集合{x∈A|φ(x)}”，這樣就確保每一個(gè)新的集合都是已經(jīng)存在的集合的子集，羅素集R={x|x?x}不復(fù)存在；NBG集合論則引入類的概念，并區(qū)分了集合和真類，集合可以屬于其他集合，而真類不屬于任何集合。這樣，羅素悖論中所有滿足某個(gè)條件的集合所構(gòu)成的集合便不存在，它被定義為真類，由此解決了悖論。

上述兩種公理化集合論的解悖方案分別是對(duì)概括原則進(jìn)行限制與區(qū)分集合和真類的定義。替換經(jīng)典邏輯則是第三種思路。隨著非經(jīng)典邏輯研究的興起，構(gòu)造各種非經(jīng)典集合論的嘗試也相繼出現(xiàn)[1]。這些非經(jīng)典集合論多能結(jié)合底層邏輯的特點(diǎn)來解決羅素悖論。目前，國(guó)內(nèi)已經(jīng)有學(xué)者開展非經(jīng)典集合論在解悖方面的研究，主要涉及模態(tài)集合論[2]、弗協(xié)調(diào)集合論[3]和直覺主義集合論[4]等幾種非經(jīng)典集合論。但是，國(guó)內(nèi)關(guān)于模糊集合論(fuzzy set theory)解決羅素悖論的論述尚不多。模糊集合論是一種非經(jīng)典集合論，雖然創(chuàng)立的初衷是為了刻畫工程中遇到的不精確現(xiàn)象，但為了保證能夠作為模糊數(shù)學(xué)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，它依然要探討如何去解決羅素悖論。

本文的創(chuàng)新之處在于探索了各種模糊集合論系統(tǒng)對(duì)羅素悖論的解決，綜合地分析并比較了它們的解悖方案，并以此來說明模糊集合論能夠作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)而存在。第一節(jié)闡述多值邏輯對(duì)羅素悖論的回應(yīng)，第二節(jié)從底層邏輯和方法論兩個(gè)方面闡述模糊集合論公理化的基礎(chǔ)，第三節(jié)分析ZF型模糊集合論、模糊類型論和樸素模糊集合論的構(gòu)造過程，第四節(jié)對(duì)這幾種構(gòu)造的解悖方案進(jìn)行分析和比較。

一、多值邏輯對(duì)羅素悖論的回應(yīng)

如果要討論模糊集合論對(duì)羅素悖論的解決，就無法繞開它的思想來源——多值邏輯(many-valued logic)對(duì)羅素悖論的回應(yīng)。作為非經(jīng)典邏輯的一種，多值邏輯對(duì)經(jīng)典邏輯中的二值原則持?jǐn)U張的態(tài)度，認(rèn)為命題不只可以取真和假兩個(gè)值，例如三值邏輯認(rèn)為命題可以有第三個(gè)值，有窮值邏輯認(rèn)為命題有n個(gè)值(n是任意的自然數(shù))，無窮值邏輯認(rèn)為命題有可數(shù)無窮多個(gè)值或不可數(shù)無窮多個(gè)值。多值邏輯最初還被認(rèn)為可以替換樸素集合論中的經(jīng)典邏輯來解決羅素悖論。與ZF集合論和NBG集合論的解悖思路不同，多值邏輯既不對(duì)概括原則作出任何限制，也不區(qū)分集合和真類的定義，而是將樸素集合論的底層邏輯替換為多值邏輯，例如鮑契瓦爾(D.A.Bochvar)的三值邏輯。如此一來，羅素悖論依然存在，但是這個(gè)命題被指派了第三值，因此并不構(gòu)成經(jīng)典意義上的悖論。

然而，事實(shí)遠(yuǎn)非如此簡(jiǎn)單。莫紹揆證明，僅將樸素集合論的經(jīng)典邏輯替換為有窮值邏輯n(3≤n<ω)，仍然會(huì)導(dǎo)致悖論[5]。不過，這個(gè)結(jié)論不能推廣到無窮值邏輯。那么無窮值邏輯就因此而值得信賴了嗎？鄭毓信等人證明，任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，只要包括概括原則、分離規(guī)則、同一律、自然數(shù)系統(tǒng)且承認(rèn)無窮多個(gè)集合可以構(gòu)造并集，就會(huì)導(dǎo)致悖論，即使將經(jīng)典邏輯替換為無窮值邏輯也無法避免[6]。杜國(guó)平等人進(jìn)而將這個(gè)結(jié)論推廣到任意值邏輯上[7]。杜國(guó)平由此斷定，無法通過對(duì)樸素集合論的底層邏輯進(jìn)行替換來解決羅素悖論[8]。

