基于哲學邏輯的集合論研究

李 娜

(南開大學哲學院,天津300350)

基于哲學邏輯的集合論研究

李 娜

(南開大學哲學院,天津300350)

20世紀60年代之后,涌現(xiàn)出了嘗試以非經(jīng)典邏輯為基礎邏輯來拯救集合論的熱潮。在這一時期,誕生了模態(tài)集合論、弗協(xié)調(diào)集合論、直覺主義集合論等一些基于哲學邏輯的集合理論。模態(tài)邏輯是在經(jīng)典邏輯的基礎上增加模態(tài)算子形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經(jīng)典邏輯強的邏輯。模態(tài)集合論相對于公理化集合論是一種加強了基礎邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協(xié)調(diào)集合論也是一種改變了集合論的基礎邏輯,選擇了可以容納或處理矛盾的弗協(xié)調(diào)邏輯,這樣即使集合論中出現(xiàn)矛盾也不會使整個理論陷入不足道的困境。由于在直覺主義邏輯中排中律不成立,所以直覺主義邏輯是一種比經(jīng)典邏輯弱的邏輯。直覺主義集合論相對于ZF公理化集合論是一種減弱了基礎邏輯的公理化集合論。

哲學邏輯;集合論;模態(tài)集合論;弗協(xié)調(diào)集合論;直覺主義集合論

康托爾(Cantor)用概括原則和外延原則建立了樸素集合論,康托爾樸素集合論(以下簡稱集合論)的建立給數(shù)學帶來了新的生機,它產(chǎn)生了與經(jīng)典數(shù)學完全不同的現(xiàn)代數(shù)學的兩個領域:元數(shù)學和結構數(shù)學,它們構成了現(xiàn)代數(shù)學研究的主要內(nèi)容。遺憾的是,集合論存在矛盾,其中最著名的是20世紀初羅素(Russell)在集合論中發(fā)現(xiàn)的一個矛盾,這個矛盾被后人稱作羅素悖論。羅素悖論的出現(xiàn)引起了眾多數(shù)學家的震驚,并由此引發(fā)了第三次數(shù)學危機。當時,人們圍繞“集合到底是什么”進行了大量爭論。要拯救康托爾的樸素集合論,就要消除悖論,為此人們提出了許多方案和方法,其中較早也是最有效的方法是1908年策梅洛(Zermelo)采用希爾伯特(Hilbert)的公理化方法限制康托爾集合論中的概括原則來回避悖論。他把集合論變成一個完全抽象的公理化理論。在這樣的理論中,“集合”是一個不定義的概念,它的性質(zhì)由公理來刻畫。該理論后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)和斯科倫(Skolem)等人的改進,現(xiàn)在被人們稱為ZF公理化集合論。ZF公理化集合論是在帶等詞“＝”和屬于關系“∈”的經(jīng)典邏輯基礎之上,加上關于集合基本性質(zhì)的非邏輯公理形成的形式系統(tǒng)。它的非邏輯公理包括:外延公理、空集存在公理、無序對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮公理、替換公理、良基公理(又稱正則公理或基礎公理)。如果再加上選擇公理AC,就得到ZFC。因此,ZF公理化集合論可以簡單地看作是在經(jīng)典邏輯的基礎上增加非邏輯公理的一種公理化集合論。

然而,哲學邏輯是各種非經(jīng)典邏輯分支的統(tǒng)稱,它們一般是以經(jīng)典邏輯為基礎,與傳統(tǒng)哲學中的概念、范疇和問題有直接或間接的聯(lián)系。它們大都在20世紀60年代以后逐漸成熟,其中,模態(tài)邏輯、直覺主義邏輯和弗協(xié)調(diào)邏輯等是非經(jīng)典邏輯中研究歷史較長,相對來說也比較成熟的非經(jīng)典邏輯分支。因此,20世紀60年代之后,許多學者提出:在非經(jīng)典邏輯的框架中,集合論是否協(xié)調(diào)?非經(jīng)典邏輯是否能夠拯救集合論?集合論中概括原則的不一致性還有哪些解決的方法和方案?于是,涌現(xiàn)出了嘗試以非經(jīng)典邏輯為基礎邏輯來拯救集合論的熱潮。在這一時期,誕生了模態(tài)集合論、弗協(xié)調(diào)集合論、直覺主義集合論等一些基于哲學邏輯的集合理論。

在ZF集合論中,子集公理是對集合論中概括原則的一種限制,從而也排除了集合論中出現(xiàn)的羅素悖論。模態(tài)邏輯是在經(jīng)典邏輯的基礎上增加模態(tài)算子“◇”(稱作菱形)形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經(jīng)典邏輯強的邏輯。模態(tài)集合論相對于公理化集合論是一種加強了基礎邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協(xié)調(diào)集合論也是一種改變了集合論的基礎邏輯,選擇了可以容納或處理矛盾的弗協(xié)調(diào)邏輯,這樣即使集合論中出現(xiàn)矛盾也不會使整個理論陷入不足道的困境。雖然公理化集合論消解了悖論,但改變了康托爾最初的假定,而弗協(xié)調(diào)集合論則保留了康托爾集合論中的兩個原則。由于在直覺主義邏輯中排中律不成立,所以直覺主義邏輯是一種比經(jīng)典邏輯弱的邏輯。直覺主義集合論相對于ZF公理化集合論是一種減弱了基礎邏輯的公理化集合論。

