真謂詞的不可定義性問題的根源

周志榮

塔斯基（A.Tarski）針對無窮階的普遍類理論語言（LGTC）和一階皮亞諾算術(shù)語言（LPA）提出了真謂詞的不可定義性定理（以下簡稱為“塔斯基定理”，參見文獻[13]第五節(jié)）。由于該定理的證明使用了對角線引理構(gòu)造了說謊者悖論（即?Tr(λ)?λ），人們通常認為真謂詞的不可定義性問題根源于悖論，進而根源于這兩種語言的語義封閉性。詹金斯（C.S.Jenkins）和諾蘭（D.Nolan）反駁說，我們可以構(gòu)造一種不具有語義封閉性但同樣包含悖論的語言，其中悖論的產(chǎn)生并沒有借助語義概念。（[6]）雖然語義封閉性并不總是構(gòu)成一種語言的真謂詞的不可定義性的必要條件，但自指性或更一般的循環(huán)性通常仍被看作造成麻煩的根源。（[5]，第136 頁）近來，夏皮羅（S.Shapiro）也指出塔斯基定理真正要表明的是：不存在一種具備充分表達力的語言可以包含這樣等式并且“Φ”僅僅刻畫了該語言的所有真語句的集合。（[10]，第1198–1199 頁）塔斯基定理的基于悖論的證明方式似乎表明悖論乃至語言的循環(huán)性是導(dǎo)致真謂詞不可定義的根源。如果LGTC的真謂詞的不可定義性根源于悖論，那么塔斯基在[13]的前四節(jié)中關(guān)于真之定義要求以及有窮階語言的真謂詞定義的構(gòu)造方法就與后文毫無關(guān)聯(lián)。事實并非如此，悖論只是真謂詞的不可定義性的直接原因，而非真正根源。為論證這一點，本文首先要回顧塔斯基對構(gòu)造一種恰當(dāng)?shù)恼嬷x提出的理論要求，闡述其蘊涵的一些重要原則。然后，結(jié)合LGTC和LPA這兩種循環(huán)性的悖論語言以及一種非循環(huán)的悖論語言，分析導(dǎo)致其真謂詞的不可定義性與這些原則之間的關(guān)系；最后，通過考察兩種非悖論性的語言的真謂詞的定義問題，進一步指出一種語言的真謂詞的不可定義性問題的真正根源。

1 塔斯基的真之定義理論

為了構(gòu)造出“恰當(dāng)?shù)摹被颉傲钊藵M意”真之定義，塔斯基提出并確立了兩個標準（[13]，第187–188 頁；[12]，第341 頁）：形式的正確性與實質(zhì)的恰當(dāng)性。滿足第一個標準就是要求對于對象語言L的每個語句，這種定義必須蘊涵一個形如“S在L中是真的，當(dāng)且僅當(dāng)P”的T-語句；滿足第二個標準就是要求：在具體的T-語句中，等式左邊的“S”必須被L中的（直陳性）語句在其元語言ML中的名字所替換，而右邊的“P”必須被該語句在ML中的翻譯所替換（這兩個要求合起來被稱為T-約定）。綜合這兩個條件，對于L的真謂詞的一種定義是恰當(dāng)?shù)?，?dāng)且僅當(dāng)針對L的每個語句φ，在ML中都有相應(yīng)的T-語句作為該定義的后承，其中等式左邊的語法主語是φ的名字，右邊是它在ML中的翻譯。這兩個要求首先蘊涵了這樣一條原則：

語言分層原則 必須在元語言和對象語言之間做出嚴格區(qū)分，對象語言的真謂詞的定義必須在元語言中被給出。（[13]，第167 頁；[12]，第350 頁）

根據(jù)塔斯基的真之定義理論，構(gòu)造對象語言L的一種令人滿足的真之定義，包含以下三步，即對L中的每個語句φ，在元語言ML中：(1)給出它的名字φ；(2)給出它的翻譯(3)確定相應(yīng)的T-語句?？紤]到量化語言，定義真謂詞需要借助“一個對象序列l(wèi)滿足一個（開）公式”這個概念。而對后者的定義同樣依賴于給出對象語言L的所有公式的名字及其翻譯，在此基礎(chǔ)上確定相應(yīng)的滿足語句（即S-語句）。因此，對于對象語言的每個公式，滿足概念的定義都要蘊涵如下形式的等式：對象序列l(wèi)滿足一個公式當(dāng)且僅當(dāng)φ(ln)，其中l(wèi)n是對象序列l(wèi)的第n個元素。