多值邏輯對(duì)羅素悖論的回應(yīng)之所以失敗，是因?yàn)檫@樣的回應(yīng)是不完備的，即僅將底層邏輯替換為多值邏輯，而沒有深入考察集合論隨之而來的變化。如果不放棄以多值邏輯替換底層邏輯的思路，那么集合論層面就不應(yīng)局限在固有的樸素集合論上，而應(yīng)尋求與多值邏輯相一致的某種新型非經(jīng)典集合論。只要構(gòu)造出基于多值邏輯的非經(jīng)典集合論，就可以繼續(xù)對(duì)羅素悖論的解決進(jìn)行合理的探索。幸運(yùn)的是，實(shí)際應(yīng)用中已發(fā)展出一種基于多值邏輯的非經(jīng)典集合論，即模糊集合論，并且它能夠從理論上回應(yīng)羅素悖論。

二、模糊集合論公理化的基礎(chǔ)

模糊集合論的概念最早是扎德(L.A.Zadeh)在其1965年的論文《模糊集合》(Fuzzysets)中提出的[9]，用以處理不精確現(xiàn)象，它表現(xiàn)出了對(duì)經(jīng)典集合論的擴(kuò)張。這種擴(kuò)張?bào)w現(xiàn)在模糊集合論對(duì)屬于關(guān)系的重新解釋上。在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素要么屬于一個(gè)集合，要么不屬于一個(gè)集合，沒有其他情形。扎德創(chuàng)立的模糊集合論則不同，他認(rèn)為屬于關(guān)系可以用隸屬度(membership degree)的概念來刻畫。簡(jiǎn)單來說，就是對(duì)論域X，存在一個(gè)從X到實(shí)區(qū)間[0,1]的映射μA，稱作隸屬函數(shù)(membership function)，它代表著一個(gè)模糊集合A。X中的元素x在μA映射下的像μA(x)就是x的隸屬度。這樣，模糊集合A可以表示為A={(x,μA(x))|x∈X}。一個(gè)元素是按一定的隸屬度屬于一個(gè)集合的，這個(gè)隸屬度是在[0,1]上取值的。顯然，隸屬度的取值有不可數(shù)無窮多個(gè)，這與多值邏輯中的不可數(shù)無窮值邏輯的真值集相契合。

模糊集合論的底層邏輯是多值邏輯，因此二者有著極其密切的聯(lián)系。但是，模糊集合論從兩個(gè)方面超越了多值邏輯：一是從模糊限制的角度發(fā)展了多值邏輯的語義學(xué)，使其能夠刻畫不精確概念；二是它有著更為廣泛的應(yīng)用，在模糊控制、模糊識(shí)別和專家系統(tǒng)等領(lǐng)域都有重要價(jià)值。隨著模糊集合論在實(shí)際應(yīng)用中的逐漸成熟，對(duì)它的理論基礎(chǔ)，即公理化系統(tǒng)之需求也日漸迫切。較之于扎德所創(chuàng)立的經(jīng)典模糊集合論，公理化模糊集合論蘊(yùn)含了更多的邏輯基礎(chǔ)和哲學(xué)上的考量。我們將從底層邏輯和方法論兩個(gè)角度來分析模糊集合論公理化的基礎(chǔ)。

(一)底層邏輯：基本三角范數(shù)邏輯

G?del三角范數(shù)：T(x,y)=min(x,y)；

乘積三角范數(shù)：T(x,y)=x·y。

(二)方法論：公理化與形式主義

一般的數(shù)學(xué)理論有三層結(jié)構(gòu)：形式邏輯、基礎(chǔ)理論、具體學(xué)科。在模糊數(shù)學(xué)中，作為形式邏輯一層的數(shù)理模糊邏輯如前所述已經(jīng)非常豐富，而具體學(xué)科自扎德創(chuàng)立以來一直發(fā)展迅速，相對(duì)薄弱的是基礎(chǔ)理論，即一種能夠?qū)С瞿：龜?shù)學(xué)的公理化模糊集合論。結(jié)合基礎(chǔ)理論亟需發(fā)展的態(tài)勢(shì)，貝侯內(nèi)克(L.Běhounek)和辛圖拉(P.Cintula)給出了模糊集合論公理化的指導(dǎo)思想，稱作“形式主義命令”(formalistic imperative)[11]?；诠藢?duì)數(shù)理模糊邏輯的研究，貝侯內(nèi)克和辛圖拉認(rèn)為要研究模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，首先需要以一種模糊邏輯為底層邏輯來研究形式化和公理化的理論，而非特定的模型。由于模仿經(jīng)典邏輯的傳統(tǒng)語法已被數(shù)理模糊邏輯證明是可行的，因此延續(xù)這一思路進(jìn)而構(gòu)造模糊集合論似乎也是值得嘗試的。

