幾何畫(huà)板的教學(xué)設(shè)計(jì)與建議
——以《直線的傾斜角與斜率》為例

□海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 鄭伊楠 林瑞記

2017版課程改革的出臺(tái)和信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，對(duì)我國(guó)教育改革提出了更高的要求。教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出：重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。[1］“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代信息技術(shù)被廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的變革產(chǎn)生行潛移默化的影響。信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)和教師教的重要手段，搭建起教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生、計(jì)算機(jī)與學(xué)生交流的橋梁，為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)供應(yīng)了海量的教育素材。所以，教師必須要重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變教學(xué)模式。

幾何畫(huà)板教學(xué)的思想和課程改革的基本理念是一致的。幾何畫(huà)板是一種激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)輔助工具，尤其是在幾何課程中的充分應(yīng)用，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，有效提高課堂的教學(xué)效率。幾何畫(huà)板繪圖和計(jì)算等功能能夠準(zhǔn)確、生動(dòng)地將原本很抽象的概念通過(guò)形象的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前。能夠同時(shí)完成模擬若干幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化并形成鮮明的對(duì)比，造成學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生通過(guò)直觀感受收獲某些圖形或概念的形成過(guò)程。

一、幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備工作

在借助幾何畫(huà)板進(jìn)行課堂教學(xué)前，首先要做好幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備工作，直觀化、描述與分析、抽象與關(guān)聯(lián)和形式推理等學(xué)習(xí)過(guò)程都要借助幾何畫(huà)板來(lái)實(shí)現(xiàn)，幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)的質(zhì)量直接關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。

1.找準(zhǔn)教學(xué)融合點(diǎn)。

新課改提倡教師“用教材教”，而非“教教材”。教師應(yīng)當(dāng)靈活地使用教材，有取舍地對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行改組和整合，適當(dāng)加入自己的想法和智慧，選取適合用幾何畫(huà)板軟件的內(nèi)容對(duì)教材進(jìn)行精加工。在幾何畫(huà)板教案設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備階段，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生學(xué)情出發(fā)，仔細(xì)研究高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，找準(zhǔn)教學(xué)切入點(diǎn)并制定合理教學(xué)目標(biāo)，以熟練的幾何畫(huà)板操作技能設(shè)計(jì)好幾何畫(huà)板教學(xué)設(shè)計(jì)，才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生且生動(dòng)活潑的教學(xué)課件，充分做到激活教材中的教學(xué)內(nèi)容。

2.預(yù)設(shè)教學(xué)過(guò)程。

在借助幾何畫(huà)板的教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)情景既具有教學(xué)本身所帶來(lái)的不確定性，又具備幾何畫(huà)板教學(xué)情景的豐富性。倡導(dǎo)學(xué)生自主探究并不意味著完全開(kāi)放式的教學(xué)，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用同樣不容忽視。首先，明確教學(xué)目標(biāo)，清楚幾何畫(huà)板在教學(xué)中所起到的作用，不僅僅作為一種作圖工具，還作為一種啟發(fā)思維的研究工具，做好幾何畫(huà)板的技術(shù)操作定位。在明確教學(xué)的目標(biāo)和操作定位以后，可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置一系列的問(wèn)題提示。通過(guò)問(wèn)題推動(dòng)課堂教學(xué)的發(fā)展，主要經(jīng)歷的過(guò)程同樣是思維得到發(fā)展的過(guò)程：直觀化；描述與分析；抽象與關(guān)聯(lián)；形式推理。[2］此外，預(yù)設(shè)的問(wèn)題不能太過(guò)死板，這樣無(wú)法使學(xué)生思維得到發(fā)展；也不能跳躍性太大，否則容易導(dǎo)致學(xué)生探究方向的迷失；預(yù)設(shè)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具有一定的彈性，因?yàn)榻虒W(xué)本身具有一定的不確定性，如果實(shí)際探究問(wèn)題的過(guò)程中出現(xiàn)障礙，需要教師能夠靈活采用教學(xué)機(jī)智來(lái)彌補(bǔ)和銜接。因此，精彩的幾何畫(huà)板教學(xué)過(guò)程需要以預(yù)設(shè)問(wèn)題為基礎(chǔ)，以教學(xué)機(jī)智輔助，不斷向教學(xué)目標(biāo)靠近。