如果對象語言包含在元語言中，翻譯的工作實際上可以免除。1在[13]中，塔斯基并沒有嚴格區(qū)分“實質(zhì)的恰當(dāng)性”和“形式的正確性”這兩個標準。在[12]中，塔斯基才做出了區(qū)分?！皩嵸|(zhì)的恰當(dāng)性”要求目的在于確保定義能夠把握住真概念的實際意義，而“形式的正確性”標準目的在于確保一種語言的真之定義能夠蘊涵針對其所有語句的T-語句，因而這要求構(gòu)造真之定義時必須“能夠描述出該語言的形式結(jié)構(gòu)”。（[12]，第341–342 頁）尤其對于形式語言的真謂詞的構(gòu)造而言，“實質(zhì)的恰當(dāng)性”標準顯得并不那么重要。恰恰是因為存在“形式的正確性”標準，元語言需要刻畫出對象語言的形式結(jié)構(gòu)，因而才需要滿足后文所述的組合性原則和本質(zhì)上的豐富性原則。于是，“形式的正確性”標準就顯得尤為重要，它要求對對象語言的形式結(jié)構(gòu)進行刻畫。其中最關(guān)鍵的工作就是給出所有公式的名字，即在元語言中定義“L的公式”概念。定義“L的公式”概念通常是依次通過給定對象語言的所有常項和變元、定義“項”、“初始公式”、“復(fù)合公式”等概念來實現(xiàn)的。這個工作是否能完成，取決于對象語言的復(fù)雜度，確切地說，取決于對象語言的語句在結(jié)構(gòu)上是否滿足遞歸定義的要求。因此不難看出：對象語言L的滿足概念（進而真概念）是可定義的，僅當(dāng)“L的公式”概念在元語言ML中是遞歸可定義的。塔斯基非常強調(diào)這種遞歸定義的結(jié)構(gòu)描述性特征。正如葛瑞·雷（G.Ray）評價的那樣：塔斯基在應(yīng)對悖論和語義模糊性等問題時“選擇只考慮帶有他稱之為得到確切說明的結(jié)構(gòu)的語言。這將保證所考察的語言擁有得到良好定義的初始詞匯和語法并且這將有助于確保針對那種語言存在一個得到良好定義的T-語句集”。（[9]，第168 頁）換言之，對于真謂詞的定義必須體現(xiàn)語義的組合性原則：

組合性原則“只有針對其自身結(jié)構(gòu)已得到準確確定的語言，真之定義問題才能獲得其確切的意義并且得到嚴格的解決”。（[12]，第347 頁）

“語言具有準確的結(jié)構(gòu)”意味著該語言在語法和語義上具有組合性特征。語句的語義值的確定依賴于作為其構(gòu)成部分的子句或公式以及初始符號的語義值。語義的組合性又取決于公式以及語句的形成規(guī)則是否具有語法上的組合性特征2霍奇斯（W.Hodges）認為遞歸性并不是正確的真之定義的本質(zhì)特征，只不過遞歸的方法更具實用性，塔斯基真之定義的真正核心是組合性原則。（[3]，第105 頁）。根據(jù)組合性原則的要求，如果“L-項”無法定義，那么“L的語句”就無法定義，進而在元語言中就無法基于語義的組合性給出L的真謂詞定義。這對于包含有窮多語句的對象語言來說并不構(gòu)成實質(zhì)的困難，因為可以采取列舉法通過列出它的所有語句的T-語句來構(gòu)造真之定義，但對于包含無窮多語句的語言，組合性原則就具有關(guān)鍵性的作用。

