基于證據(jù)的懷疑

桂海斌

1 引言

懷疑是在知識論的研究中無法避開的一個概念，因為知識論正是在懷疑的聲浪中不斷發(fā)展前行的。以笛卡兒（R.Descartes）為代表的懷疑論者秉持著普遍懷疑原則主張懷疑一切，而維特根斯坦（L.Wittgenstein）則明確地指出，“如果你試圖懷疑一切，那么你將不能懷疑任何東西”。（[10]，第115 頁）為此，維特根斯坦提出了鮮明的口號：“懷疑來自信念之后”。（[10]，第160 頁）無獨有偶，波蘭尼（M.Polanyi）在明確了毫無限制的懷疑并不能為我們提供新的認識之后，亦提出了“懷疑不能在信托框架之外起作用”的主張。（[5]，第266 頁）

盡管維特根斯坦和波蘭尼使用的術(shù)語不同，但都區(qū)分了“合理的懷疑”和“不合理的懷疑”，將普遍懷疑歸屬于不合理的懷疑范疇，主張合理的懷疑需要理由。（[11]，第59 頁）不同于維特根斯坦和波蘭尼對“不合理的懷疑”的直接拒斥，普賴爾（J.Pryor）在研究所謂的毫無理由的“不合理的懷疑”時，為我們揭示了一種相信與懷疑共存的認知狀態(tài)，即僅依據(jù)某種不恰當?shù)目赡苄詫σ粋€命題進行懷疑時，認知主體依然可以形成關(guān)于該命題的信念。（[7]，第525 頁）

簡要言之，維特根斯坦和普賴爾研究懷疑時的進路不盡相同，區(qū)別在于分別將“有理由的懷疑”和“僅由某種可能性被提出而產(chǎn)生的懷疑”作為各自的主要研究對象，是兩個不同層次的懷疑研究進路。本文的側(cè)重點是前者，以信念和懷疑之間的密切關(guān)系為切入點，將基于證據(jù)的懷疑作為待考察的研究對象。

本文結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)，介紹學者已經(jīng)提出的懷疑的定義，以及對懷疑進行形式化的研究，分析和討論它們的不足之處。第三節(jié)，將懷疑作為靜態(tài)的認知態(tài)度，通過考察與懷疑相關(guān)的有效式和非有效式來揭示懷疑的邏輯性質(zhì)。第四節(jié)，將懷疑作為動態(tài)的認知過程，考察初始認知狀態(tài)為相信某個命題，在引入該命題否定的證據(jù)集后認知狀態(tài)所發(fā)生的變化，并給出動態(tài)算子的歸約公理及其有效性的證明。第五節(jié)，總結(jié)本文的研究工作和得到的研究結(jié)果。

2 對懷疑定義的研究

就邏輯的研究而言，對信念的研究已經(jīng)相當成熟，但對懷疑的邏輯研究卻并不多見。要邏輯地研究懷疑，首先需要弄清楚的就是懷疑是什么。薩蒙（N.Salmon）在對懷疑進行研究時，曾對懷疑做了如下的定義（[8]，第1 頁）：

·A懷疑p被定義為：A不相信p，或A中止了對p的判斷。

–A不相信p被定義為：A相信?p。

–A中止了對p的判斷被定義為：并非A相信p，且并非A相信?p。

對于薩蒙的定義，撒加德（G.Thagard）直接指出了其中的問題，即對于任意的命題p,要么A相信p，要么A懷疑p。（[9]，第392 頁）而從邏輯的角度上看，薩蒙將“不相信p”和“并非相信p”當作了兩個不同的概念也是不對的，因為“不”和“并非”都是否定連接詞“?”的體現(xiàn)，換言之，“不相信p”和“并非相信p”表達的是同一個涵義。

奧爾森（E.J.Olsson）和普羅耶蒂（C.Proietti）在研究群體信念時，也曾簡要地提到對懷疑的定義（[6]，第503 頁）：

· 懷疑p被定義為：不相信p，且不相信?p。

然而這種定義的問題在于，懷疑p和懷疑?p沒有被區(qū)分出來。換言之，依照該定義，在懷疑p的同時，也懷疑?p。

此外，鮑梅爾（M.M.B?umel）在形式化維特根斯坦觀點的工作中也明確地給出了基于概率理論的懷疑定義（[1]，第36 頁）：

·μ(?H)≠1∧?E ?W(μ(E)<1∧dwE >t ∧μ(H |E)

依據(jù)鮑梅爾提供的定義，“在點w上懷疑一個命題H”需要滿足四個具體的要求：(1)?H的概率小于1；(2)存在證據(jù)E且E的概率小于1；(3)dwE表達的是證據(jù)E在點w上的安全度，需要E在w點上的安全度比t大1根據(jù)鮑梅爾提供的概率方法，閾值（threshold）t 的取值范圍是(0.5,1]。E 在w 點上的安全度反映了認知主體在點w 上拒斥E 的意愿，E 的安全度越高，拒斥E 的可能性越小。；(4)給定證據(jù)E后H的概率至少要小于t。

與其他學者提出的懷疑的定義有著明顯的不同，鮑梅爾提出的定義，將證據(jù)因素直接納入到了懷疑的定義中。該定義的要求(4)，清楚地表達了這樣的一個思想，即我們在懷疑命題H時，不相信命題H是因為我們有證據(jù)E。但是，以概率的方式對懷疑進行定義，或多或少會帶有一定的局限性，即閾值t的取值難免具有一定的主觀性，在不同的情景下，t的取值總是不盡相同，而不同的t的取值很可能會導致不同的認知狀態(tài)。