貝侯內(nèi)克和辛圖拉聲稱一種公理化模糊集合論可以簡(jiǎn)單地在某種模糊邏輯上增加二元屬于謂詞而構(gòu)造，而不必提出任何新的屬于謂詞。在這一情形下，許多經(jīng)典集合論中的構(gòu)造和證明都將成立，無需推倒重建。這個(gè)說法主要針對(duì)的是早期夏平(E.W.Chapin)等人(1)由于涉及的文獻(xiàn)較多，此處不再羅列，具體可參見戈特瓦爾德(S.Gottwald)對(duì)此的統(tǒng)一評(píng)述[12]?；诮?jīng)典邏輯構(gòu)造模糊集合論時(shí)為刻畫含混性而引入新的三元屬于謂詞，其中第三元表示隸屬度，這樣隸屬度在模糊集合論中就作為一個(gè)新的對(duì)象來處理。但按照貝侯內(nèi)克和辛圖拉的思路，隸屬度不必作為一個(gè)新的對(duì)象引入到模糊集合論中，只需“隱藏”在元語言層面即可。我們知道經(jīng)典邏輯是模糊邏輯的擴(kuò)張，因此也就可以視作是模糊邏輯的一個(gè)特例，以經(jīng)典邏輯為底層邏輯而構(gòu)造的模糊集合論只能視作是對(duì)模糊現(xiàn)象的一個(gè)經(jīng)典模型解釋，不能稱其為真正的模糊化方法。而如果能夠在模糊邏輯上構(gòu)造模糊集合論，那么經(jīng)典模型就同樣可以作為特例被容納于其中。

這一說法確立了一種構(gòu)造模糊集合論的方案，即選擇一個(gè)合適的模糊邏輯系統(tǒng)作為底層邏輯，通過增加二元屬于謂詞，然后引入經(jīng)典集合論的公理系統(tǒng)，得到一個(gè)新的公理化模糊集合論。雖然扎德的經(jīng)典模糊集合論具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，但他創(chuàng)立模糊集合論的過程并不是從一種模糊邏輯開始的。貝侯內(nèi)克和辛圖拉認(rèn)為，我們更需要的是一種表達(dá)力極強(qiáng)的底層邏輯，而非對(duì)集合論的完全模仿。這主要表達(dá)了兩層含義：第一，扎德創(chuàng)立的模糊集合論只是將經(jīng)典集合論中的概念模糊化了，其結(jié)果仍然停留在基礎(chǔ)理論這一層，沒有深入到底層邏輯；第二，真正構(gòu)造模糊集合論必須選取數(shù)理模糊邏輯中表達(dá)力足夠強(qiáng)的系統(tǒng)。從他們的主張出發(fā)構(gòu)造的公理化模糊集合論，為了能作為模糊數(shù)學(xué)的哲學(xué)和理論基礎(chǔ)，面臨的首要問題就是如何解決羅素悖論。

三、模糊集合論的構(gòu)造

模糊集合論的構(gòu)造過程與經(jīng)典集合論頗有相似之處，但其底層邏輯和具體問題又不盡相同。下面我們將考察三類已有的模糊集合論系統(tǒng)。

(一)ZF型模糊集合論的方案

ZF集合論對(duì)羅素悖論的解決方案比較經(jīng)典，也廣為數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界所接受，將ZF集合論的公理系統(tǒng)移植到非經(jīng)典集合論中是很自然的思路。在仿照ZF集合論來構(gòu)造公理化模糊集合論的方法中，比較有價(jià)值的是竹內(nèi)外史(Gaisi Takeuti)和千谷慧子(Satoko Titani)基于G?del邏輯給出的方案，以及哈耶克和漢尼科娃(Z.Haniková)基于BL邏輯給出的方案。