按照塔斯基的分析，當(dāng)對象語言L為有窮階語言時，構(gòu)造相應(yīng)的元語言且在其中定義“L的公式”并非是難事，尤其可以通過對L添加一般的邏輯表達式和語言形態(tài)學(xué)的詞項（即對象語言表達式及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的名字）進行直接擴張得到元語言。當(dāng)考慮無窮階語言（例如LGTC）時，困難就出現(xiàn)了。這類語言包含了無窮多語義類型的變元3由于塔斯基考察的對象語言通常只包含變元、不包含名字，所以這里他只討論了變元有無窮多語義類型的問題。如果考慮包含名字的對象語言，則同樣會出現(xiàn)無窮多語義類型的名字。，這直接導(dǎo)致：“使用類似的遞歸的方法來定義公式自然被證明是不適用的”，因此，這對定義滿足概念和真概念構(gòu)成了“本質(zhì)性的困難”（[13]，第245 頁）。理解這個結(jié)果并不難：由于LGTC包含了無窮多語義類型的變元（或名字），我們實際上首先遭遇的問題就是無法定義“LGTC-項”，因為不存在比LGTC本質(zhì)上更豐富的無窮階語言使得LGTC的每個項都有一個名字；其次，問題就是無法定義初始公式，因為我們無法以有窮的方式描述無窮多類型的變元（或名字）的無窮多種組合及其與相應(yīng)的謂詞符號的結(jié)合。這些基本問題無法解決，那么就不可能構(gòu)造出符合塔斯基的形式正確性要求的真之定義。為此，塔斯基不得不提出另外一條更為重要原則：

“本質(zhì)上的豐富性”原則“元語言必須足夠豐富以便為構(gòu)造對象語言中的每個語句的名字提供可能”，即元語言必須要比對象語言“本質(zhì)上更為豐富”。（[12]，第350–352 頁）4謝爾（G.Sher）將形式正確性要求分析為三個條件：(a)被定義的真謂詞是對象語言的真謂詞，(b)真之定義是在元語言中給出的，元語言本質(zhì)上要豐富于對象語言，(c)元語言必須是形式上嚴格的和一致的。（[11]，第151頁）可見，謝爾是將“本質(zhì)豐富性”原則看作是包含在形式正確性條件中的一個子條件。

“本質(zhì)上的豐富性”原則在塔斯基的真之定義理論大概是最重要的一條原則。塔斯基自己認為，真之定義問題的答案是肯定的還是否定的，“尤其取決于元語言就其邏輯部分而言較之對象語言是否‘本質(zhì)上更為豐富’”。（[12]，第351 頁）他還指出：“元語言的‘本質(zhì)上的豐富性’條件不僅是構(gòu)造令人滿意的真之定義的必要條件，也是其充分條件?！保╗12]，第352 頁）如果對象語言與元語言是同一種語言，那么本質(zhì)上的豐富性原則就難以遵循。反過來，要遵循本質(zhì)上的豐富性原則，僅僅對對象語言和元語言有所區(qū)別是不夠的，還要求元語言必須能夠提供足夠多的以及足夠高階的范疇以便滿足刻畫對象語言的語義組合性特征的需求。比如，我們當(dāng)然可以假設(shè)LGTC就像LPA一樣具有充分的表達力，從而能夠為自己的語句提供名字。如果要以LGTC作為其自己的元語言，即在LGTC中定義它自己的真謂詞，就一定會出現(xiàn)矛盾。塔斯基對于這個矛盾的證明借助了說謊者悖論。這難免誘使人們認為LGTC的真謂詞的不可定義性問題是由自指性或循環(huán)性的悖論造成的，甚至人們還將問題歸咎于這種語言的語義封閉性。實際上這些觀點掩蓋了塔斯基定理具有的普遍意義，即掩蓋了造成一種語言（比如LGTC）的真謂詞的不可定義性問題的真正根源。接下來，本文將分別考察循環(huán)性悖論語言和非循環(huán)的無根性悖論語言的真謂詞的不可定義性問題，試圖指出問題的真正根源在于元語言不夠豐富，因而無法定義相應(yīng)的對象語言的“項”和“語句”，并且這個觀點同樣可以擴展到非悖論性的循環(huán)性或無根性語言。

2 塔斯基定理與循環(huán)性悖論

在[13]一文的第五節(jié)，塔斯基討論了無窮階語言的真謂詞的定義問題，他考察了作為范例的普遍類理論語言LGTC，并最終證明這種語言的真謂詞是不可定義的，而他的否定性回答就包含在塔斯基定理之中。塔斯基定理由兩個部分構(gòu)成（[13]，第247 頁）：

