關(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記

杜國平

(中國社會科學院 哲學研究所， 北京 100732)

張清宇先生從1995年開始發(fā)表文章，闡述其在形式語言中只用括號、不用聯(lián)結(jié)詞的基本思想，并構(gòu)建了一系列邏輯系統(tǒng)。本文擬對先生的這一開創(chuàng)性工作做一些闡發(fā)，并對相關(guān)研究工作做進一步推進。張清宇先生已經(jīng)離開8年了，但授課之狀仍歷歷在目，謹以此文緬懷先師。

一、括號表示法

一個邏輯系統(tǒng)的形式語言基本上包括三類符號：變元符號、常元符號和結(jié)構(gòu)符號。變元符號一般指的是在給定論域中表示不確定對象的符號，如命題變元p、q、r等等，個體變元x、y、z等；常元符號指的是在給定論域中表示確定對象的符號，如命題常元符號T，真值聯(lián)結(jié)詞符號﹁ 、∧等；結(jié)構(gòu)性符號指的是確定符號之間的間隔、結(jié)合和順序關(guān)系的符號，它發(fā)揮確定符號的結(jié)合順序、運算層次和排除歧義的功能，如逗號、左右括號等。在一般的邏輯系統(tǒng)中，三類符號各司其職，協(xié)同發(fā)揮著描述所研究對象的功能。

張清宇先生則創(chuàng)造性地建立了一套新的符號系統(tǒng)，這套符號系統(tǒng)只使用括號而不使用命題聯(lián)結(jié)詞和量詞，使括號既表達特定聯(lián)結(jié)詞的邏輯功能又發(fā)揮括號本身的結(jié)構(gòu)性功能。在文獻[2]中，其技術(shù)處理的核心要旨是使用命題常項“t”和括號“( )”發(fā)揮命題聯(lián)結(jié)詞的作用?！?AB)”相當于“A∧(﹁B)”，即對于一個真值賦值v，v(t)=1；v((AB))=1當且僅當，v(A)=1且v(B)=0。在文獻[3]和[4]中，使用命題常項“T”和括號“( )”發(fā)揮命題聯(lián)結(jié)詞的作用，并擴展為使用括號“( )”進一步發(fā)揮量詞的作用?！?AxB)”相對于“?x(A∧﹁B)”，即，給定一個模型U=(D,I)和U的一個指派α，TI,α=1；(AB)I,α=1當且僅當，AI,α=1且1I,α=0；(AxB)I,α=1當且僅當，對α的某個x-變異1，(AB)I,β=1。其他聯(lián)結(jié)詞均可以通過定義而引入，如：

A∧B=def(A(TB))

A∨B=def(T((TA)B))

A→B=def(T(AB))

?xA=def(Tx(TA))

?xA=def(T(TxA))[4]25-68

這樣，括號一方面發(fā)揮了結(jié)構(gòu)性功能，另一方面也可同時表達命題聯(lián)結(jié)詞和量詞的功能。準確、簡潔，完全可以媲美波蘭表示法！

在此，需要澄清一個問題，“不用聯(lián)結(jié)詞”指的是在形式語言中沒有直接使用常用的命題聯(lián)結(jié)詞符號，并非指的是在形式語言中語義上完全沒有表達聯(lián)結(jié)詞功能的符號。今后，我們將把在形式語言中不用聯(lián)結(jié)詞而只使用括號的邏輯符號表示法統(tǒng)稱為括號表示法，以區(qū)別并比照于波蘭表示法。

一個符號往往承載著不同的功能，如符號C通常作為一個英文大寫字母，但是在波蘭表示法中，它具體的語義功能是表示命題聯(lián)結(jié)詞的“蘊涵”。因此，形式語言中的符號至少存在著兩個功能：一是在語法層面上的語形功能，一個是在解釋層面上的語義功能。在波蘭表示法中，符號N、A、K、C等一方面在語形上是命題之間的連接符號，另一方面在語義功能上承載著真值函數(shù)運算功能和結(jié)合的次序功能。同樣，在括號表示法中，括號作為一個技術(shù)性符號，它語形上呈現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)性功能，但是在語義上，它也同時承載著真值函數(shù)的運算功能和結(jié)合的次序功能。所以，無論是不用括號的盧卡西維茨的波蘭表示法還是只用括號的括號表示法，都僅僅指的是在語形上的呈現(xiàn)，而不是指它們在語義層面上沒有排除歧義等的結(jié)構(gòu)功能或表達邏輯運算的真值函數(shù)功能。所以，“不用聯(lián)結(jié)詞”僅僅指的是語形層面上的，而不是語義層面上的。在語義功能上，不論是波蘭表示法還是括號表示法，無疑都有承載真值函數(shù)功能的“聯(lián)結(jié)詞”。