通過分析和總結(jié)學者們關(guān)于懷疑的已有研究，不難發(fā)現(xiàn)，我們至少還能從兩個方面推進對懷疑的形式化研究。一方面，以非概率的方式，繼續(xù)對基于證據(jù)的懷疑進行系統(tǒng)的形式化研究，考察懷疑的邏輯性質(zhì)；另一方面，除了將懷疑定義為靜態(tài)的認知態(tài)度，我們還可以把懷疑視作是動態(tài)的過程進行研究。本文對懷疑的形式化研究，將基于以上兩個方面展開。不論是對于作為認知態(tài)度的靜態(tài)懷疑，還是對于作為動態(tài)過程的動態(tài)的懷疑，本文都將緊緊圍繞著證據(jù)因素對它們進行分析和研究。

3 靜態(tài)的懷疑

鄰域語義的證據(jù)模型，最早是由范丙申（J.van Benthem）和帕奎特（E.Pacuit）共同提出的（[3]，第63 頁），用于研究證據(jù)和基于證據(jù)的信念之間的關(guān)系。本文所使用的語義與范丙申等提供的語義的區(qū)別在于信念的定義，而不同之處將直接體現(xiàn)在證據(jù)和信念之間的關(guān)系上。

定義1(語言L).令At為原子公式的集合，基礎(chǔ)證據(jù)模型語言的遞歸定義如下：

其中，p ∈At。其它的命題連接詞（∨,→,?）的情況和通常的定義一樣?！?讀作“認知主體有?的證據(jù)”，B?讀作“認知主體相信?”以及A?讀作“?在所有點上都為真”。將E作為A的對偶算子，E?被定義為?A??。

定義2(證據(jù)模型).一個證據(jù)模型是一個三元組M=，其中W是一個非空點集，N是一個鄰域關(guān)系：V是一個賦值函數(shù)：我們將N(w)記作為集合{X |w N X}，特別地，對于任意的w ∈W，??N(w)并且W ∈N(w)。如果對于模型M中任意的兩個點w和v都有N(w)=N(v)，那么我們稱模型M是均衡的證據(jù)模型。2定義2 中的證據(jù)模型定義引自文獻[3]，因其最早在文獻[3]中被提出。文獻[3]和[2]中的證據(jù)模型的定義是無差異的。其中“uniform evidence model”被筆者譯為“均衡的證據(jù)模型”。所謂“uniform evidence model”的直觀理解是，對于每一個“uniform”的證據(jù)模型中任意的兩個點，它們的鄰域都是相同的或無差別的，故而取“均衡”一詞，以表達不偏不倚之意。

定義3(極大有窮相交性).一個集簇X是一個W子集的集合，如果對于每一個X的有限子簇{X1,…,Xn}?X都有∩1≤i≤n Xi≠?，那么我們稱X具有有窮相交性（f.i.p）。如果X具有有窮相交性，并且沒有其它X的擴充具有這個性質(zhì)，那么我們稱X有極大有窮相交性。3定義3 中的極大有窮相交性定義，參考的是范丙申和帕奎特等人對證據(jù)模型更進一步的研究中的定義，即文獻[2]中的定義。對于極大有窮相交性，文獻[2]中的定義（Definition 2.3，在第99 頁處）不同于文獻[3]的定義（Definition 2.2，在第63 頁處）。在帕奎特的專著《模態(tài)邏輯的鄰域語義》（[4]）的一個章節(jié)“證據(jù)和信念的邏輯”中，可以找到與文獻[2]一樣的極大有窮相交性的定義，即文獻[4]第33 頁中，Definition 1.36 對極大有窮相交性的定義。本文的研究結(jié)果是基于文獻[2]中的極大有窮相交性的定義展開的，不依賴于文獻[3]的極大有窮相交性的定義。

命題1.M=是一個任意的證據(jù)模型，w是模型M中任意的一個點。對于任意的極大有窮相交性的簇X ?N(w)，都有W ∈X。

證明.假設有一個極大有窮相交性的簇X使得W?X。根據(jù)定義，對于每一個X ∈X，X ?W。于是，∩{X ∪W}=∩X。然而，X ?{X ∪W}。于是，X就不是極大的。但這與X是一個極大有窮相交性的簇相矛盾。因此原假設不成立。

為了讓讀者對極大有窮相交性有更加直觀的了解，我們將通過具體的證據(jù)模型來對它進行說明：

M=是一個證據(jù)模型，W={w,u,v}，N(w)={{u},{v},{w,v},{w,u,v}}，N(u)={{u},{w,u},{w,u,v}}，N(v)={{w},{w,u},{u,v},{w,u,v}}，V=?。

圖1:證據(jù)模型例示

其中，w的鄰域N(w) 中有兩個有極大有窮相交性的集簇，分別是X1={{u},{w,u,v}}，X2={{v},{w,v},{w,u,v}}；u的鄰域N(u)中有一個有極大有窮相交性的集簇Y，Y={{u},{w,u},{w,u,v}}；v的鄰域N(v)中也有兩個有極大有窮相交性的集簇，分別是Z1={{w},{w,u},{w,u,v}}，Z2={{w,u},{u,v},{w,u,v}}。

定義4(真值條件).令M=(W,N,V)是一個證據(jù)模型，點w ∈W是模型M中任意的一個點。公式? ∈L的真值條件被遞歸定義為：

·M,wp，當且僅當，w ∈V(p)。

·M,w??，當且僅當，

·M,w? ∧ψ，當且僅當，M,w?，并且M,wψ。

·M,w□?，當且僅當，存在一個有關(guān)系wNX的集合X，使得對每一個點v ∈X，都有M,v?。

·M,wB?，當且僅當，對于每一個具有極大有窮相交性的簇X ?N(w)和對每一個點v ∈∩X都有M,v?，并且對于任意的X ∈N(w)，倘若存在一個點x ∈X ∈X使得M,x??，那么存在另一個點u ∈X使得u ∈∩X。