(α) 不管以何種方式在元理論中定義了指示一個表達式類的符號“Tr”，由此將可能推導(dǎo)出在T-約定的條件(α)中所描述的一個語句的否定；(β) 假設(shè)元理論的所有可證語句的類是一致的，基于這樣的元理論不可能構(gòu)造

T-約定涵義上的一種恰當(dāng)?shù)恼嬷x。

這里的“元理論”指的是普遍類理論語言的元理論，以下用GTC+來表示，并用LGTC+表示相應(yīng)的元語言。如果(α)成立，我們很容易推出GTC+包含矛盾，因而它不是一致的，于是(β)顯然成立，因為其前件為假。所以證明(α)是整個不可定義性定理證明過程的關(guān)鍵，不過這個證明并不復(fù)雜。

由于LGTC這種語言類似于LPA（按照塔斯基的觀點，它們之間可以建立一一對應(yīng)），借助哥德爾配數(shù)法，它的元語言LGTC+能夠在該對象語言中得到定義，換言之，LGTC=LGTC+。由于該語言能夠定義為算術(shù)語言，顯然對角線引理就是成立的：令Φ(x)是該語言中任意僅包含自由變元x的公式，則存在它的一個公式γ使得：GTC+?γ ?Φ(γ)（其中γ是γ的哥德爾數(shù)）?，F(xiàn)在，假設(shè)LGTC的真謂詞“Tr”已經(jīng)在LGTC+中得到定義，即對任意LGTC的公式γ都有：GTC+?γ ?Tr(γ)。再根據(jù)對角線引理很容易推出：存在公式λ（即說謊者語句）使得GTC+?λ ?Tr(λ)，進而可以推出：GTC+??(λ ?Tr(λ))于是(α)得證。由此不難導(dǎo)出矛盾：GTC+?ψ ∧?ψ（其中ψ為λ ?Tr(λ)）。于是(β)得證。

嚴格來說，(β)足以表達LGTC的真謂詞的不可定義性，(α)看似是多余的。塔斯基在這里之所以要明確闡述(α)，目的是要指出達到該定理的方式：他可以不使用任何未經(jīng)定義的語義概念，僅憑對角線引理，即可證明該定理。（[2]，第32頁）由對角線引理可知，對LGTC+（=LGTC）中可表達的任意謂詞Φ 而言，都有存在一個公式γ，使得GTC+?γ ??Φ(γ)，這意味著任意謂詞Φ 與LGTC的真謂詞都不具有相同的外延，因而LGTC的真謂詞在它自身中是不可表達的。很明顯，對LGTC的算術(shù)化以及對角線引理在塔斯基定理的證明中起著關(guān)鍵性的作用。正是這一點使人們通常將“塔斯基定理”等同于“LPA的真謂詞的不可定義性”定理。對角線函數(shù)的引入以及對角線引理的使用使得LGTC具有了自指能力，進而使得循環(huán)性悖論的構(gòu)造成為可能。

在塔斯基看來，LGTC與LPA這兩種語言極為相似，因為它們都具有足夠的表達力從而可作為自己的元語言。它們的真謂詞的不可定義性似乎最終都歸咎于我們試圖在一個語言自身中來定義它的真謂詞。因為如果我們真的這么做，勢必會造成語言的自指性，進而導(dǎo)致說謊者悖論或類似的矛盾。以類似的證明方式，不難得到以下這兩個推論（（[8]，第205 頁））：

