羅素悖論與羅素定理

王海東

(天津市北方調(diào)查策劃事務(wù)所 300050)

一個(gè)幽靈在集合論中徘徊，這個(gè)幽靈就是羅素悖論.

羅素悖論可以用以下公式表示：

?y?x(x∈y?x?x)

從這個(gè)公式來(lái)看，羅素悖論來(lái)自于集合論的一個(gè)常用語(yǔ)句.這個(gè)常用語(yǔ)句就是用屬于符號(hào)∈構(gòu)成的語(yǔ)句.由于集合論的所有表達(dá)式都離不開(kāi)這個(gè)常用語(yǔ)句，所以集合論的所有表達(dá)式都會(huì)無(wú)一例外地受到羅素悖論的困擾.

有人認(rèn)為，子集公理能夠從集合論中排除羅素悖論.

子集公理可以用以下公式表示：

?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x))

但是，即使有了子集公理，羅素悖論仍然無(wú)處不在.因?yàn)?，我們可以從子集公理中推出?/p>

?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x)?z∈p(x)?x∈p(x)?x?x)

由此可見(jiàn)，子集公理只是把羅素悖論從某個(gè)集合推給了另一個(gè)集合.如果可以這樣推下去，羅素悖論將會(huì)出現(xiàn)在所有集合之中.

那么，怎樣才能從集合論中排除羅素悖論呢？顯然，要想從集合論中排除羅素悖論，就必須找到羅素悖論在集合論中的形成條件.

那么，羅素悖論在集合論中的形成條件是什么呢？顯然，羅素悖論在集合論中的形成條件，就是集合論一直沒(méi)有解決集合定義問(wèn)題.

有人認(rèn)為，集合論不需要給出明確的集合定義.把集合視為一種可以任意定義的數(shù)學(xué)對(duì)象，就可以對(duì)號(hào)入座地解決各種各樣的集合論問(wèn)題了.這種看法是一種不符合數(shù)學(xué)要求的錯(cuò)誤看法.從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，任何一種數(shù)學(xué)理論都是以數(shù)學(xué)定義作為理論起點(diǎn)的.不能給出明確的數(shù)學(xué)定義，就不能建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論.只有給出了明確的數(shù)學(xué)定義，才能建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論.幾何學(xué)就是一個(gè)最好的先例.在幾何學(xué)中，幾何定義的理論地位高于幾何公理，幾何公理的理論地位又高于幾何定理.在給出了各種幾何定義之后，幾何學(xué)才會(huì)進(jìn)一步給出各種幾何公理.在給出了各種幾何公理之后，幾何學(xué)才會(huì)進(jìn)一步給出各種幾何定理.如果我們將集合論視為一種數(shù)學(xué)理論，我們就必須讓集合論遵循數(shù)學(xué)理論的發(fā)展規(guī)律.

更重要的是，如果我們所說(shuō)的集合不是集合論所說(shuō)的集合，而是人們?cè)谌粘Ｉ钪兴f(shuō)的集合，那么這種集合也許不需要給出明確的定義.因?yàn)?，人們?cè)谌粘Ｉ钪兴f(shuō)的集合與人們的生活環(huán)境密切相關(guān).人們可以通過(guò)各種不同的生活環(huán)境找到集合的明確定義.例如，一個(gè)學(xué)校的集合就是全校師生的集合，一支軍隊(duì)的集合就是全軍官兵的集合，以此類推.但是，如果我們所說(shuō)的集合是集合論所說(shuō)的集合，而不是人們?cè)谌粘Ｉ钪兴f(shuō)的集合，那么這種集合就必須給出明確的定義了.因?yàn)?，集合論所說(shuō)的集合是一種具有數(shù)學(xué)抽象性的集合.這種具有數(shù)學(xué)抽象性的集合與人們的生活環(huán)境毫無(wú)關(guān)系.如果不把這種具有數(shù)學(xué)抽象性的集合用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明確地表述出來(lái)，人們就可以隨心所欲地解釋這種具有數(shù)學(xué)抽象性的集合了.這樣一來(lái)，羅素悖論就會(huì)從集合論所說(shuō)的集合中產(chǎn)生出來(lái)，集合論所說(shuō)的集合就為羅素悖論提供了形成條件.

不過(guò)，我們也應(yīng)該看到，雖然集合論一直沒(méi)有解決集合定義問(wèn)題，但是集合論已經(jīng)為解決這一問(wèn)題奠定了良好的理論基礎(chǔ).這個(gè)理論基礎(chǔ)就是代表任意集合的集合公式：

?A?a(a∈A|a=an,0≤n≤∞)

根據(jù)集合公式，我們可以把集合定義為一組具有相同數(shù)學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象.根據(jù)集合定義，我們可以將元素定義為包含在某個(gè)集合之中的最小數(shù)學(xué)對(duì)象.根據(jù)元素定義，我們可以將子集定義為包含在某個(gè)集合之中并包含其若干元素的數(shù)學(xué)對(duì)象.根據(jù)子集定義，我們可以將空集定義為包含在某個(gè)集合之中但不包含其任何元素的數(shù)學(xué)對(duì)象.根據(jù)空集定義，我們可以將非空集合定義為包含某個(gè)集合的所有元素但不包含其空集的子集.