3.做好學(xué)情分析。

教師備課同樣做好學(xué)情分析，充分考慮學(xué)生的知識(shí)水平，接受能力，學(xué)習(xí)方式，班級(jí)風(fēng)氣以及身心發(fā)展水平等因素，盡量能夠滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，尋求共性，發(fā)展個(gè)性，靈活進(jìn)行幾何畫(huà)板的教學(xué)設(shè)計(jì)。這就需要教師在日常的教學(xué)過(guò)程中多關(guān)注學(xué)生，了解學(xué)生的興趣點(diǎn)，尤其是與課程相關(guān)知識(shí)的掌握情況，對(duì)信息技術(shù)有關(guān)新鮮事物的接受程度等等。只有充分了解學(xué)生，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)入手，做好學(xué)情分析，靈活地進(jìn)行幾何畫(huà)板的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能更好地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程的有效性。

二、幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)實(shí)踐

幾何畫(huà)板可以畫(huà)出點(diǎn)、線、圓等等平面圖形，度量功能可以測(cè)量線段的長(zhǎng)度、距離、角度、周長(zhǎng)、面積等等，計(jì)算功能包括四則運(yùn)算、新建函數(shù)等等。更為重要的是，當(dāng)拖動(dòng)改變一個(gè)量時(shí)，幾何畫(huà)板中幾何關(guān)系可以保持不變。以《直線的傾斜角與斜率》為例：

本節(jié)課的難點(diǎn)是直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系。先繪制單位圓，再利用正切線將直線的傾斜角和斜率建立起幾何關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思考問(wèn)題的習(xí)慣。在課堂上，學(xué)生樂(lè)于融入到教學(xué)情境，直線的傾斜角概念符合學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，也是一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的 “再創(chuàng)造”。[3］隨后，引出在無(wú)法測(cè)量角度時(shí)刻畫(huà)直線傾斜程度的探究實(shí)驗(yàn)，鍛煉學(xué)生的理性思維，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的重要作用。

直線的傾斜角與斜率參考書(shū)目 高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第三章第一節(jié)課題教材分析直線的傾斜角與斜率是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)通過(guò)坐標(biāo)法研究直線及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。本概念的學(xué)習(xí)使學(xué)生經(jīng)歷和了解平面直角坐標(biāo)系內(nèi)幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法，具有開(kāi)啟全章，奠定基調(diào)的重要作用。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)概念以及思想方法的認(rèn)知水平得到了很大提高，但考慮到不同層次的學(xué)生之間還存在較大差異，本節(jié)課借助幾何畫(huà)板并從直觀感知入手，激勵(lì)學(xué)生不斷探索求知，使教學(xué)更加生動(dòng)活潑。教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能理解直線傾斜角與斜率的概念2.過(guò)程與方法通過(guò)設(shè)計(jì)滑梯的兩個(gè)生活情景，經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，滲透解析幾何思想，加強(qiáng)函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀使學(xué)生感受探索發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣與成就感，培養(yǎng)學(xué)生持之以恒的求知精神和認(rèn)真思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)直線的傾斜角和斜率的概念。教學(xué)難點(diǎn)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系。一、傾斜角的教學(xué)設(shè)計(jì)片段階段 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖直觀感知某滑梯工廠接到兩份訂單，需要分別為一所幼兒園和一所小學(xué)量身定制一副滑梯。在保證滑梯安全性能的基礎(chǔ)上，幼兒園希望滑梯更穩(wěn)一些，小學(xué)則要求滑梯更刺激些。如果你是工廠的設(shè)計(jì)師，你會(huì)對(duì)滑梯的設(shè)計(jì)提出哪些建議？增加學(xué)生對(duì)傾斜角的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到傾斜角在現(xiàn)實(shí)生活中的意義，激發(fā)學(xué)習(xí)傾斜角的興趣。描述與分析假設(shè)滑梯所在直線為∫，以滑梯底端為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，問(wèn)滑梯的傾斜程度應(yīng)當(dāng)如何描述？從而得出傾斜角的概念，并進(jìn)行板書(shū)。增加學(xué)生對(duì)傾斜角的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到傾斜角在現(xiàn)實(shí)生活中的意義，激發(fā)學(xué)習(xí)傾斜角的興趣。傾斜角的范圍是多少？抽象與關(guān)聯(lián)讓學(xué)生在直線旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中得到活動(dòng)體驗(yàn)，獲得關(guān)于傾斜角范圍的活動(dòng)知識(shí)。