(1) 令LTr為在LPA中添加真謂詞“Tr”之后得到的擴張語言，LTr的真謂詞在其自身中不可定義。（[4]，第38 頁）

(2) 令PA+為PA 的任意一致性擴張，LPA+的真謂詞在其自身中不可定義。

這些結(jié)果很容易讓我們產(chǎn)生這樣的看法：自指性或循環(huán)性是導(dǎo)致悖論的罪魁禍首，進而也是造成LGTC的真謂詞定義存在本質(zhì)性困難的根源。夏皮羅認為，塔斯基之所以強調(diào)LGTC或LPA要具有“充分的表達力”就是“為了確保自指性的機制是可使用的”。（[10]，第1199 頁）但是，為了避免一種語言因包含自己的真謂詞而產(chǎn)生語義悖論，塔斯基一開始就主張區(qū)分對象語言和元語言，并且強調(diào)元語言必須比對象語言本質(zhì)上更為豐富。根據(jù)他的語言分層原則和本質(zhì)上的豐富性原則，盡管LPA的真謂詞在它自身中不可定義，但可以在更為豐富的元語言中得到定義，例如可以以二階算術(shù)語言（甚至它的一個片段）作為其元語言。（[8]，第212 頁）這也是塔斯基定理所具有的普遍意義：塔斯基定理實際上恰恰斷定了，任何一種語言都不能在它自身中定義自己的真謂詞，這意味著要定義其真謂詞，必須要有本質(zhì)上更為豐富的元語言。（[1]，第147 頁）LPA與LGTC這兩種語言的區(qū)別就在于此，因為按照塔斯基的觀點，LGTC的真謂詞只有在超窮高階的元語言中才可定義，換言之，根本不存在比LGTC更為豐富的無窮階元語言使得該對象語言的真謂詞在其中能夠得到定義。由于不存在更為豐富的元語言，進而不能為LGTC的每個語句提供一個名字，對于那些沒有名字的語句，就無法構(gòu)造相應(yīng)的T-語句，所以理所當(dāng)然就不可能構(gòu)造出一個真之定義使它蘊含所有相關(guān)的T-語句。

雖然LGTC是循環(huán)性語言，它具備足夠充分的表達力，似乎能夠為自己的所有語句提供一個名字，但由于悖論的存在，不可定義性問題仍然不可能得到解決。這恰恰表明LGTC還不足夠豐富以便適合作為自己的元語言。塔斯基很清楚這一點。他認為構(gòu)造有窮階語言的真謂詞定義的方法在無窮階語言上是不適用的。因為LGTC作為自己的元語言，“其豐富性對于探討該語言的純粹形態(tài)而言沒有優(yōu)勢”，它需要的是“根本不同于這種語言的所有語法形式的”元語言。（[13]，第253 頁）因此，即使在塔斯基看來，循環(huán)性的悖論恐怕也不是造成問題的根本原因。接下來，我們可以考察另外一種的悖論性對象語言，它是非循環(huán)的無根性（ungrounded）語言，看看其真謂詞的不可定義性問題的根源是否出在悖論上。

3 無根性悖論語言的真謂詞的不可定義性

雅布羅（S.Yablo）指出，循環(huán)性（尤其自指性）并不是造成悖論的必要條件。（[14]）他的論證依賴于構(gòu)造無窮長的語句序列：S1、S2、S3……其中每個Si都是這樣的語句“對所有n >i，Sn不是真的”。對于任意Si而言，它說的是它后面的所有語句都不是真的。假設(shè)Si是真的，則對于任意某個k >i，Sk不是真的，由于Sk斷定：任意n >k，Sn不是真的，所以至少存在某個j >k使得Sj是真的，因而存在某個j >i使得Sj是真的。于是Si不是真的。矛盾。再假設(shè)Si不是真的，則存在某個k >i，Sk是真的，進而對于任意j >k，Sj都不是真的，如果這個推論成立，則不難證明Sj又是真的，于是矛盾，所以根據(jù)歸謬法，Si反而是真的。這就是所謂的“雅布羅悖論”，其特點在于，序列中的每個句子單獨而言都不自相矛盾，但把所有這些句子放在一起，就會造成不一致。因而它又被雅布羅自己稱為“ω-悖論”。（[15]，第140 頁）

如果是像上面這樣來描述雅布羅悖論的話，顯然不符合塔斯基的風(fēng)格。因為在序列中，每個Si中出現(xiàn)的真謂詞并沒有標明所屬的語言。于是，問題產(chǎn)生了：如果我們按照塔斯基的語言分層理論，嚴格區(qū)分對象語言和元語言，進而明確這里的每個真謂詞所屬的語言，悖論還會產(chǎn)生嗎？根據(jù)雅布羅的做法，針對每個語句Si，我們假設(shè)相應(yīng)有一種語言Li以及真謂詞Tri，令Si是Li的語句，Tri是Li的真謂詞，且對任意k >i，“Sk”和“Trk”都是語言Li的符號。然后，我們對雅布羅的語句序列作適當(dāng)修改，使得每個語句Si都指稱這樣的語句：?n>i,?Trn(Sn)。現(xiàn)在假設(shè)Tri(Si)。由此可得?n>i,?Trn(Sn)。于是存在j >i，使得?n>j,?Trn(Sn)，進而Trj(Sj)，即?n>i,Trn(Sn)。所以?Tri(Si)。類似地，如果假設(shè)?Tri(Si)，不難推出Tri(Si)。因此，雅布羅認為，塔斯基的語言分層方法不足以消除這個悖論，因為它并不是由語言的循環(huán)性導(dǎo)致的語義悖論。（[15]，第141 頁）