竹內(nèi)外史和千谷慧子以一種多值邏輯，即G?del邏輯為底層邏輯，吸納了直覺主義集合論(intuitionistic set theory)的思想[13]，構(gòu)造了一種直覺主義模糊集合論ZFIF。ZFIF的公理有直覺主義集合論ZFI的公理加上依賴選擇公理和雙重否定公理。關(guān)鍵的步驟是用∈-歸納公理替代基礎(chǔ)公理，這一替代是對(duì)集合論中能夠蘊(yùn)涵排中律的公理進(jìn)行修正。而雙重否定公理補(bǔ)充了G?del邏輯中否定算子所不具有的對(duì)合性(involutivity)，即φ?﹁﹁ψ。后來，他們又使用ukasiewicz邏輯聯(lián)結(jié)詞和乘積邏輯的合取聯(lián)結(jié)詞，提出一種新的底層邏輯FL(fuzzy logic)[14]，F(xiàn)L可以包含G?del邏輯。由此，他們構(gòu)造了一種ZF型模糊集合論FZF，F(xiàn)ZF公理與ZFIF的公理基本一致。

受ZFIF和FZF的啟發(fā)，哈耶克和漢尼科娃從一階基本模糊邏輯BLΔ?出發(fā)，引入Δ算子，構(gòu)造了一個(gè)ZF型模糊集合論FST(fuzzy set theory)[15]。他們認(rèn)為，竹內(nèi)外史和千谷慧子的工作的缺陷在于“沒有區(qū)分多值邏輯的特征，即合取聯(lián)結(jié)詞的非冪等性(non-idempotence)”[15]273。FST的公理有外延公理、空集公理、對(duì)集公理、并集公理、弱冪集公理、無窮公理、分離公理、收集公理、∈-歸納公理和支集存在公理等。

(二)模糊類理論的方案

雖然ZF集合論是比較經(jīng)典和公認(rèn)的一種思路，但是將ZF集合論移植到模糊集合論仍然會(huì)導(dǎo)致一些問題。例如，ZF型模糊集合論所依賴的底層邏輯無法推廣等。從方法論層面來看，這會(huì)使得某些模糊集合論不足以構(gòu)造出模糊數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，于是我們轉(zhuǎn)向另一種方案。

FCT是一個(gè)一階理論，扎德的模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)容納于其中。但它可以繼續(xù)向高階理論擴(kuò)張，以容納更高階的數(shù)學(xué)理論。比如，二階FCT包含兩種變?cè)侯惡皖愖?family)，并定義一個(gè)新的屬于謂詞∈表示“類屬于類族”，然后有類族的概括公理和外延公理；三階FCT同樣也包含兩種變?cè)侯愖搴皖愖宓淖澹俣x一個(gè)新的屬于謂詞∈表示“類族屬于類族的族”，然后有類族的族的概括公理和外延公理……如此可將理論擴(kuò)張為n階，屬于謂詞∈表示“n-1階變?cè)獙儆趎階變?cè)?。每一階的FCT語言和公理都是相同的，只有變?cè)獣?huì)有所變化。

(三)回到樸素集合論的方案

除了通過公理化方法構(gòu)造模糊集合論外，還可以選取一條回歸康托爾樸素集合論的路徑，這就是哈耶克以u(píng)kasiewicz邏輯為底層邏輯而構(gòu)造的C集合論(Cantor-ukasiewicz set theory)[17]。他將這種方法稱作是與FST“完全不同的”[17]763，C集合論是由將康托爾的樸素集合論中的經(jīng)典邏輯替代為ukasiewicz邏輯而構(gòu)造出來的，其思想來源于懷特(R.B.White)對(duì)無窮值ukasiewicz邏輯上概括原則的一致性證明[18]。

四、模糊集合論解決羅素悖論的方案分析

基本模糊邏輯BL已經(jīng)成為模糊邏輯領(lǐng)域中公認(rèn)的基礎(chǔ)邏輯系統(tǒng)，由此出發(fā)而構(gòu)造的幾種模糊集合論，以及它們對(duì)羅素悖論的解決方案則各有異同。這一節(jié)我們將具體分析以上三類模糊集合論對(duì)羅素悖論的解決。

竹內(nèi)外史和千谷慧子所提出的ZFIF和FZF系統(tǒng)，是模糊集合論的研究進(jìn)程中最先借鑒直覺主義集合論對(duì)基礎(chǔ)公理處理的方案。ZFIF和FZF保留了ZF集合論原有的分離公理，因此能夠避免悖論。在哈耶克提出BL從而將幾種多值邏輯系統(tǒng)視作其擴(kuò)張后，以BLΔ?為底層邏輯來構(gòu)造一種“更為基本”的集合論就成了可能。接下來我們主要分析模糊集合論FST是如何解決羅素悖論的。