·M,wA?，當且僅當，對于所有的點v ∈W,M,v?。

將模型M中所有滿足?的點的集合記作可滿足性和有效性的定義和它們在標準模態(tài)邏輯中的定義一樣。

就基于證據(jù)的信念而言，我們認為有證據(jù)支持?并不意味著認知主體就會相信?。為了相信一個命題?，認知主體需要考慮他所持有的全部證據(jù)，具體而言，就是考察證據(jù)集中每一個具有極大有窮相交性的證據(jù)集簇X。這樣的思想，在范丙申等人定義的B算子中就已經(jīng)被體現(xiàn)出來了。（[3]，第64 頁）在他們的基礎(chǔ)上，本文對B算子還做了額外的要求：相信一個命題?，就意味在證據(jù)集中的每一個證據(jù)里，都至少有一個滿足?的點。

通過考察公式□? →?B??的有效性，就能夠體現(xiàn)出二者的區(qū)別。在范丙申等人對證據(jù)模型的進一步研究中，曾通過一個無窮模型指出，依據(jù)他們對B算子的定義，□? →?B??在所有證據(jù)模型的類上不是有效的，僅在這樣的證據(jù)模型類上才是有效的，即極大有窮相交性簇的廣義交集不為空的模型類。4因此，范丙申等在保持信念語義不變的情況下轉(zhuǎn)向研究極大有窮相交性的簇的廣義交集不為空的證據(jù)模型類。（[2]，第100 頁）

依據(jù)本文所提供的語義，□? →?B??在所有證據(jù)模型的類上也是有效的。就直觀理解而言，該命題的有效性體現(xiàn)了證據(jù)和信念之間的關(guān)系：證據(jù)集中有某個命題的證據(jù)，就意味著不會相信該命題的否定。從另一個方向上說，相信了某個命題的否定，就意味著，證據(jù)集中沒有該命題的證據(jù)。

命題2.□? →?B??是有效的。

證明.假定M,w□?，根據(jù)定義，存在一個證據(jù)X ∈N(w)使得又根據(jù)定義??N(w)，因此X不是空集。也就是說，X中的每一個點都滿足?，并且X中至少有一個點x使得M,x?。假設M,wB??，首先，根據(jù)定義，對于每一個有極大有窮相交性的簇X，都會使得∩X中的每個點都滿足??。其次，由于X不是空集，于是根據(jù)定義，對于每個含有X的簇X，還要求X中存在另一個點u使得u ∈∩X，也就是說，M,u??。這就與矛盾了。因此，原假設不成立。

由命題2 很容易聯(lián)系到引文中已經(jīng)提到的內(nèi)容，即在維特根斯坦看來，“合理的懷疑”需要理由。就證據(jù)模型而言，懷疑命題?就需要有??的證據(jù)，這也正是懷疑?意味著不相信?的原因之所在。于此同時，懷疑?也意味著并非模型中所有的點都滿足??，因為倘若所有的點都滿足??將會直接拒斥?，而不會懷疑?。因此，本文將懷疑定義為“存在滿足?的可能性，但是有??的證據(jù)”：

將D?讀作“?是可疑的”，其真值條件如下：

相應地，與懷疑相關(guān)的有效式和非效式主要有：

表1:與懷疑相關(guān)的有效式和非有效式

從表1 上看5表1 中的公式有效性的證明參見附錄A。，?B? →D?不是有效的，解決了薩蒙的定義中的問題，即并非對于任意的命題，要么相信該命題，要么懷疑該命題。此外，D? →□??的有效性直接表達了懷疑是基于證據(jù)的思想，再結(jié)合D? →D??不是有效的，則解決了奧爾森和普羅耶蒂所提供的定義中的問題，即懷疑狀態(tài)可以通過審視證據(jù)模型中的證據(jù)來判定，是懷疑一個命題，還是懷疑一個命題的否定，而不是像奧爾森和普羅耶蒂給出的定義那樣，懷疑一個命題的同時，總會懷疑該命題的否定。

□? →?B??是有效的，表達了不相信一個命題的認知狀態(tài)，是由該命題的否定的證據(jù)導致的。再結(jié)合D? →?B?的有效性和D? →□??的有效性，不難發(fā)現(xiàn)懷疑狀態(tài)下的不相信狀態(tài)，正是由引發(fā)懷疑的證據(jù)所導致的，即在懷疑某個命題?時，不相信?的原因在于有??的證據(jù)。而這點恰與鮑梅爾提出的定義中的要求(4)是契合的，即我們在懷疑命題H時，不相信命題H是因為我們有證據(jù)E。

更進一步的，對D算子的邏輯性質(zhì)進行考察，發(fā)現(xiàn)D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的，這說明D算子在分配律上是不成立的。

命題3.D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的。

證明.考慮這樣的一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)=?。

· 由于，也就是(p →q)，根據(jù)定義，M,w□?(p →q)。又因為，也就是，根據(jù)定義，(p →q)。于是，(p →q)。

· 由于M,u并且，根據(jù)定義，M,w□?p。又因為，根據(jù)定義，。于是，。但是，由于V(q)=?，根據(jù)定義，M,wEq。于是，M,wDq。因此，M,wDp →Dq。

綜上，M,wD(? →ψ)→(D? →Dψ)。

雖然公式D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的，但我們總能找到懷疑算子所遵循的規(guī)律，比如公式D(? →ψ)→(A? →Dψ)就是有效的。