（1）任何一條直線都有傾斜角嗎？（2）不同直線，傾斜角一定不相同嗎？（3）利用直線的傾斜角，如何確定直線的位置？形式推理動(dòng)態(tài)演示對(duì)應(yīng)元素，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中對(duì)傾斜角進(jìn)行不同的活動(dòng)體驗(yàn)，有利于發(fā)現(xiàn)傾斜角各個(gè)元素間的關(guān)系。掌握并靈活運(yùn)用教師重新演示傾斜角的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，學(xué)生重溫知識(shí)體驗(yàn)。通過(guò)活動(dòng)加深學(xué)生對(duì)傾斜角是刻畫(huà)直線傾斜程度的量的理解，以及幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想。二、斜率的教學(xué)設(shè)計(jì)片段階段 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖描述與分析滑梯工廠經(jīng)研究，計(jì)劃將幼兒園定制滑梯的傾斜角設(shè)計(jì)為3 0°，將小學(xué)定制滑梯的傾斜角設(shè)計(jì)為4 5°。如果你是工廠的設(shè)計(jì)師，但在繪制圖紙時(shí)卻沒(méi)有量角器，你又該如何做出這些角度呢？（以45°為例）在第一個(gè)情景的直觀感知的基礎(chǔ)上，給學(xué)生提供一個(gè)自由的空間發(fā)揮想象，讓學(xué)生動(dòng)手操作。利用幾何畫(huà)板的計(jì)算功能及時(shí)檢驗(yàn)作圖的正確性。借助直觀的測(cè)量數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)另一種刻畫(huà)直線傾斜程度的量即斜率下定義，并進(jìn)行板書(shū)。抽象與關(guān)聯(lián)分享學(xué)生的方法，展現(xiàn)問(wèn)題解決的多樣性，鼓勵(lì)同學(xué)間相互交流，合作學(xué)習(xí)。三、傾斜角與斜率之間關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)片段階段 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖描述與分析直線傾斜角與斜率之間有什么關(guān)系？即（1）任何一條直線都有斜率嗎？（2）直線的傾斜角不同，斜率是否不同？用計(jì)算工具分別把直線的傾斜角和斜率測(cè)量出來(lái)，通過(guò)這種數(shù)形轉(zhuǎn)化的方式構(gòu)造直線的傾斜角和斜率，將圖形關(guān)系更加明顯。形式推理旋轉(zhuǎn)直線，觀察直線的斜率隨傾斜角的變化而變化的過(guò)程，你能得出什么結(jié)論？激發(fā)認(rèn)知沖突，再次引發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究和思考，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、測(cè)量、猜想和證明等活動(dòng)過(guò)程。抽象與關(guān)聯(lián)完善斜率定義：K=tanα，α≠90°不存在，α=90°｛利用幾何畫(huà)板讓問(wèn)題本質(zhì)變得更加明顯，有利于學(xué)生理解兩個(gè)問(wèn)題的統(tǒng)一本質(zhì)，感性理解直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系。