一方面，F(xiàn)ST的構(gòu)造是從經(jīng)典的ZF集合論出發(fā)，借鑒直覺主義集合論中的思想，對(duì)能夠蘊(yùn)涵排中律的公理進(jìn)行修正。蘊(yùn)涵排中律的公理，即基礎(chǔ)公理，在直覺主義集合論中會(huì)導(dǎo)致悖論。而在模糊集合論中，基礎(chǔ)公理會(huì)使得屬于關(guān)系弱化為明確的，亦即二值的，整個(gè)集合論失去了模糊性，這樣FST就無法對(duì)多值模型作出解釋。所以，F(xiàn)ST中用∈-歸納公理替代了基礎(chǔ)公理。而分離公理確保了每一個(gè)新的集合都必須是從已存在的集合中構(gòu)造的，這避免了樸素集合論中的羅素集出現(xiàn)。另一方面，F(xiàn)ST的底層邏輯是BLΔ?，它延續(xù)了多值邏輯的思想，即對(duì)經(jīng)典邏輯中二值原則的擴(kuò)張，所以底層邏輯的語義是多值的。

以上兩個(gè)方面表明，F(xiàn)ST的解悖思路既確保了不存在羅素集，又保證了對(duì)多值模型的解釋，由此排除了羅素悖論。FST是從ZF集合論的角度，立足于形式主義的主張來消解悖論。實(shí)際上，用ZF集合論處理悖論也一直是集合論研究領(lǐng)域的主流。不過，F(xiàn)ST更關(guān)注的是ZF集合論的元數(shù)學(xué)性質(zhì)，它在作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)具有一定局限性，譬如無法構(gòu)造一些模糊數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。

與FST相比能夠推導(dǎo)出模糊數(shù)學(xué)的FCT則是從變?cè)椭^詞的定義角度消解悖論，它對(duì)屬于謂詞∈的定義非常嚴(yán)格，從而排除了羅素集出現(xiàn)的可能，因此也不需要對(duì)概括公理做任何的修正。FCT在定義屬于謂詞時(shí)很明確地指出，謂詞∈前面的變?cè)仨毷菍?duì)象，后面的變?cè)仨毷穷悾現(xiàn)CT既不考慮類與類之間的關(guān)系，也不考慮對(duì)象與對(duì)象之間的關(guān)系[16]43。羅素悖論要求的“所有不以自身為元素的集合”在FCT中是不符合謂詞∈的定義的，而奇異收集所說的“所有不以自身為元素的集合的集合”在FCT中只能是“所有不以自身為元素的對(duì)象的類”。無論何種，都說明羅素集在FCT中不存在，這樣就避免了羅素悖論。FCT對(duì)于羅素悖論的解決與NBG集合論有一些相似之處，例如對(duì)所處理的對(duì)象進(jìn)行分層，但它對(duì)屬于謂詞的定義明顯要強(qiáng)于NBG集合論，它只承認(rèn)對(duì)象屬于類的合法性。如果考慮將FCT推廣到高階的情形，很明顯n階FCT對(duì)于變?cè)星逦姆謱?，羅素悖論中對(duì)于“所有n-1階變?cè)氖占睂⑹且粋€(gè)n階變?cè)⒉粫?huì)導(dǎo)致悖論。

五、結(jié)語

杜國(guó)平將羅素悖論的架構(gòu)梳理為：概括原則+集合論的基本定義+經(jīng)典邏輯→矛盾[8]4。本文主要討論的3種模糊集合論則恰好從這3個(gè)方面各自對(duì)羅素悖論進(jìn)行了回應(yīng)：FST通過公理化的方法對(duì)概括原則進(jìn)行限制，F(xiàn)CT在關(guān)于集合的基本定義上更加嚴(yán)格，而C則是將樸素集合論的經(jīng)典邏輯進(jìn)行了替換，但C所謂的解悖方案目前還是一個(gè)假設(shè)，關(guān)于它的一致性依然是一個(gè)開放性問題。

羅素悖論是集合論和邏輯哲學(xué)中的一個(gè)重要問題。模糊集合論在其發(fā)展和解決羅素悖論的過程中，基本離不開對(duì)具有多值語義的模糊邏輯的依賴。模糊理論的學(xué)者們建立了一個(gè)個(gè)非平凡的理論，并在哲學(xué)上得到了合理的解釋。在研究特定的模糊現(xiàn)象時(shí)人們會(huì)進(jìn)行建模，而模糊集合論則是這些特定建模的一般化理論。從多值邏輯到模糊集合論的進(jìn)程，雖然還有許多問題需要探討，但模糊集合論已經(jīng)較好地處理了羅素悖論，使其能夠作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)而存在，為進(jìn)一步的理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了必要的支撐。