與說謊者悖論不同，雅布羅悖論產(chǎn)生的原因是無窮語句序列包含了無根性語句。一個語句φ是無根的，當(dāng)且僅當(dāng)它并不依賴于“非語義的事態(tài)”，換言之，總是存在另外一個語句φ′，使得φ依賴于φ′，而后者又依賴于其他語句，即存在一個無窮上升的語句依賴序列。（[7]）類似地，我們可將“無根性語言”定義為包含無根性語句的語言。需要注意的是，在做出元語言和對象語言的區(qū)分之后，每個語言Li都不是無根性語言，因為每個語句Si在Li中并不依賴于其他語句。于是，我們可以在雅布羅的語句和語言序列的基礎(chǔ)上構(gòu)造一種無根性語言。

雅布羅的證明還隱含了這樣的條件，即對任意（對象）語言Li，（元）語言Li?1必須包含這樣的T-語句：Tri(Si)??n>i,?Trn(Sn)（其中i為任意某個自然數(shù)），因此我們必須預(yù)設(shè)語言L0，使得它包含“Tr1(S1)??n >1,?Trn(Sn)”，同時不得再假設(shè)語句序列中存在S0這樣的語句，否則我們還需要類似地預(yù)設(shè)語言L?1，令其包含“Tr0(S0)??n>?1,?Trn(Sn)”。考慮到該預(yù)設(shè)，我們令TSi為對應(yīng)于Si的T-語句，然后根據(jù)語句序列重新明確一個語言序列：L0、L1、L2、……其中TS1∈L0，且對任意i>0，都有Si ∈Li，TSi ∈Li?1?！冉酉聛?，我們將所有這樣的Li（i >0）合并起來得到一種語言Lω，即令Lω=i>0Li?？梢钥闯?，每個Si和TSi都是Lω的語句?，F(xiàn)在，我們來利用雅布羅悖論證明Lω的真謂詞的不可定義性。

4 兩種非悖論性語言的真謂詞的定義問題

為了進一步揭示悖論并不是導(dǎo)致真謂詞不可定義性問題的真正根源，接下來我們要考慮兩種非悖論性的語言，通過對這兩種語言的真謂詞的定義問題的考察，考察真之定義的形式正確性要求對于真謂詞的定義性問題的重要性。這兩種語言分別是：作為LPA的真擴張語言的LTr（=LPA∪{Tr}），以及基于誠實者語句構(gòu)造的、類似于Lω的無根性語言。前者是非悖論性的循環(huán)性語言，后者是既非悖論性的亦非循環(huán)性的語言。

關(guān)于LTr的真謂詞的定義問題，往往存在著誤解。如前所述，在LPA中無法定義其自身的真謂詞，因為這會導(dǎo)致悖論。顯然，只要令LPA的真謂詞不包含在其自身中即可避免悖論，因而人們通常會認為，只要避免了語義封閉性就能解決問題，換言之，LPA的真謂詞可以在LTr這種擴張語言得到定義（其中“Tr”為LPA的真謂詞）。（[16]，第76 頁）毫無疑問，LPA的真謂詞可以在更為豐富的元語言中得到定義，但問題是LTr能否算是“更豐富的元語言”。

模型論的表達容易掩蓋這個問題。借助模型論的方法，令?=(N,S,+,0)為LPA的標準自然數(shù)模型，且令且A為LPA-語句}，且為LTr的標準模型，則塔斯基定理可以被表述為：T在中（確切地說在N中）不可定義，即并非對任意A∈T，都有但對任意A∈T，都有即T在中是可定義的。在這里，T實際上就是真謂詞“Tr”在模型下的解釋，因此很明顯，雖然LPA的真謂詞在模型中不能得到解釋，但可以在擴張的模型中得到解釋。不過，容易忽略的問題是：這里的T與自然數(shù)集N是什么關(guān)系？顯然，T不是N的子集，T在N中不可定義這其實已經(jīng)表明了不存在X，X是N的子集且X=T。