命題4.D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的。

證明.假定M,wD(? →ψ)并且M,wA?。根據(jù)定義，M,wD(? →ψ)當且僅當M,w□?(? →ψ)∧E(? →ψ)，也就是M,w□(? ∧?ψ) 并且M,wE(?? ∨ψ)。再根據(jù)定義，M,w□(? ∧?ψ)當且僅當存在一個X∈N(w)使得X中的每一個點都滿足? ∧?ψ，因此也就存在一個X ∈N(w)使得X中的每一個點都滿足?ψ，即M,w□?ψ。由于M,wA?，故模型中所有的點都滿足?，而M,wE(?? ∨ψ)，也就是模型M中存在一個點滿足?? ∨ψ，因此，模型M中存在一個點滿足ψ，即M,wEψ。綜上，M,wDψ。

D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的，該公式有效性的直觀意義在于，如果被懷疑的命題是一個蘊涵式，那么，一旦我們確認該蘊涵式的前件在所有的點上都為真，我們的懷疑焦點就會轉(zhuǎn)移到該蘊涵式的后件上。它給予我們的一些啟發(fā)在于，在推理過程中，懷疑也有著它所遵循的規(guī)律，我們通過發(fā)現(xiàn)和運用這些規(guī)律也可以獲得新的認識。

4 動態(tài)的懷疑

在第三節(jié)將懷疑作為靜態(tài)算子考察時，通過命題2 得出懷疑某個命題?時，不相信?是因為有??的證據(jù)。倘若認知主體的初始認知狀態(tài)是相信?，那么將??的證據(jù)引入到證據(jù)集中后，認知主體的認知狀態(tài)究竟會發(fā)生怎樣的變化？

定義5(動態(tài)懷疑).M=是一個證據(jù)模型，并且? ∈L。懷疑后的模型M??=??,N??,V??，其中W??=W，V??=V，N??(w)=N(w)∪{{u} |將[??]ψ記作：“如果初始時，相信?且存在著??的可能性，那么在懷疑?之后，ψ為真”。它的真值條件如下：

M,w[??]ψ，當且僅當，如果M,wB? ∧?A?，那么M??,wψ。

通過觀察動態(tài)懷疑的定義可以發(fā)現(xiàn)，被添加到證據(jù)模型中的集合不是某一個證據(jù)，而是每一個具體的證據(jù)的集合。將這樣的更新理解為動態(tài)懷疑的更新是基于以下兩點考慮：(1)每個引發(fā)懷疑的可能性都是具體的，即該可能性引發(fā)懷疑不僅僅是因為該可能性存在，而是確有支持該可能性的證據(jù)。(2)單個的證據(jù)被提出時會容易被否掉，因為認知主體往往不會由于單個的證據(jù)被提出而直接改變自己的信念，而會檢測被提出的單個證據(jù)是不是站的住腳，即是否能作為證據(jù)被接納。在科學發(fā)展史上，廣為人知的對“地心說”的懷疑就是具體的例子。6在哥白尼（Copernicus）正式提出“日心說”之前，由于權(quán)威教會對“地心說”的支持，以及在一定時期里依據(jù)“地心說”的本輪模型可以在一定程度上正確地預測天象，在生產(chǎn)實踐中也起過一定的作用，因而天文學者們相信“地心說”。然而，隨著天文儀器的不斷完善，觀測到的行星實際位置同本輪模型計算結(jié)果的偏差逐漸出現(xiàn)。起初，人們并沒有認識到這是由于“地心說”本身的錯誤造成的，為了修正誤差，不得不反復地引入本輪來補救“地心說”。到了哥白尼的時代，反復嵌套的本輪已經(jīng)達近百個，卻仍不能滿意地計算出行星的準確位置。正是由于彼時每一個具體的偏差的疊加，使得當時的天文學者們轉(zhuǎn)而懷疑“地心說”。

命題5.對于任意的證據(jù)模型M和任意的p ∈At，M,w[?p]Dp。

證明.假定M,wBp ∧?Ap。由于N?p(w)=以及M,w?Ap，又因為在動態(tài)變化中V(?p)=V?p(?p)，于是至少有一個單元素集{u}并且M?p,u?p，也就是至少存在一個非空的證據(jù)X ∈N?p(w)使得根據(jù)定義，M?p,w□?p。由于M,wBp ∧?Ap，也就是M,wBp并且M,w?Ap。首先，由于M,wBp，根據(jù)定義，對于每一個有極大有窮相交性的簇X ?N(w)，都有其次，由于M,w?Ap且W ∈N(w)，再根據(jù)命題1，對于每一個有極大有窮相交性的簇X，至少存在一個證據(jù)W ∈X，使得W中存在一個點y并且M,y?p。結(jié)合M,wBp，根據(jù)B的語義，W中至少存在一個不同于y的點v，使得。又因為W=W?p并且V(p)=V?p(p)，故而存在一個點v ∈W?p，使得M?p,v p，根據(jù)E的語義，M?p,w Ep。因此，M?p,w Dp，根據(jù)的語義，M,w[?p]Dp。

命題5 為我們說明了對于任意的原子命題p，如果一個認知主體的初始認知狀態(tài)是相信p，那么在引入?p的證據(jù)集后，該認知主體就會懷疑p，這也意味著彼時該認知主體不相信p。遺憾的是，命題5 的有效性并不能推廣到任意的公式。