由此可見(jiàn)，只要給出了集合定義，我們就可以給出元素定義.只要給出了元素定義，我們就可以給出子集定義.只要給出了子集定義，我們就可以給出空集定義.只要給出了空集定義，我們就可以給出非空集合定義.由于這五個(gè)集合論定義具有極其密切的理論聯(lián)系，所以我們可以把這五個(gè)集合論定義稱為集合論定義系統(tǒng).令D代表集合論定義系統(tǒng)，d1代表集合定義，d2代表元素定義，d3代表子集定義，d4代表空集定義，d5代表非空集合定義，我們可以用以下公式來(lái)證明集合論定義系統(tǒng)：

已知

d1→d2→d3→d4→d5

又知

d1∈D

d2∈D

d3∈D

d4∈D

d5∈D

因此

?D?d(d∈D|d=di,0

證畢.

我們不難發(fā)現(xiàn)：集合論定義系統(tǒng)為集合論公理系統(tǒng)提供了理論依據(jù).只要給出了集合論定義系統(tǒng)，我們就可以從中推出集合論公理系統(tǒng).令G代表集合論公理系統(tǒng)，g1代表外延公理，g2代表空集公理，g3代表子集公理，g4代表偶集公理，g5代表并集公理，g6代表冪集公理，g7代表正則公理，g8代表無(wú)窮公理，g9代表替換公理，g10代表選擇公理，我們可以用以下公式來(lái)證明這一發(fā)現(xiàn)：

已知

?D?d(d∈D|d=di,0

?G?g(g∈G|g=gj,0

又知

d1∈D→g4∧g5∧g8∈G

d2∈D→g1∧g9∈G

d3∈D→g3∧g6∈G

d4∈D→g2∈G

d5∈D→g7∧g10∈G

因此

?D?d(d∈D|d=di,0

證畢.

我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，集合論定義系統(tǒng)不僅為集合論公理系統(tǒng)提供了理論依據(jù)，而且為集合論公理系統(tǒng)提供了四個(gè)十分重要的集合論公理.這四個(gè)集合論公理就是包含公理、等于公理、包含等于公理和不屬于公理.包含公理是指：包含在某個(gè)集合之中的任何一種數(shù)學(xué)對(duì)象都屬于某個(gè)集合而不屬于自己.等于公理是指：任何一種等于某個(gè)集合的數(shù)學(xué)對(duì)象都屬于自己而不屬于某個(gè)集合.包含等于公理是指：除了兩個(gè)元素相同的集合，其他任何一種數(shù)學(xué)對(duì)象都不可能既包含在某個(gè)集合之中又等于某個(gè)集合.不屬于公理是指：與某個(gè)集合的元素有關(guān)卻又不屬于某個(gè)集合的數(shù)學(xué)對(duì)象屬于某個(gè)集合的空集.

包含公理可以用以下公式表示：

?y?x(x?y?x∈y?x?x)

等于公理可以用以下公式表示：

?y?x(x=y?x∈x?x?y)

包含等于公理可以用以下公式表示：

?y?x(x?y?x?y∨x=y?x∈y∨x?y)

不屬于公理可以用以下公式表示：

?x?y?z(x∈y,x∈z|z?y,z∈?,?∈y)

這樣一來(lái)，我們就找到了從集合論中排除羅素悖論的方法.這個(gè)方法就是：將包含公理、等于公理、包含等于公理和不屬于公理引進(jìn)集合論公理系統(tǒng).因?yàn)?，在引進(jìn)了這四個(gè)集合論公理之后，我們不僅可以將羅素悖論視為羅素定理，而且可以用以下方法來(lái)證明羅素定理：

已知

?y?x(x∈y?x?y)

又知

?y?x(x?y?x?x)

因此

?y?x(x∈y?x?x)

證畢.

綜上所述，不能從集合論中排除羅素悖論，說(shuō)明不能用集合論證明羅素定理.不能用集合論證明羅素定理，說(shuō)明集合論公理系統(tǒng)不完善.集合論公理系統(tǒng)不完善，說(shuō)明集合論定義系統(tǒng)未建立.集合論定義系統(tǒng)未建立，說(shuō)明集合定義問(wèn)題沒(méi)解決.只有解決了集合定義問(wèn)題，才能建立集合論定義系統(tǒng).只有建立了集合論定義系統(tǒng)，才能完善集合論公理系統(tǒng).只有完善了集合論公理系統(tǒng)，才能用集合論證明羅素定理.只有用集合論證明了羅素定理，才能從集合論中排除羅素悖論.