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    說(shuō)三道四話“空集”

    2015-02-02 14:41裘家英虞關(guān)壽
    理科考試研究·高中 2015年1期
    關(guān)鍵詞:子集實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)

    裘家英 虞關(guān)壽

    進(jìn)入高中學(xué)習(xí),高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)內(nèi)容是集合,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),集合中“空集” 是較難理解的概念.在解決集合中有關(guān)問(wèn)題時(shí),特別是求參數(shù)范圍時(shí),常常由于少考慮到“空集”這個(gè)因素,使得問(wèn)題的求解變得不完整,甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤.可以這樣說(shuō)這類(lèi)問(wèn)題的求解錯(cuò)誤都是“空集”惹的禍 .

    鑒于此筆者想對(duì)“空集”進(jìn)行一番“說(shuō)三道四”,望能起到“拋磚引玉”之功效.

    一、“說(shuō)三”:說(shuō)一說(shuō)空集概念的三個(gè)方面

    一說(shuō)空集的定義

    教材上空集的定義是這樣給的:我們把不含任何元素的集合叫做空集.按這個(gè)定義的意思,我們可以這樣去理解:空集不是無(wú),它是客觀存在的,例如{x∈R|x2+x+1=0}是空集,{(x,y)|x2+y2<0}是空集,但它們的內(nèi)部沒(méi)有元素.這對(duì)我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).我們可將集合想象成一個(gè)裝有元素的袋子,袋子可能是空的,但袋子本身確實(shí)是存在的.這種想法或許對(duì)我們理解空集有所幫助.

    二說(shuō)空集中的一個(gè)規(guī)定(性質(zhì))

    在教材中有這樣的一個(gè)規(guī)定:空集是任何集合的子集,即A,A為任一集合.按子集的定義,這個(gè)規(guī)定是說(shuō)集合 的每個(gè)元素都得屬于A.對(duì)這個(gè)規(guī)定的理解,可從反證的角度去解釋?zhuān)暨@個(gè)規(guī)定不真,那中至少有一個(gè)元素不在A中,由于中沒(méi)有元素,也就是沒(méi)有的元素不屬于A了,從而得到的每個(gè)元素都屬于A,即是A的子集.

    三說(shuō)空集的符號(hào)

    我們用一個(gè)特定的符號(hào)來(lái)表示空集,這可要區(qū)別于{}、{0}、{空集}等符號(hào).一般地,{}不是一個(gè)空集,它表示一個(gè)集合構(gòu)成的集合;{0}不是一個(gè)空集,它表示一個(gè)數(shù)0的集合;{空集}也不是一個(gè)空集,它表示一句話“空集”的集合.表示空集的形式可以是數(shù)集的形式,也可以是點(diǎn)集的形式,也可以其它形式的集合給出,但本質(zhì)都是空集.任何兩個(gè)以不同特點(diǎn)形式給出的空集應(yīng)認(rèn)為是相等的.例如{x∈R|x2+1<0}={(x,y)|x2+y2+1<0}=.

    例1 你認(rèn)為下面兩個(gè)集合有可能相等嗎?若有可能請(qǐng)給出理由,并求實(shí)數(shù)a的值:

    A={x|ax+1<0}, B={(x,y)|x2+y2<0}.

    分析 集合A是以數(shù)集的形式給出,集合B是以點(diǎn)集的形式給出,一般情況下它們是不可能相等的,只當(dāng)這兩個(gè)都是空集的情況下才能相等.觀察到集合B是空集,所以當(dāng)A=時(shí)才成立.容易知道當(dāng)a=0時(shí),A=B=.

    例2 用符號(hào)“=、、”填空:

    (1){x|x+1=x-1}______{};

    (2){x∈R|x2+1=0}______

    {(x,y)|x2+y2+2<0};

    (3)______{};

    (4)______{{1},{2},{1,2},}.

    解 (1)因?yàn)閧x|x+1=x-1}為空集,{}不是空集,所以應(yīng)填.

    (2)因?yàn)閧x∈R|x2+1=0}是空集,{(x,y)|x2+y2+2<0}也是空集,所以應(yīng)填=.

    (3)因?yàn)閧}不是空集,所以應(yīng)填.

    (4)因?yàn)閧{1},{2},{1,2},}不是空集,所以應(yīng)填.

    注 若填上去的符號(hào)沒(méi)有限制,在第(3)、(4)題中,把看作一個(gè)元素,則還可以填符號(hào)∈.

    二、“道四”:道一道在解決問(wèn)題時(shí)要考慮到“空集”這個(gè)因素的四個(gè)方面

    1.在要你寫(xiě)出某個(gè)集合的子集或要你求出某個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)時(shí)不要漏掉空集.

    例3 (1)設(shè)集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則滿足C(A∩B)的集合C的個(gè)數(shù)是( ).

    A.0 B.1 C.2 D.3

    (2)設(shè)集合A={直線},B={圓},設(shè)C=A∩B,則集合C的子集個(gè)數(shù)是( ).

    A.0 B.1 C.2 D.4

    解 (1)解方程組4x+y=6,

    3x+2y=7x=1,

    y=2.所以C=或C={(1,2)}.故選C.

    (2) 因?yàn)锳∩B=,所以C=, 故選B.

    2.當(dāng)碰到“AB”這個(gè)符號(hào)時(shí),要考慮到A有可能是.

    例4 已知集合A={0,1},B={x|xA},則下列關(guān)于集合A與B關(guān)系正確的是( ).

    A.AB B.AB C.BA D.A∈B

    解 因?yàn)閤A,所以B={,{0},{1},{0,1}}.則集合A={0,1}是集合B中的元素,所以A∈B,故選D.

    3.當(dāng)碰到“A∪B=B”這個(gè)符號(hào)時(shí),要考慮到A有可能是.

    例5 設(shè)A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.

    (1)若a=15,試判定集合A與B的關(guān)系;

    (2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a組成的集合C.

    解 (1)由x2-8x+15=0,得x=3或x=5,所以A={3,5}.當(dāng)a=15時(shí),由ax-1=0,得x=5,所以B={5},所以BA.

    (2)因?yàn)锳={3,5},又A∪B=A,所以分二種情況:①若B=,則方程ax-1=0無(wú)解,有a=0;②若B≠,則a≠0,由ax-1=0,得x=1a,所以1a=3或5,即a=13 或15.故C={0,13,15}.

    4.當(dāng)碰到“A∩B=A”這個(gè)符號(hào)時(shí),要考慮到A有可能是.

    例6 已知A={x∈R|x2-2x-8<0},B={x∈R|x2+2x-3>0},集合C為C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}.試求實(shí)數(shù)a的取值范圍使得(A∩B)∩C=C.

    解 ∵A={x∈R|x2-2x-8<0}={x|-21},

    ∴A∩B={x|1

    ∵(A∩B)∩C=C,

    ∴分二種情況:①若C=,∵集合C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}={x|(x-a)(x-2a)<0},

    ∴a=0;②若C≠,設(shè)f(x)=x2-3ax+2a2,

    ∵(A∩B)∩C=C,

    ∴C{x|1

    ∴可由二次函數(shù)圖象得:f(1)≥0,

    f(4)≥0,即1-3a+2a2≥0,

    16-12a+2a2≥0,

    解得1≤a≤2.綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2或a=0.

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