不妨考慮這樣的一個模型M，其中W={w,u,v}，N(w)={{w,u},{w,v},{w,u,v}}，N(u)=N(v)={{w,v},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}。根據(jù)定義，，，，以及。更進一步地，根據(jù)定義，M?Bp,w ?Bp，M?Bp,u ?Bp和M?Bp,v ?Bp，于是M?Bp,w?EBp，根據(jù)定義，M?Bp,w?DBp。因此，M,w?[?Bp]DBp。

從技術(shù)的角度上說，不能推廣到任意公式是由于動態(tài)變化后證據(jù)集發(fā)生了變化，而證據(jù)集的變化則會導致證據(jù)模型中有極大有窮相交性的簇的重組，形成新的集簇，此舉會對B前置的公式在新模型中是否被滿足產(chǎn)生很大的影響。盡管命題5 的有效性不能推廣到任意的公式，但它也體現(xiàn)出由證據(jù)集變化導致的認知狀態(tài)的改變不是機械的而是靈活的，即我們不能僅簡單的考慮新添加的證據(jù)來判斷認知狀態(tài)的變化，而更應該重新審視新的證據(jù)集，對新形成的證據(jù)模型的模型結(jié)構(gòu)做整體的考察。

命題6.?是語言L中的任意公式。如果M=是一個均衡的證據(jù)模型，那么對于W中的任意兩個點w、v，當且僅當。

證明.命題6 的證明直接依據(jù)B和A算子的語義，以及均衡證據(jù)模型的性質(zhì)就可以得出，故證明從略。

就命題6 的直觀理解而言，它表達了在任意一個均衡的證據(jù)模型中，對于模型中任意的兩個點，它們的鄰域都是相同的，故而B? ∧?A?的取值與模型中的點無關(guān)。因此，命題6 為我們在均衡的證據(jù)模型類上對動態(tài)懷疑的性質(zhì)進行研究奠定了基礎(chǔ)。

引理1.令M是任意的一個證據(jù)模型，w是模型M中任意的一個點，M??是模型M在動態(tài)懷疑?后生成的模型。如果，那么其中X是模型M中任意的一個極大有窮相交性的簇，Y是模型M??中任意的一個極大有窮相交性的簇。

證明.假定，根據(jù)定義，模型M中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點都滿足?并且廣義交集不是空集，7由于M,w ?A?，根據(jù)定義，也就是W 中存在一個點s，使得M,s ??。又根據(jù)定義W ∈N(w)，所以模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X 都包含有W。又由于M,w B?，根據(jù)定義，對于每一個X，W 中都存在一個不同于s 的點落在∩X 中，且∩X 中的點都是滿足? 的。因此，模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點都滿足? 并且廣義交集不是空集。即∩X ?并且∩X≠?。由于N??(w)=故M??中所有極大有窮相交性的簇的集合{Y | Y是模型M??中一個有極大有窮相交性的簇}={X | X是模型M中的一個有極大有窮相交性的簇}∪{Z | Z={X1,...,Xn，{u}}，其中并且u ∈X1∈N(w),...,u ∈Xn ∈N(w)}。8就直觀理解而言，模型M?? 中的有極大有窮相交性的簇由兩部分組成，其一，是模型M 中原本的那些有極大有窮相交性的簇，因為在動態(tài)變化中，被添加到N(w)中的每一個集合都是單元素集，且每個單元素集中的點都滿足?? 的，這些單元素集和M 中原本的有極大有窮相交性的簇的廣義交的交必定為空，因為模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X 的廣義交集中的每一個點都滿足? 且廣義交集不是空集，因而，模型M 中原本的那些有極大有窮相交性的簇在動態(tài)變化后都被保留了下來；其二，是由模型M 中的證據(jù)集和新添加的單元素集，形成的新的有極大有窮相交性的簇，由于是和單元素集形成的極大有窮相交性的簇，這些新形成的有極大有窮相交性的簇，它們的廣義交就是一個個的單元素集，且這些單元素集中的點都滿足??，而這些廣義交再并起來，就是??M。因此，

由于Z是僅由某個單元素集合{u}和原模型M中某些含有點u的證據(jù)構(gòu)成的，因此∩Z就是{u}。于是，

定理1.以下歸約公理在均衡的證據(jù)模型類上是有效的：

證明.歸約公理1–3 是分別關(guān)于原子命題和布爾公式的情況，它們分別與范丙申等給出的“證據(jù)添加”的歸約公理EA1、EA2和EA3相對應（[3]，第73 頁），相應的歸約公理的有效性證明方法也是一樣的。因此，歸約公理的有效性證明將聚焦于[??]Aψ、[??]□ψ和[??]Bψ的情況。

令M為任意的均衡證據(jù)模型，w、u、v、x、y、z、s是模型M中任意的點。歸約公理4–6 的證明如下：

· 歸約公理4 的證明。要證[??]Aψ ?((B?∧?A?)→A[??]ψ)在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]Aψ當且僅當M,w(B?∧?A?)→A[??]ψ。M,w[??]Aψ，當且僅當（根據(jù)?的語義），如果，那么M??,w Aψ，當且僅當（根據(jù)A的語義），如果，那么對于每一個點v ∈W??使得M??,v ψ，當且僅當（根據(jù)命題6 和定義），如果，那么對于每一個點v ∈W使得M,v[??]ψ，當且僅當（根據(jù)A的語義），如果，那么[??]ψ，即M,w(B? ∧?A?)→A[??]ψ。

· 歸約公理5 的證明。要證[??]□ψ ?((B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ)))在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]□ψ當且僅當M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))。

（?）假設M,w[??]□ψ，那么根據(jù)?的語義，如果，那么M??,w□ψ。根據(jù)□的語義，也就是，如果，那么存在一個X ∈N??(w)使得由于N??(w)=N(w)∪{{u} |因此，有且僅有兩種情況會分別使得模型M??中的w滿足□ψ：

