公理是什么

張景中

從前，公理被認為是自明之理，自明之理是從哪里來的呢？唯心論者認為來自人的先天洞察、上帝給人的啟示、人對理念的認識等，唯物論者認為來自人對客觀世界規(guī)律性的認識，二元論者認為來自人通過先天感知能力對經(jīng)驗的總結(jié)，雖眾說紛紜，但有一點是共同的：公理是真理，數(shù)學(xué)家總是受各種各樣哲學(xué)觀點支配的，故數(shù)學(xué)家也傾向于認為公理應(yīng)當(dāng)是自明之理，是真理。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家的看法變了，他們認為沒有什么自明之理，即使有，也不必要求數(shù)學(xué)公理是真理，數(shù)學(xué)公理是對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的約定，什么是直線？直線就是滿足某公理的某種東西，滿足歐幾里得公理，叫歐氏直線；滿足羅巴切夫斯基公理，叫羅氏直線：等等。

討論公理對不對，這對數(shù)學(xué)家來說是沒有意義的，數(shù)學(xué)家只這樣說：如果某一些對象適合于這些公理，它們一定也適合于從這些公理推出的定理，從這個意義上說，數(shù)學(xué)公理總是對的，就如同中國象棋中“單車難破士象全”總是對的一樣，它依賴于下中國象棋的規(guī)則，

但也不是隨便幾條湊起來便可以作為公理，首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的東西，這叫作公理的相容性或協(xié)調(diào)性，其次，講究節(jié)約，任一種公理不應(yīng)當(dāng)能從別的公理推出來，能推出來，就作為定理算了，何必算作公理呢？這叫作公理的獨立性，還有一條叫完全性，就是在這個系統(tǒng)中，一切命題的真假都是可以確定的，不過，一般說來，有了前兩條，也就可以了，甚至，有人認為獨立性也不重要，最重要的是相容性，

對公理看法的進步，大大解放了數(shù)學(xué)家的思維，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中各種公理層出不窮，誰也不說準(zhǔn)的公理不對，不過，有些公理很有用，很受歡迎，有些公理沒什么用，“束之高閣，并不實行”，建立之后漸漸被人們忘了，甚至沒有人注意它們，

數(shù)學(xué)家也是人，也要吃飯、穿衣，他們自然希望自己的研究于人類有用，盡管他們在邏輯上有建立任何能自圓其說的公理的權(quán)力，但他們總還會想到“有什么用”的問題，這樣，實際上被數(shù)學(xué)家重視的公理，總是在一定程度上反映了人們在社會實踐中的經(jīng)驗，或代表了人類向某一未知領(lǐng)域探索的愿望，從這個意義上說，公理也就不完全是人們?nèi)我獾募s定了。