追尋本質，不為表象所感
——基于對圖形面積度量的教學思考

□北京市海淀區(qū)中關村第一小學 董文彬

一、從一道評價試題的后測分析談起

在教學完北師版三年級下冊“面積”內(nèi)容后，在單元評價試卷中設計了這樣一道題目：

一張長方形裝飾紙，如下圖。

（1）如果剪成邊長是1分米的正方形，可以剪成多少個？

（2）如果剪成面積是4平方分米的正方形，可以剪成多少個？

（3）如果剪成面積是9平方分米的正方形，可以剪成多少個？

學生的思維路徑，總體有如下四種。

做法1：

做法2：

做法 3（以第 2、3問為例）：

學生的作答情況，以兩個班（共計80人）為例，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下。

做法 4（以第 2、3問為例）：

學生思維 正確作答 錯誤作答人數(shù)百分比做法1 6 7.5%做法2 22 27.5%做法3 4 5%做法4 48 60%

正確作答的有14人，僅占30%。其中“做法1”的思維路徑是直接在長方形中畫分格子，畫邊長是1分米的正方形格子，正好可以畫分出48個；畫面積是4平方分米的正方形格子，可以正好畫分出12個；畫面積是9平方分米的正方形格子，可以畫分出4個，還剩下12個1平方分米的格子，即還剩下長12分米寬1分米面積12平方分米的長方形紙條（實際不能再剪浪費掉了）。“做法2”的思維路徑是先考慮在長方形的長的方向上能剪幾個相應的正方形（也就是一行能剪幾個），再考慮在寬的方向上能剪幾個（也就是這樣的幾行），進而計算出一共可剪正方形的總個數(shù)。

錯誤作答的有26人，占65%?！白龇?”的路徑與“做法2”前半部分是重疊的，只是把正方形的“面積”當成了“邊長”，導致運算結果錯誤，進一步導致下一步思路錯亂。其中最典型的錯例是“做法4”，錯誤人數(shù)占到了60%。思維路徑是先計算出長方形的面積，再用長方形的面積去除以相應正方形的面積，學生認為長方形的面積里包含有幾個正方形的面積，就可以剪幾個正方形。

二、由此引發(fā)的思考及對圖形度量教學的認識與啟示

后測之后，學生的思維軌跡暴露出的問題引起了我的一連串的疑問：為什么會有那么多學生都出現(xiàn)了“做法4”那樣的錯誤思考？這種錯誤的思考是怎樣產(chǎn)生的？錯誤背后的原因是什么？學生這樣錯誤的路徑背后有沒有他所認為的“合理”之處？如果有，這種“合理”表現(xiàn)在哪兒？學生為什么理所當然地認為這種錯誤是對的？學生的思維擱淺在哪里？

1.把握轉折，從一維走向二維。

學生之所以會錯誤地認為“長方形的面積里包含有幾個正方形的面積，就可以剪幾個正方形”，是有其道理的。我們來看一個對“做法4”學生訪談的典型案例。

師：明白這樣做錯在哪了嗎？

生：我覺得這樣做是對的呀，不明白錯在哪了。

師：說說你是怎么想的？

生：要在一張長方形紙上剪正方形，就是看長方形的面積里有幾個正方形的面積，有幾個就能剪幾個，用除法解決就行了。

師：你為什么這樣認為？

生：我記得以前做過類似剪鐵絲的問題，比如有一根長12厘米的鐵絲，如果剪成4厘米一段的鐵絲，能剪幾段？就是看12厘米里有幾個4厘米，用除法解決就是12÷4=3（段），和這道題的意思差不多。

師：解決剪紙和剪鐵絲問題的方法一樣嗎？

生：（支支吾吾）……應該是一樣的吧……

（老師啟發(fā)他從現(xiàn)實情況出發(fā)，思考實際操作中會怎樣去剪。）

生：……一樣……不一樣……

（接下來他就陷入了面積與長度度量“一樣”和“不一樣”的糾結之中。）

看來，學生是把一維長度的度量經(jīng)驗遷移到了二維面積的度量當中來。學生在學習圖形面積度量之前已經(jīng)積累了長度度量的活動經(jīng)驗，這樣的操作經(jīng)驗和思維經(jīng)驗很容易被遷移到面積中來，因此大部分學生錯誤地出現(xiàn)“做法4”不是沒有原因的。學生將長度的度量過程類比遷移到面積的度量中，這樣的經(jīng)驗只在一種情況下是可行的，就是“長方形的長和寬分別都能正好被正方形的邊長整除”時（這種情況包含了正方形是面積單位的情形），但對學生來說想要跨越這種認識是非常困難的，而這正是圖形度量從一維到二維在本質上的不同之處。長度、面積和體積是最基本的度量幾何學概念，雖然測量過程其本質是一樣的，但由于圖形的維度不同，在實際教學中需要幫助學生把握這種從一維到二維認識的重要轉折，真正區(qū)分理解不同維度圖形測量的數(shù)學意義。

