《可能世界的名字》述評(píng)

劉新文，祝瑞，可能世界的名字，2017 年，北京：中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社

混合邏輯（hybrid logic）是模態(tài)邏輯中一個(gè)十分活躍的分支，它為模態(tài)邏輯的許多經(jīng)典結(jié)論都提供了良好的改進(jìn)方法?；旌线壿嫷幕居^點(diǎn)，即“對(duì)命題變?cè)诸?lèi)”和“詞項(xiàng)用作公式”，來(lái)自于上世紀(jì)六十年代的邏輯學(xué)家普萊爾（A.Prior）在時(shí)態(tài)邏輯領(lǐng)域中所做的工作。

基于哲學(xué)家麥克塔格特（J.M.E.McTaggart）對(duì)時(shí)間概念的分析，存在著兩種時(shí)序關(guān)系：A 序列和B 序列。普萊爾分別用T-演算（時(shí)態(tài)邏輯）和U-演算（一階對(duì)應(yīng)語(yǔ)言）來(lái)刻畫(huà)它們。雖然U-演算的表達(dá)力明顯強(qiáng)于T-演算，但普萊爾認(rèn)為U-演算應(yīng)該被歸約到T-演算之中。為此，普萊爾采用了混合的方案和技術(shù)增強(qiáng)時(shí)態(tài)邏輯的表達(dá)力，將時(shí)態(tài)邏輯擴(kuò)張為混合時(shí)態(tài)邏輯，也就是在時(shí)態(tài)邏輯語(yǔ)言中添加一類(lèi)被稱(chēng)之為“世界變?cè)被颉笆澜鐮顟B(tài)命題”的命題符號(hào)、模態(tài)詞E（或者“◇”）和A（或者“□”）以及量詞?和?。最終證明了U-演算的所有假設(shè)都可以在混合時(shí)態(tài)邏輯中得到證明，因此證得對(duì)U-演算的歸約。

但普萊爾的上述思想在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有受到應(yīng)有的重視。直到上世紀(jì)九十年代，邏輯學(xué)家們才充分發(fā)掘和認(rèn)識(shí)到普萊爾系列工作的意義，提出了對(duì)現(xiàn)代混合邏輯的設(shè)想。現(xiàn)代混合邏輯的基本語(yǔ)言是在傳統(tǒng)模態(tài)語(yǔ)言中添加一類(lèi)（可數(shù)無(wú)窮多的）新的命題變?cè)謎，和滿足算子@?；净旌险Z(yǔ)言的合式公式可定義為：

與普通模態(tài)語(yǔ)言不同的是，在句法上i是原子公式，表示某個(gè)可能世界的名字，且可以與其他公式和邏輯聯(lián)結(jié)詞組成新的公式，即純公式；還可以與滿足算子組成滿足公式“@i?”。特別地，“@ij”表示“i=j”。

一個(gè)混合邏輯的模型M是一個(gè)三元組。其中，是一個(gè)框架，W是一個(gè)非空的可能世界集，R是W上的二元可及關(guān)系；V是M中原子的賦值函數(shù)。值得注意的是，對(duì)于命題變?cè)猵，V(p)是命題變?cè)猵在其上為真的可能世界的集合；而對(duì)于名字i，V(i)是由名字i所命名的唯一的可能世界組成的單元素集。相對(duì)于普通的正規(guī)模態(tài)邏輯，混合語(yǔ)言中的“新”公式i和@i?在模型M中某一可能世界w上的滿足可定義為：

(1)當(dāng)且僅當(dāng)V(i)={w}；

(2)M,w@i?當(dāng)且僅當(dāng)M,V(i)。

其中，(2)是說(shuō)在模型M中公式?在以i命名的可能世界上是可滿足的。

其實(shí)，在現(xiàn)代模態(tài)邏輯中，關(guān)系語(yǔ)義學(xué)作為研究模態(tài)邏輯語(yǔ)義的基本工具同樣缺乏描述內(nèi)部可能世界的機(jī)制，也就是模態(tài)邏輯的“不對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題，即“關(guān)系語(yǔ)義學(xué)的局部視角與標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)并不完美”。（[2]）模態(tài)邏輯的這一“弱點(diǎn)”導(dǎo)致模態(tài)邏輯不能刻畫(huà)模型中特殊的可能世界，也無(wú)法表示可能世界之間的相等關(guān)系，因此在應(yīng)用中它并非是恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式系統(tǒng)。此外，模態(tài)邏輯的“不對(duì)稱(chēng)”也使得我們很難找到可用的、合適的模態(tài)演繹系統(tǒng)。