機器識別的首先是語形層面上的形式語言，無論是波蘭表示法還是括號表示法均如此，因為其符號簡單、無歧義，便于機器的實現(xiàn)和識別，這是其獨特的應用價值。另外，探究符號的不同表達功能，可以進一步加深對符號形式處理技術(shù)的理解?？梢哉J為，波蘭表示法和括號表示法是邏輯符號表示法的兩個相互映襯的典范！

二、0元聯(lián)結(jié)詞

邏輯聯(lián)結(jié)詞在語形上的作用是作用于已有公式之上形成新的公式，如一元聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”作用于單個公式“p”之上可形成新公式“(﹁p)”，二元聯(lián)結(jié)詞“C”作用于兩個公式“p”“q”之上可形成新公式“Cpq”?！癟”作用于0個公式之上形成公式“T”，在此意義上，可將“T”視為0元聯(lián)結(jié)詞。從語義上看，在通常的語義解釋中，對于一個真值賦值v，v(﹁α)=1-v(α)，“﹁ ”是一個1元函數(shù)運算；v(α∧β)=min(v(α),v(β))，v(α∨β)=max(v(α),v(β))，v(α→β)=max((βαv(α)),v(β))，“∧”“∨”“→”均是一個2元函數(shù)運算。而v(T)=1，恰是一個0元函數(shù)運算。因此，“T”可看作一個0元聯(lián)結(jié)詞，這正如在一階語言中，將個體常項看成0元函數(shù)符號一樣[4]26。

但如果純粹從語形層面來看，“T”無疑是作為一個命題常項出現(xiàn)的。因此，在文獻[2][3]和[4]等的括號表示法中，說“不用聯(lián)結(jié)詞”是完全可以的。

三、獨立性

張清宇先生在文獻[2]建立的公理系統(tǒng)H中，可能是出于對括號的引入和消去的考慮，有形如t(A(t((tB)(AB))))、t((AB)A)和t((AB)(tB))等公理，這增強了公理系統(tǒng)的直觀性，也便于簡化系統(tǒng)內(nèi)定理的證明。但是，如果從公理系統(tǒng)的簡潔性方面去考慮，這些公理并非都是必須的。

下面，我們將證明公理系統(tǒng)H中的公理模式(也簡稱為公理)并非都是必須的，即公理系統(tǒng)H不具有獨立性。我們可以將公理系統(tǒng)H進行簡化，刪除其中的公理1、公理4和公理5，只保留其中的公理2、公理3、公理6等3條公理和推理規(guī)則t(E)，簡化后的公理系統(tǒng)簡記為QY。即公理系統(tǒng)QY包括如下公理(模式)和推理規(guī)則：

1. t(At(BA))

公理系統(tǒng)H之公理2

2. t((t(A(t(BC))))(t((t(AB))(t(BC)))))

公理系統(tǒng)H之公理3

3. t((t((tA)B))(t((t((tA)(tB)))A)))

公理系統(tǒng)H之公理6

推理規(guī)則即公理系統(tǒng)H之推理規(guī)則t(E)：由A和t(AB)可得出B。

可以證明公理系統(tǒng)H中的公理1、公理4和公理5都是系統(tǒng)QY的定理。

1. t((t(A(t((t(AA))A))))(t((t(A(t(AA))))(t(AA)))))

公理系統(tǒng)QY之公理2

2. t(A(t((t(AA))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

3. t((t(A(t(AA))))(t(AA)))

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t(A(t(AA)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

5. t(AA)

3、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

定理1即為公理系統(tǒng)H之公理1。在定理1的證明中，只用到了公理系統(tǒng)H的公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)。

在公理系統(tǒng)H中證明演繹定理時，只使用了公理系統(tǒng)H的公理1、公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)[2]。因為公理系統(tǒng)H的公理1可以由公理系統(tǒng)H的公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)被證明而作為系統(tǒng)QY的一個定理。因此，在系統(tǒng)QY中演繹定理顯然是成立的。所以，在下面的證明中，如果需要，我們將直接使用演繹定理。

1.A

hyp

2. (tB)

hyp

3. t(AB)

hyp

4.B

1、3，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

5. t((t(AB))B)