–X是模型M中的一個證據(jù)，即X ∈N(w)。懷疑?后會有ψ的證據(jù)，是因為X中的每一個點x在懷疑后會滿足ψ，即M??,xψ，根據(jù)命題6 和? 的語義，M,x[??]ψ。因此，在這種情況下原模型有M,w□[??]ψ。

–X是的某個單元素子集{u}，換言之也就有。懷疑?后會有ψ的證據(jù)，是因為模型M中滿足??的點u在懷疑?后都會滿足ψ，即M??,uψ，根據(jù)命題6 和?的語義，M,u[??]ψ。也就是，[??]ψ。因此，在這種情況下原模型有(?? ∧[??]ψ)。

綜上，如果，那么M,w□[??]ψ或者(??∧[??]ψ)，根據(jù)定義，即M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))。（?）假設M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))，根據(jù)定義，即如果，那么M,w□[??]ψ或者(?? ∧[??]ψ)。

– 倘若M,w□[??]ψ，那么根據(jù)□的語義，存在一個X ∈N(w)，使得X中的每一個點x都有M,x[??]ψ。根據(jù)命題6 和? 的語義，M??,x ψ。由于于是，X ∈N??(w)。根據(jù)□的語義，M??,w□ψ。

– 倘若(??∧[??]ψ)，也就是M,w??A?(??∧[??]ψ)，那么根據(jù)A的語義，至少存在一個點u ∈W使得M,u??(??∧[??]ψ)，也就是并且M,u[??]ψ。根據(jù)命題6 和?的語義，M??,uψ。由于于是，{u}∈N??(w)。根據(jù)□的語義，M??,w□ψ。綜上，如果，不論是M,w□[??]ψ，還是(?? ∧[??]ψ)，都能得出結(jié)論M??,w□ψ。因此，如果，那么M??,w□ψ。再根據(jù)?的語義，M,w[??]□ψ。

· 歸約公理6 的證明。要證[??]Bψ ?((B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ)))在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]Bψ當且僅當M,w(B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ))。

（?）假設M,w[??]Bψ，那么根據(jù)?的語義，如果，那么M??,w Bψ。再根據(jù)B的語義，如果，那么對每一個極大有窮相交性的簇Y ?N??(w)和其廣義交集中的每一個點v ∈∩Y,都有M??,v ψ，并且對于任意的Y ∈N??(w)，倘若存在一個點y ∈Y ∈Y使得M??,y ?ψ,那么存在另一個點z ∈Y使得z ∈∩Y。根據(jù)引理1，我們有：

如果，根據(jù)B的語義，N(w)中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點都滿足?，并且廣義交集不是空集。又每一個包含集合的極大有窮相交性的簇X的廣義交集就是{u}。對于每一個Y ∈N??(w)，Y中都存在一個點z使得z ∈∩Y。而對于每一個點

綜上，如果，那么[??]ψ并且(?? →[??]ψ)，根據(jù)定義即M,w(B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ))。

（?）假設M,w(B?∧?A?)→(B[??]ψ∧A(?? →[??]ψ))，根據(jù)定義，即如果，那么[??]ψ并且(?? →[??]ψ)。如果，那么根據(jù)B的語義，N(w)中的每一個極大有窮相交性的簇X的廣義交集中的每一個點x都滿足?，并且廣義交集不是空集。由于[??]ψ，再根據(jù)B的語義，對于每一個的x ∈∩X，M,x[??]ψ，再根據(jù)命題6 和?的語義，M??,xψ。由于(?? →[??]ψ)，根據(jù)A的語義，對每一個s ∈W，[??]ψ。于是，對于每一個M,z[??]ψ。再根據(jù)命題6 和?的語義，M??,z ψ。于是，對于每一個都有M??,v ψ。根據(jù)引理1，我們有：

因此，對每一個極大有窮相交性的簇Y ?N??(w)，其廣義交集中的每一個點v,都有M??,v ψ，并且∩Y≠?。9根據(jù)引理1，由于X≠ ?且因此Y≠ ?。于是，對于任意的Y ∈N??(w)，倘若存在一個點y ∈Y ∈Y使得M??,y ?ψ，那么始終有一個點t ∈Y使得t ∈∩Y。根據(jù)B的語義，M??,w Bψ。再根據(jù)?的語義，M,w[??]Bψ。

推論1.算子E前置公式的歸約公理[??]Eψ ?((B? ∧?A?)→E[??]ψ)，在均衡的證據(jù)模型類上是有效的。

證明.令M為任意的均衡證據(jù)模型，w和v是M中任意的點。要證[??]Eψ ?((B? ∧?A?)→E[??]ψ)在均衡的證據(jù)模型類上是有效的，需證M,w[??]Eψ當且僅當M,w(B? ∧?A?)→E[??]ψ。

假設10倘若M,w ?B? ∧?A?，那么根據(jù)?的語義和→的真值條件，很容易證得M,w [??]Eψ 當且僅當M,w (B? ∧?A?) →E[??]ψ。，M,w[??]Eψ，當且僅當（根據(jù)假設和?的語義），M??,w Eψ，當且僅當（根據(jù)E和A互為對偶算子），M??,w ?A?ψ，當且僅當(根據(jù)假設和?的語義），M,w[??]?A?ψ，當且僅當（根據(jù)假設和定理1)，[??]A?ψ，當且僅當（根據(jù)?的真值條件），M,w?[??]A?ψ，當且僅當（根據(jù)假設和定理1），M,w?A[??]?ψ，當且僅當（根據(jù)A的語義），存在一個點v ∈W使得[??]?ψ，當且僅當（根據(jù)?的真值條件），存在一個點v ∈W使得M,v?[??]?ψ，當且僅當（根據(jù)假設和定理1），存在一個點v ∈W使得M,v??[??]ψ，當且僅當（根據(jù)?的真值條件），存在一個點v ∈W使得M,v[??]ψ，當且僅當（根據(jù)E的語義），[??]ψ，當且僅當（根據(jù)假設和定義），M,w(B? ∧?A?)→E[??]ψ。