基于模態(tài)邏輯的模態(tài)集合論的產(chǎn)生,是以1967年Fitch在《符號邏輯雜志》(The Journal of Symbolic Logic)上發(fā)表的《一個完全的和一致的模態(tài)集合論》為標志,文中給出了一個完全并且一致的模態(tài)集合論。此后,還產(chǎn)生了模態(tài)策梅洛-弗蘭克爾集合論MZF等。模態(tài)集合論最初的研究方法是用模態(tài)詞直接限定集合論中的概括原則。目前,在模態(tài)集合論的研究中,既可以直接對集合論的概括原則做修改,也可以在成熟的公理化集合論上做模態(tài)化的工作。用模態(tài)化的方法研究集合論的成果較多,如1967年Fitch的工作,1980年Kit Fine的工作,1989年Jan Krajicek的工作。2010年以后采用了雙模態(tài)語言和多元邏輯來研究集合論。

基于弗協(xié)調(diào)邏輯C＝n(1≤n≤ω)的弗協(xié)調(diào)集合論的產(chǎn)生,是以1963年Da Costa在《系統(tǒng)的形式不協(xié)調(diào)(理論)》中構造出的弗協(xié)調(diào)集合論系統(tǒng)為標志。1982年,Arruda和Batens構造了帶羅素集R的弗協(xié)調(diào)集合論系統(tǒng),并證明了∪R在所有帶羅素集(即{x∶x?x})的強弗協(xié)調(diào)集合論中是全集。1985年,Arruda以蒯因(Quine)的集合論NF為基礎,證明了∪∪R在任一帶羅素集R的弗協(xié)調(diào)集合論中都是全集,羅素集的存在與分離公理、替換公理模式是不相容的。1986年Da Costa構造弗協(xié)調(diào)集合論NFi(0≤i≤ω),并證明如果NF0是協(xié)調(diào)的并且所有的羅素關系(如{＜x1,x2＞∶＜x1,x2＞?x1}和{＜x1,x2＞∶＜x1,x2＞?x2})存在,那么得到的系統(tǒng)既是一致的,又是足道的。1997年,Caiero和Souza基于蒯因的ML系統(tǒng)和弗協(xié)調(diào)演算C＝1,構造了一個弗協(xié)調(diào)集合論系統(tǒng)ML1。他們認為,經(jīng)典集合論不能證明全集的存在,但全集可以從ML1的公理中推導出來,并且整個理論不會陷入不足道。2013年,Weber重新刻畫了外延原則和集合存在原則,以此構造的弗協(xié)調(diào)集合論能夠容納羅素集和全集。

基于直覺主義邏輯的直覺主義集合論的產(chǎn)生,是以20世紀70年代Friedman研究的直覺主義的策梅洛-弗蘭克爾集合論IZF為標志。1973年,Friedman系統(tǒng)研究了各種直覺主義系統(tǒng)的形式性質(zhì),并將克林(Kleene)的可實現(xiàn)性解釋擴展到這些系統(tǒng)中。同一年,Friedman在ZF公理化集合論的基礎上,通過修正與直覺主義不相容的公理,給出了一個直覺主義的策梅洛-弗蘭克爾集合論版本IZF,并且在這篇文章中證明了IZF集合論與ZF公理化集合論有相同的證明論強度。同年,Myhill定義了一種可實現(xiàn)性解釋,并且證明了用替換公理代替收集公理的直覺主義策梅洛-弗蘭克爾集合論具有析取性質(zhì)、數(shù)字存在性質(zhì)等。近幾年來,Vladimirov系統(tǒng)研究了帶有收集模式的直覺主義集合論ZFI2C的各種有效性質(zhì)。Ray Ming Chen和Michael Rathjen將Lifschitz構造的可實現(xiàn)性擴展到了完整的直覺主義策梅洛-弗蘭克爾集合論IZF中,并且利用這一解釋在直覺主義集合論中將帶有唯一性條件的丘奇(Church)論題和它的一般形式區(qū)分開來,同時還得到了一些有趣的推論。Khakhanyan利用擴展到集合論層面的克林的遞歸可實現(xiàn)性,系統(tǒng)研究了丘奇論題和一致性原則之間的關系。

基于哲學邏輯的集合論研究屬于較新的研究領域,而且國外最近幾年有許多學者投入到這一領域中,并在《符號邏輯雜志》等國際邏輯學刊物上發(fā)表了多篇論文,一些學者甚至還就相關問題產(chǎn)生了激辯和爭論。反觀國內(nèi),基于哲學邏輯的集合論研究這一領域還是一片空白。我們要學習和理解國外這些先進的研究成果,緊跟國際邏輯學、哲學和數(shù)學研究的前沿和潮流,吸收、梳理基于哲學邏輯的集合論研究成果,并將這些新的成果引進到國內(nèi)。這對于開拓我們的視野,掌握國外先進的研究方法和思維方式,甚至進一步開展該領域新的研究,都具有十分重要的意義。

10.3785/j.issn.1008-942X.CN33-6000/C.2016.04.261

2016-04-26[本刊網(wǎng)址·在線雜志]http://www.journals.zju.edu.cn/soc

[在線優(yōu)先出版日期]2016-07-31[網(wǎng)絡連續(xù)型出版物號]CN33-6000/C

李娜(http://orcid.org/0000-0003-4325-584X),女,南開大學哲學院教授,博士生導師,主要從事現(xiàn)代邏輯研究。