回到前面的問題，假設(shè)LTr是可在其中定義LPA的真謂詞的元語言，這意味著，LPA-項和LPA-公式都可在該語言中得到定義。顯然，(1)0 是LPA-項，且(2)如果t、t′是LPA-項，則St和t+t′，t×t′都是LPA-項。在此基礎(chǔ)上，可以定義LPA-公式，例如，如果t、t′是LPA-項，則t=t′是LPA-公式，如果A是公式，則?A是LPA-公式……不過，這并不是真正的定義，因為它沒有考慮到元語言的特殊性。在LTr中，LPA的每個符號、項和公式都有一個哥德爾數(shù)作為其名字。對于每個公式A而言，A是“A”在LTr中的名字，即“A”的哥德爾數(shù)。假設(shè)某個n是LPA-公式“A”的哥德爾數(shù)且，即A=n。假設(shè)“n”本身就是一個LPA-項。如果“n”的意義在元語言中沒有變化，則“n”的指稱依然是n。由于“n”同時也是A的哥德爾數(shù)，因此“n”的指稱是“A”。這表明“n”在LTr中是一個有歧義的項。當(dāng)然，在元語言中，每個LPA-項和LPA-公式都有一個哥德爾數(shù)作為其名字，它們都存在歧義問題。這個問題使得LTr是否是LPA加上真謂詞的擴張遭到質(zhì)疑。

針對歧義問題，我們有兩種選擇：一是否認哥德爾數(shù)是LPA-項，這意味著LTr并不是簡單地將真謂詞加入LPA中形成的擴張，而是對LPA∪{Tr}的真擴張，這樣一來LTr就變成了“本質(zhì)上更為豐富”的元語言；二是容忍歧義，承認這些哥德爾數(shù)作為項是特殊的自然數(shù)，因而承認元語言LTr在對象語言的基礎(chǔ)上“生成”了新的LPA-項。如果LPA-公式的哥德爾數(shù)都是LPA-項，那么對LPA-項的定義就需要添加第三個子句：如果A是LPA-公式，則A是LPA-項。由此不難得出，LPA-項是可定義的，僅當(dāng)LPA-公式是可定義的。于是造成循環(huán)定義，違背組合性原則的要求。綜合上述兩個方面，如果LPA-公式的名字本身就是LPA-項，則會造成歧義以及循環(huán)定義問題；而如果不是LPA-項，則元語言對對象語言做出了真擴張。所以除非LTr對LPA∪{Tr}做出真擴張以滿足本質(zhì)上的豐富性原則的要求，在LTr中實際上無法構(gòu)造出LPA的真謂詞的定義。反言之，如果LTr中構(gòu)造出了LPA的真謂詞的定義，那么哥德爾數(shù)就不應(yīng)該被視為真正的LPA-項。

再考慮第二種語言，即一種無根性語言Lω′，它與Lω的區(qū)別在于，在它包含的語句序列中，每個語句都“說”后面的語句是真的，即每個語句Si都指稱這樣的語句：?j >i,Trj(Sj)。不難發(fā)現(xiàn)，Lω′是非悖論性的。我們考慮兩種情形：(1)令Lω′為自己的元語言，考慮它的真謂詞在自身中能否得到定義；(2)令為一個本質(zhì)上更為豐富的元語言，能夠為所有Lω′符號、項以及公式提供一個名字，考慮Lω′的真謂詞能否在這個元語言中得到定義。

情形(1)。如果在Lω′中定義其真謂詞，因為按照塔斯基的真之定義的要求，元語言要為對象語言中的初始符號（比如項）以及語句提供名字。但是Lω′本身并不是一個足夠豐富的語言，當(dāng)它作為自己的元語言時，每個語句“?j >i,Trj(Sj)”固然都有自己的名字“Si”，但每個“Tri(Si)”卻沒有自己的名字。此外，“Si”這個名字本身以及謂詞“Tri”也沒有名字，這樣一來的問題是我們無法定義Lω′-項以及Lω′-公式。根據(jù)塔斯基的真之定義理論，由于Lω′對于其自身而言不具備本質(zhì)上豐富的表達力，因而無法刻畫出其自身的形式結(jié)構(gòu)，當(dāng)然也就無法在其自身中構(gòu)造出其真謂詞的定義。