劉新文和祝瑞所著的《可能世界的名字》正是從這樣一個(gè)“不對(duì)稱(chēng)”的問(wèn)題視角展開(kāi)對(duì)現(xiàn)代混合邏輯的研究。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都對(duì)混合邏輯進(jìn)行過(guò)深入探討，并且針對(duì)混合邏輯的模型論、證明論和計(jì)算復(fù)雜性等方面都出版了諸多著作。與這些著作不同的是，《可能世界的名字》基礎(chǔ)性地研究了混合邏輯在極小系統(tǒng)方面的成果。全書(shū)共十三章，就研究成果而言，大致可以分為兩部分。第一部分（前十二章）全景式地介紹和研究了混合邏輯對(duì)模態(tài)邏輯的“不對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題所提供的解決方案，包括模態(tài)邏輯的表達(dá)力以及模態(tài)證明論等問(wèn)題；第二部分（第十三章）結(jié)合當(dāng)下最新研究動(dòng)態(tài)，構(gòu)造了混合核證邏輯（hybrid justification logic）的極小系統(tǒng)，將混合邏輯的語(yǔ)義內(nèi)在化與核證邏輯（justification logic）的證明方法內(nèi)在化這兩種理念組合起來(lái)，也由此解決了著名邏輯學(xué)家梅爾文·菲汀（M.Fitting）在2010 年所提出的問(wèn)題。值得一提的是，該書(shū)于2017 年入選《國(guó)家哲學(xué)社會(huì)科學(xué)成果文庫(kù)》。下面我們概述該書(shū)的寫(xiě)作脈絡(luò)和主要研究成果。

首先，作者在前兩章中敘述了混合邏輯的發(fā)展背景和研究動(dòng)機(jī)，以及標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯的句法和語(yǔ)義。指出模態(tài)邏輯中存在關(guān)系語(yǔ)義與模態(tài)句法的“不對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題，而混合邏輯以“詞項(xiàng)用作公式”為核心思想，在句法中為可能世界引入“名字”，添加一類(lèi)新的命題變?cè)?，增?qiáng)模態(tài)語(yǔ)言的表達(dá)力，從而修復(fù)這種“不對(duì)稱(chēng)”。因此在第三章和第四章中，作者在語(yǔ)言LH@中取最弱的正規(guī)模態(tài)語(yǔ)言閉包得到基本混合語(yǔ)言KH@，基于KH@構(gòu)造了基本混合邏輯的極小公理系統(tǒng)HKH@，并證明了其中的一般完全性理論。也就是對(duì)基本混合語(yǔ)言KH@進(jìn)行擴(kuò)充，加入在HKH@中可容許的規(guī)則“從?@i?推出??”和“從?@i◇? →@j?推出?@i□?,i≠j,j??”，得到假設(shè)Γ 是一個(gè)純公式集合，那么對(duì)于由Γ 定義的框架類(lèi)來(lái)說(shuō)是完全的。這一完全性的證明雜糅了模態(tài)邏輯的完全性證明思路和一階邏輯的完全性證明思路，也就是將典范模型與亨金構(gòu)造混合使用。而在得到LH@中純完全性結(jié)果的同時(shí)，作者還得到了混合的薩奎斯特完全性。后一結(jié)果的獲得過(guò)程相較于標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯中相應(yīng)結(jié)果的獲得過(guò)程要更為簡(jiǎn)單。

在介紹完基本混合語(yǔ)言后，作者介紹了表達(dá)力嚴(yán)格強(qiáng)于基本混合語(yǔ)言的混合時(shí)態(tài)語(yǔ)言，并在第六章中對(duì)基本混合語(yǔ)言進(jìn)行了擴(kuò)充，考察了加入全局模態(tài)詞A、差異模態(tài)詞D、模態(tài)約束詞↓和?等算子的語(yǔ)言。其中，帶有量詞的語(yǔ)言LH@?具有完整的一階語(yǔ)言的表達(dá)力，任何一階公式都可以直接寫(xiě)成LH@?的公式。但表達(dá)力的提升并不需要付出額外的代價(jià)。在第七章中，作者論述了混合語(yǔ)言在可判定性、復(fù)雜性和內(nèi)插性上都得到了良好的保持。