3～4，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

6. t((tB)(t((t(AB))(tB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

7. t((t(AB))(tB))

2、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t((t((t(AB))B))(t((t((t(AB))(tB)))(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理3

9. t((t((t(AB))(tB)))(AB))

5、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

10. (AB)

7、9，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

11. t((tB)(AB))

2～10，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

12. t(A(t((tB)(AB))))

1～11，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

定理2即為公理系統(tǒng)H之公理4。

1. t((t((tA)(tA)))(t((t((tA)(t(tA))))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理3

2. t((tA)(tA))

公理系統(tǒng)QY之定理1

3. t((t((tA)(t(tA))))A)

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t((t((t((tA)(t(tA))))A))(t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))))

公理1

5. t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))

3、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

6. t((t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A))))(t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))))

公理2

7. t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))

5、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t(((t(tA))(t((t()(t(tA)))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

9. t((t(tA))A)

7、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

此定理即為雙否消去律。

1. (AB)

hyp

2. (tA)

hyp

3.A

hyp

4. t((tA)(t((tB)(tA)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

5. t((tB)(tA)

2、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

6. t((A)(t((tB)A))

公理系統(tǒng)QY之公理1

7. t((tB)A)

3、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t((t((tB)A))(t((t((tB)(tA))B))

公理系統(tǒng)QY之公理3

9. t((t((tB)(tA))B)

7、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

10.B

5、9，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

11. t(AB)

3～10，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

12. t((tA)(t(AB)))

2～11，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

13. t((AB)(t((tA)(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

14. t((tA)(AB))

1、13，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

15. t((t((tA)(AB)))(t((t((tA)(t(AB))))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理3

16. t((t((tA)(t(AB))))A)

14、15，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

17.A

12、16，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

18. t((AB)A)

1～17，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

1. (AB)

hyp

2. t((AB)(t((t(tB))(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

3. t((t(tB))(AB))

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t(tB)

hyp

5.A

hyp

6. t((t(tB))B)

公理系統(tǒng)QY之定理3

7.B

4、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t(AB)

5～7，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

9. t((t(tB))(t(AB)))

4～8，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

10. t((t((t(tB))(AB)))(t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))))

公理系統(tǒng)QY之公理3

11. t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))

3、10，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

12. (tB)

9、11，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

13. t((AB)(tB))

1～12，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

定理4、定理5即為公理系統(tǒng)H之公理5。

對公理系統(tǒng)H的公理簡化之后得到的公理系統(tǒng)QY和通常的命題邏輯希爾伯特系統(tǒng)只存在一個差異。即推理規(guī)則的差異，一個是分離規(guī)則，一個是t(E)，而根據(jù)QY中“A→B”的定義，這兩者顯然是定價的。

這樣簡化后的公理系統(tǒng)QY就是一個和通常的命題邏輯希爾伯特型系統(tǒng)相等價的系統(tǒng)[5]16-29。因此，該系統(tǒng)具有可靠性和完全性。

四、純粹括號表示法

在文獻[3]和[4]中，張清宇先生構(gòu)建了不用聯(lián)結(jié)詞和量詞的一階邏輯公理系統(tǒng)QH。在通過定義引入聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”“?”和全稱量詞“?”之后，在QH中實際上包含了語形聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”“?”和全稱量詞“?”，并且其中除了括號“( )”之外，還包括方括號“[ ]”。我們可以將該系統(tǒng)使用括號表示法并使之純粹化，可以在公理系統(tǒng)QY(原有 3條公理)的基礎上增加如下公理(模式)和推理規(guī)則從而得到一階邏輯公理系統(tǒng)QQY：

4. T((T(Tx(T(AB(x)))))(T(A(T(TxB(x))))))，x不在A中出現(xiàn)

5. T((T(TxA(x)))A(m))，A(m)是由將A(x)中的x全部替換為m而得(m是個體常元)

可以證明，一階邏輯公理系統(tǒng)QQY和通常的一階謂詞邏輯系統(tǒng)等價[5]70-98，可參閱文獻[5]。因此，該系統(tǒng)同樣具有可靠性和完全性。

值得注意的是，在一階邏輯公理系統(tǒng)QQY中，括號既有結(jié)構(gòu)性功能，如“A(u)”中的括號；也有聯(lián)結(jié)詞功能，如“(AB)”中的括號；還有量詞功能，如“(AxB)”中的括號。