就推論1 的直觀理解而言，它表達了在懷疑?后的模型中有一個點滿足ψ，當且僅當，在懷疑?前的模型中有一個點，該點在懷疑?后會滿足ψ。

推論2.算子D前置公式的歸約公理[??]Dψ ?((B? ∧?A?)→((□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ))，在均衡的證據(jù)模型類上是有效的。

證明.令M為任意的均衡證據(jù)模型，w是M中任意的點。若要證明[??]Dψ ?((B? ∧?A?)→((□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))∧E[??]ψ))在均衡的證據(jù)模型類上是有效的，需證M,w[??]Dψ當且僅當M,w(B? ∧?A?)→((□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))∧E[??]ψ)。

M,w[??]Dψ，當且僅當（根據(jù)?的語義），如果，那么M??,w Dψ，當且僅當（根據(jù)D的語義），如果，那么M??,w□?ψ ∧Eψ，當且僅當（根據(jù)∧的真值條件），如果，那么M??,w□?ψ并且M??,w Eψ，當且僅當（根據(jù)定理1 和推論1），如果，那么M,w□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ) 并且[??]ψ，當且僅當（根據(jù)∧的真值條件），如果，那么M,w(□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ，即M,w(B? ∧?A?)→((□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ)。

相較于推論1 而言，推論2 的直觀則稍顯復雜，它表達了在懷疑?后的模型中懷疑ψ，當且僅當，第一，在懷疑?前的模型中，要么有一個證據(jù)，該證據(jù)中每一個點在懷疑?都滿足?ψ，要么模型中至少有一個滿足??的點，并且該點在懷疑?后會滿足?ψ；第二，在懷疑?前的模型中有一個點，該點在懷疑?后會滿足ψ。

概言之，在第四節(jié)中，我們對懷疑的動態(tài)特征、動態(tài)懷疑導致的證據(jù)模型變化的機制進行了研究。在對懷疑的動態(tài)特征進行考察時，我們延續(xù)了由證據(jù)導致懷疑的研究思想，從對動態(tài)懷疑的理解出發(fā)，結(jié)合實例提出從相信一個命題到懷疑一個命題，是由于有新的證據(jù)被添加到證據(jù)集中。接著，我們展現(xiàn)了新證據(jù)被添加到證據(jù)集后，對整個證據(jù)模型的影響，并指出對于模型變化的考察，不能僅簡單的考慮新添加的證據(jù)，而更應該重新審視新的證據(jù)集，需要對新形成的證據(jù)模型的模型結(jié)構(gòu)做整體的考察。最后，為了研究動態(tài)邏輯的完全性，我們從均衡的證據(jù)模型類的性質(zhì)著手，證明了相應的引理、定理（歸約公理）和推論。就所得的技術(shù)結(jié)果而言，歸約公理有效性的證明為整個公理系統(tǒng)的完全性證明提供了基礎(chǔ)。

5 結(jié)束語

本文研究工作開展的初衷，是考慮到懷疑在西方哲學上（尤其是在西方知識論上）所發(fā)揮的重要作用，于是希望通過借助邏輯的工具，對懷疑的性質(zhì)進行形式化的考察。

在已有的研究中，有的學者提出了懷疑的定義，也有的學者著手開展對懷疑進行形式化研究的工作，或借助于經(jīng)典模態(tài)邏輯，或與概率理論相結(jié)合。本文在回顧了學者們已有的研究的基礎(chǔ)上，分別討論了他們提出的懷疑定義的特征。在揭示了已有的懷疑定義的不足之處后，本文提出在鄰域語義的證據(jù)模型中，分別對靜態(tài)的懷疑和動態(tài)懷疑做了形式化的研究。

一方面，將懷疑作為一種靜態(tài)的認知態(tài)度，并將其定義為“存在滿足?的可能性，但是有??的證據(jù)”，明確了基于證據(jù)的懷疑所需滿足的條件。該定義不僅為既不相信一個命題也不懷疑該命題的認知狀態(tài)保留了空間，還明確了懷疑一個命題時不相信該命題，是由于有該命題否定的證據(jù)所導致的。另一方面，將懷疑作為動態(tài)的過程，給出了動態(tài)懷疑算子的語義，并說明了動態(tài)懷疑導致證據(jù)模型發(fā)生變化的機制。接著，在具體展現(xiàn)了動態(tài)懷疑引發(fā)的證據(jù)集的變化后，在均衡的證據(jù)模型類上給出了相應的歸約公理，并對它們的有效性進行了證明。

需要明確的是，本文在第四節(jié)中所呈現(xiàn)的動態(tài)懷疑，只是從“相信一個命題?”到“懷疑一個命題?”的動態(tài)變化，而動態(tài)懷疑并不僅此一類。通常，我們在認知過程中還會經(jīng)歷“從對命題?毫無概念”到“懷疑一個命題?”的動態(tài)變化。就證據(jù)模型而言，它意味著懷疑前的證據(jù)模型“既沒有?的證據(jù)，也沒有??的證據(jù)；既不相信?，也不相信??”。對這類動態(tài)懷疑的探究，將是未來的研究方向之一。