2.貫通關聯(lián)，從數(shù)學走向現(xiàn)實。

在教學中，我們越來越關注貫通于生活與數(shù)學之中的數(shù)學化，一種是橫向數(shù)學化，是從具體的內(nèi)容創(chuàng)造數(shù)學的形式的數(shù)學化，另一種是縱向數(shù)學化，是從抽象的形式繼續(xù)發(fā)現(xiàn)深刻內(nèi)容的更高水平的數(shù)學化。然而，我們有時往往弱化或忽視了貫通于數(shù)學與生活之中的現(xiàn)實化，這是從數(shù)學形式走向現(xiàn)實內(nèi)容的現(xiàn)實化。學生出現(xiàn)“做法4”的錯誤思考路徑，從這個視角上看也反映出數(shù)學與現(xiàn)實的失聯(lián)。學生認為“長方形的面積里包含有幾個正方形的面積，就能從長方形里剪幾個正方形”，這是知識經(jīng)驗的錯誤遷移，或者說這是學習者意識中特別數(shù)學化、理想化的想法，而現(xiàn)實中實際操作并不是這樣，如果真要去剪（要剪得正方形數(shù)量最多），應該是“一行一行”（或“一列一列”）地剪，先看一行（或一列）能剪幾個，再考慮能剪幾行（或幾列），因為只有這樣操作才能以正方形面積為“標準”不重疊、也不留縫隙地最大化地把整個長方形剪完。學生在解決問題時不考慮從現(xiàn)實情況出發(fā)，沒有思考實際中會怎樣去操作，背離了數(shù)學與現(xiàn)實生活的實際關聯(lián)，喪失了數(shù)學本身的意義。實際教學中，我們要幫助學生貫通這樣的關聯(lián)，啟發(fā)學生解決問題時要從數(shù)學走向現(xiàn)實，讓兒童的數(shù)學思考和學習變得真實而有意義。

3.回歸本源，從方法走向思想。

“求”長方形的面積是在認識了面積和面積單位、已經(jīng)掌握了長方形（正方形）特征的基礎上展開學習的，其本質是對面積進一步的再認識，其核心思想是度量?；仡櫋伴L方形的面積”的教學（以北師版教材為例），我們一般是從兩種角度啟發(fā)探索長方形的面積，一種是用面積單位不重疊、也不留空隙地鋪滿長方形，所用面積單位的個數(shù)就是長方形面積的數(shù)量；另一種是不用密鋪，只要用面積單位分別擺滿長和寬，就能算出擺滿長方形所需的面積單位的個數(shù)。

這兩種角度都是為了幫助學生理解用面積單位測量長方形面積的方法。我們用這種（鋪）數(shù)方格的辦法給長和寬都是自然數(shù)的長方形指定了面積，其中數(shù)方格的過程蘊含了面積的有限可加性，幫助學生體會圖形的面積就是圖形所包含的面積單位的數(shù)量，深刻地體現(xiàn)了圖形測量中的度量思想。但是這樣用面積單位去測量圖形面積的度量經(jīng)驗，也會對學生解決問題時出現(xiàn)“做法4”產(chǎn)生錯誤的影響。如果不是用面積單位去測量長和寬都是自然數(shù)的長方形的面積，這樣的經(jīng)驗對學生的數(shù)學思考就形成了負遷移。

回歸本源，反思教學，我們需特別關注一開始探索長方形面積時所蘊含的一維與二維之間的關系以及它們之間的一一對應思想。在選擇面積單位測量長方形的面積之后，一般是填表、觀察、發(fā)現(xiàn)長方形的面積的數(shù)學模式表達，即“長方形的面積=長×寬”（如下圖）。

長和寬刻畫的都是一維的幾何學概念，面積刻畫的是二維的幾何學概念，二者維度不同，為什么能扯上聯(lián)系？它們之間怎么會有這樣的聯(lián)系？為什么會有這樣的聯(lián)系？這是在教學中有必要幫助學生明晰、理解和體會的（如下圖）。

長方形的“長包含的長度單位的個數(shù)”（一維）對應于 “每行擺面積單位的個數(shù)”（二維），“寬包含的長度單位的個數(shù)”（一維）對應于“行數(shù)”（二維）。 “長×寬”，即“長包含的長度單位的個數(shù)×寬包含的長度單位的個數(shù)”，即“每行擺面積單位的個數(shù)×行數(shù)”，即長方形的面積。可見，一維（長度）和二維（面積）之間存在著的這種一一對應關系，教學中需要幫助學生領悟這種一一對應關系，明晰了這種一一對應關系，才能更好更深刻地體會圖形面積的度量思想以及圖形度量的數(shù)學意義。