在討論完各種混合語(yǔ)言的表達(dá)力后，該書(shū)轉(zhuǎn)向模態(tài)證明論的問(wèn)題。

在第八章至第十二章中，作者較為全面地介紹了混合邏輯的各類(lèi)演繹系統(tǒng)，并描繪出它們最有價(jià)值的特征，也就是在每一種演繹系統(tǒng)中都構(gòu)造出一個(gè)混合邏輯的極小系統(tǒng)，并考察該系統(tǒng)在更強(qiáng)語(yǔ)言和邏輯中的一致擴(kuò)展問(wèn)題。這種廣角式的比較研究既突出了模態(tài)證明論的重要性，也指出在混合邏輯中這些證明方法所具備的良好性質(zhì)。

第十三章解決了混合核證邏輯的極小系統(tǒng)問(wèn)題，也就是將菲汀構(gòu)造的核證邏輯JT的混合版本弱化到核證邏輯J的混合版本JH@。首先，作者給出了JH@的語(yǔ)言和公理系統(tǒng)，JH@的語(yǔ)言LJH@是將核證邏輯語(yǔ)言LJ與混合語(yǔ)言LH@的部分語(yǔ)言相結(jié)合外加一些新符號(hào)所共同構(gòu)成。LJH@中的合式公式由下述規(guī)則定義：

其中t是一個(gè)核證項(xiàng)。t:?被稱(chēng)為核證式，表示?是一個(gè)t作為核證所確定的事件。與句法的構(gòu)成相似，JH@中的公理也是由混合邏輯與核證邏輯的部分公理以及新符號(hào)對(duì)應(yīng)的公理所共同組成。在此基礎(chǔ)上，作者進(jìn)一步證明了JH@的內(nèi)在化定理，完全性定理和顯式性定理。一般而言，內(nèi)在化是核證邏輯的一個(gè)重要性質(zhì)，只有具備這個(gè)性質(zhì)，顯式性才能成立，從而才能將核證邏輯與模態(tài)邏輯對(duì)應(yīng)起來(lái)。而JH@中的內(nèi)在化證明省去了對(duì)自返性典范的事實(shí)公理，只依靠核證邏輯和混合邏輯的其他公理，也就是在定理證明中的某一歸納步驟上，不使用事實(shí)公理而是從其他現(xiàn)有公理中直接得出結(jié)論。在證明完全性定理時(shí)，作者首先通過(guò)林登鮑姆引理構(gòu)造一個(gè)JH@的基礎(chǔ)模型M1=1,R1,ε1,V1；然后進(jìn)一步構(gòu)造M1的生成子模型M2，同時(shí)它也是JH@的典范模型；最后驗(yàn)證M2是否符合JH@的語(yǔ)義條件并證明真值引理，由此就證得了JH@的完全性。混合的核證邏輯不僅在邏輯上將混合邏輯語(yǔ)義內(nèi)在化與核證邏輯證明方法內(nèi)在化的特征結(jié)合起來(lái)。還能在哲學(xué)上將“葛提爾問(wèn)題”與指稱(chēng)理論相結(jié)合，進(jìn)一步對(duì)知識(shí)概念進(jìn)行闡述和分析。

實(shí)際上，中國(guó)社科院哲學(xué)所邏輯室在研究邏輯極小系統(tǒng)方面有著長(zhǎng)久的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，例如張清宇（[3]）和王學(xué)剛（[1]）在此方面的研究成果頗為顯著?！犊赡苁澜绲拿帧费永m(xù)和繼承了這一傳統(tǒng)。作者們著眼于混合邏輯的極小系統(tǒng)方面，深入研究和應(yīng)用了混合邏輯“詞項(xiàng)用作公式”的基本思想，既解釋和說(shuō)明了這一思想在經(jīng)典模態(tài)邏輯領(lǐng)域中的作用和意義，又利用它解決了當(dāng)下的前沿問(wèn)題，使得該書(shū)對(duì)混合邏輯的研究既是基礎(chǔ)性的，又是啟發(fā)性的。并且書(shū)中給出的一些開(kāi)放性問(wèn)題也很值得我們跟進(jìn)，例如：假設(shè)在命名模型的情況下，如何在混合的核證邏輯中證明內(nèi)在化定理？對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的討論既可以在表達(dá)力和元定理方面推進(jìn)混合邏輯的研究，也可以在哲學(xué)上對(duì)有關(guān)知識(shí)的概念進(jìn)行深層次的澄清和表達(dá)。