此外，在引文中已經(jīng)提到，本文的研究對象是基于證據(jù)的懷疑，而在西方知識論的發(fā)展歷程中，仍有許多關(guān)于非證據(jù)的懷疑的研究討論。非證據(jù)的懷疑往往與知識關(guān)系密切。因此，在證據(jù)模型中考察和探究非證據(jù)懷疑的靜態(tài)特征、動態(tài)特征以及和知識的關(guān)系，亦是做進一步研究的方向之一。

A 附錄

A.1 有效式的證明

以下是表1 中有效式的具體證明。

命題7.D? →□??是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，M,w□??∧E?。根據(jù)定義，M,w□??。

命題8.D(? ∨ψ)→(D? ∨Dψ)是有效的。

證明.倘若(? ∨ψ)，那么根據(jù)定義，M,w□?(? ∨ψ)∧E(? ∨ψ)。根據(jù)定義，M,w□?(? ∨ψ)并且(? ∨ψ)。

·M,w□?(? ∨ψ)，當且僅當（根據(jù)定義），存在一個X ∈N(w)使得對于每個點v ∈X，都有(? ∨ψ)，當且僅當（根據(jù)定義），存在一個X ∈N(w) 使得對于每個點v ∈X，都有，也就是并且。那么，根據(jù)定義，我們就可以得出M,w□??并且M,w□?ψ。

·(? ∨ψ)，當且僅當（根據(jù)定義），存在一個點u ∈W，使得，當且僅當（根據(jù)定義），存在一個點u ∈W，使得或，當且僅當（根據(jù)定義），或。

倘若，那么根據(jù)定義可得，根據(jù)定義，；倘若，根據(jù)定義同樣可得。

綜上，。

命題9.A? →?D?是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，對每一個點v ∈W，都有。因此，M,w?□??，根據(jù)定義，M,w?D?，也就是。

命題10.A?? →?D?是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，對每一個點v ∈W，都有。因此，M,w?E?，根據(jù)定義，M,w?D?，也就是。

命題11.□? →?B??是有效的。

證明.參見命題2。

命題12.D? →?B?是有效的。

證明.倘若，根據(jù)定義M,w□?? ∧E?，于是，M,w□??。再根據(jù)□?? →?B?是有效的，可得。

命題13.D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的。

證明.參見命題4。

A.2 非有效式的證明

以下是表1 中非有效式的具體證明。

命題14.D(? ∧ψ)→(D? ∧Dψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w,u}，V(q)={w}。

· 由于，根據(jù)定義，(p ∧q)。，并且，根據(jù)定義，M,w□(?p∨?q)，也就是M,w□?(p∧q)。因此，(p ∧q)。

· 由于并且，根據(jù)定義，M,w?□?p，根據(jù)定義，M,w?Dp。因此，M,w?Dp ∧Dq。

綜上，M,w?D(p ∧q)→(Dp ∧Dq)。

命題15.(D? ∧Dψ)→D(? ∧ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)={u,v}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于并且，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□?q。因此，。

· 由于M,w?p∧q，M,u?p∧q并且M,v?p∧q，根據(jù)定義，M,w?E(p∧q)。根據(jù)定義，M,w?D(p ∧q)。

綜上，M,w?(Dp ∧Dq)→D(p ∧q)。

命題16.D(? ∨ψ)→D?不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?，V(q)={w}。

· 由于并且，根據(jù)定義，M,w□(?p∧?q)，也就是M,w□?(p ∨q)。由于，因此，。根據(jù)定義，(p ∨q)。根據(jù)定義，(p ∨q)。

· 由于V(p)=?，根據(jù)定義，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。綜上，M,w?D(p ∨q)→Dp。

命題17.(D? ∨Dψ)→D(? ∨ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)={u,v}。

· 根據(jù)定義，。11由于所構(gòu)造的證據(jù)模型和命題15 的證明所用證據(jù)模型是一樣的，M,w Dp 可直接參照命題15 的證明。因此，。

· 由于M,w??p ∧?q，M,u??p ∧?q并且M,v??p ∧?q，根據(jù)定義，M,w?□(?p∧?q)，也就是M,w?□?(p∨q)。根據(jù)定義，M,w?D(p∨q)。

綜上，M,w?(Dp ∨Dq)→D(p ∨q)。

命題18.(D? →Dψ)→D(? →ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?，V(q)=W。

· 由于V(p)=?，因此，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。根據(jù)定義，。

· 由于M,w?p ∧?q，M,u?p ∧?q并且M,v?p ∧?q，根據(jù)定義，M,w?□(p ∧?q)，也就是M,w?□?(p →q)。根據(jù)定義，M,w?D(p →q)。

綜上，M,w?(Dp →Dq)→D(p →q)。

命題19.D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的。

證明.參見命題3。

命題20.D? →?D??不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于并且，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□p。根據(jù)定義，，也就是M,w??D?p。

綜上，M,w?Dp →?D?p。

命題21.D? →D??不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={u}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于M,w?p和M,v?p，根據(jù)定義，M,w?□p。根據(jù)定義，M,w?D?p。綜上，M,w?Dp →D?p。

命題22.?B? →D?不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?。

· 在給定的證據(jù)模型中有兩個極大有窮相交性的簇，X1={{w},{w,u,v}}和X2={{u,v},{w,u,v}}，其中，∩X1={w}，∩X2={u,v}。由于V(p)=?，因此，M,w?p，于是根據(jù)定義，M,w?Bp，也就是。

· 由于V(p)=?，根據(jù)定義，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。綜上，M,w??Bp →Dp。