對于任意Lω′-語句A，由上述定義都可以推出：Trω′()?A。因此，只要元語言足夠豐富，即使Lω′是非循環(huán)的無根性語言，其真謂詞也可在該元語言中得到定義。當(dāng)然，這個定義可能存在瑕疵，因為如果嚴格依照塔斯基的真之定義理論，真之定義蘊涵的每個T-等式“Tr(s)?p”的右邊都不能再出現(xiàn)真謂詞“Tr”。不過，需要注意的是，在這里，等式右邊包含的“真謂詞”并不是“Trω′”。

比較上述兩種語言，可以發(fā)現(xiàn)：一方面，第一種語言LPA的元語言LTr并非在本質(zhì)上比對象語言更為豐富，它無法獨立地為對象語言的項和語句提供名字，所以只能用對象語言的名字指稱自己的項和語句，從而造成自指，但由于真謂詞并不屬于對象語言，因此沒有產(chǎn)生悖論。不過這仍然會造成歧義問題，這為構(gòu)造LPA的真謂詞定義造成了麻煩，要克服麻煩就不得不承認LTr是對LPA∪{Tr}做出真擴張。Lω′的真謂詞的定義在第一種情形下的問題是因為其本身表達力不足造成的（這也是塔斯基定理直接表達的內(nèi)容）。而另一方面，上述結(jié)果并不妨礙LPA的真謂詞在本質(zhì)上更為豐富的二階語言中得到定義，同樣在第二種情形下，由于有了本質(zhì)上更為豐富的元語言，Lω′的真謂詞定義才能得以構(gòu)造出來，該定義符合塔斯基的真之定義理論的要求，盡管Lω′本身是無根性的。

5 結(jié)論

塔斯基借助循環(huán)性悖論證明了LGTC的真之不可定義性定理，該定理的證明方式長期以來令不少人誤以為悖論或循環(huán)性是導(dǎo)致一種語言的真謂詞的不可定義性問題的根源，從而忽略了構(gòu)造一個真之定義的真正重要的因素以及一種語言的真謂詞的不可定義性問題的真正根源。悖論以及循環(huán)性之所以能夠造成真謂詞的不可定義性問題，還是因為它們導(dǎo)致了特定的元語言無法完全地刻畫對象語言的形式結(jié)構(gòu)，即無法在滿足組合性原則的前提下為對象語言的所有項和語句提供名字，進而為每個語句遞歸地構(gòu)造相應(yīng)的T-語句。塔斯基定理所斷定的內(nèi)容其實并不僅僅適用于像LGTC這樣的悖論性語言，它也適用于任何一種試圖在其自身中定義自己的真謂詞的語言，此外還適用于那些無法找到“本質(zhì)上更為豐富的”元語言的對象語言以及其現(xiàn)有的元語言不具備“本質(zhì)上的豐富性”的對象語言，其中有的對象語言甚至并不包含悖論，也不是循環(huán)性的語言。因為塔斯基的真之定義理論的核心原則是：只有在本質(zhì)上更為豐富的元語言中，對象語言的真謂詞才能得到定義。構(gòu)造一種語言的真謂詞定義的關(guān)鍵在于找到“本質(zhì)上更為豐富的”元語言。相反，真謂詞的不可定義性問題的真正根源在于找不到這樣的元語言，或者至少現(xiàn)有的元語言相對于對象語言來說并非本質(zhì)上更為豐富?；谶@一點，以下推斷就不難被理解和接受：(1)無論是悖論性的還是非悖論性，循環(huán)性還是非循環(huán)性的語言，只要能夠找到本質(zhì)上更為豐富的元語言，其真謂詞就能得到定義；(2)即使一種對象語言的真謂詞在一個合適的元語言中得到定義，它也可能會在另外一種不合適的元語言中是不可定義的；(3)事實上，并非所有的語言都存在本質(zhì)上更為豐富的元語言，比如自然語言或LGTC，它們的真謂詞在無窮階語言中注定無法得到定義。