三、幾何畫(huà)板在設(shè)計(jì)和使用中的改進(jìn)建議

1.簡(jiǎn)化頁(yè)面的版式設(shè)計(jì)。

幾何畫(huà)板軟件在教學(xué)中關(guān)鍵作用在于幫助教師更好地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)生也能夠通過(guò)更加直觀的方式增強(qiáng)對(duì)所學(xué)新知識(shí)的理解。然而有些教師為了吸引學(xué)生的注意力將更多關(guān)注點(diǎn)放在追求課件的美觀性和高難度的動(dòng)畫(huà)上，雖然設(shè)計(jì)出的課件在版式的顏色，圖像，動(dòng)畫(huà)上更能搏人眼球，但卻分散了學(xué)生的注意力，學(xué)生不容易抓住學(xué)習(xí)目標(biāo)，最終導(dǎo)致課程教學(xué)目標(biāo)的偏離，有炫技的之嫌。所以，教師應(yīng)當(dāng)把更多的精力放在教學(xué)過(guò)程各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上，課件的版式簡(jiǎn)單明了突出核心知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美。

2.突出學(xué)生的主體地位。

隨著教育改革不斷推進(jìn)，教師逐漸認(rèn)識(shí)到學(xué)生的主體地位，但是很多教師在實(shí)際教學(xué)中依然從自身角度出發(fā)，設(shè)計(jì)如何進(jìn)行教學(xué)，如何順利完成教學(xué)任務(wù)，這種忽略學(xué)校、班級(jí)、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的教學(xué)勢(shì)必會(huì)影響課堂教學(xué)的效果。在實(shí)際調(diào)查的情況中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生對(duì)幾何畫(huà)板軟件具有很強(qiáng)的好奇心，在操作過(guò)程中教師應(yīng)當(dāng)注意觀察學(xué)生的反應(yīng)，靈活調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，還可以適當(dāng)增加一些學(xué)生親自動(dòng)手的機(jī)會(huì)，切不可走馬觀花。讓學(xué)生在做中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，親身經(jīng)歷知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，真正發(fā)揮學(xué)生的主體性和知識(shí)的主體建構(gòu)。

3.重視與板書(shū)教學(xué)結(jié)合。

正確處理板書(shū)和幾何畫(huà)板中的文本信息之間的關(guān)系對(duì)于教學(xué)來(lái)說(shuō)是十分有必要的。板書(shū)是教師的微型教案，它展現(xiàn)出一節(jié)課的重要內(nèi)容，幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，尤其在教學(xué)過(guò)程的習(xí)題和總結(jié)環(huán)節(jié)，板書(shū)中的重要內(nèi)容更是起到了啟發(fā)指導(dǎo)的作用。因此，在教學(xué)中要將幾何畫(huà)板與板書(shū)教學(xué)有效結(jié)合。板書(shū)可以使學(xué)生更好地跟上教師的課堂節(jié)奏，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間邏輯關(guān)系的理解，同時(shí)也能夠讓學(xué)生清楚本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)，特別是一些重要的概念、公式和定理。需要注意的是，在幾何畫(huà)板的設(shè)計(jì)中，不必重復(fù)板書(shū)的內(nèi)容，豐富板書(shū)的表現(xiàn)形式，兩者之間相互配合實(shí)現(xiàn)課程資源的合理利用；在幾何畫(huà)板的使用中，教師也應(yīng)當(dāng)講究教學(xué)的先后順序，先動(dòng)畫(huà)還是先板書(shū)，以及與語(yǔ)言講解之間的配合。

四、結(jié)語(yǔ)

幾何畫(huà)板的優(yōu)勢(shì)已逐漸突顯，越來(lái)越多的教師投身到幾何畫(huà)板課程開(kāi)發(fā)的行列，利用幾何畫(huà)板進(jìn)行授課成為一種教學(xué)潮流。希望本論文的研究能幫助廣大高中數(shù)學(xué)教師全面了解幾何畫(huà)板，并能夠與課堂教學(xué)更好地融合。