重視圖形積累 提煉特殊圖形

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué) 房琳穎

數(shù)學(xué)幾何是中學(xué)較為重要的一門學(xué)科，學(xué)生在求解較為復(fù)雜的圖形時(shí)往往會陷入思維的停滯，無法找到合理的解題思路，造成該種情形的主要原因是難于從復(fù)雜的圖形中分解提煉出特殊圖形，不能借助特殊圖形的特殊性質(zhì)來分析問題，從而打開解題的思路，特殊圖形的提煉存在一定的技巧性，下面將詳細(xì)講解.

一、分析幾何關(guān)系，提煉特殊圖形

利用特殊圖形的特殊性質(zhì)可以為推理提供重要的理論依據(jù)，對于簡單的問題圖形，可以直接從原圖中提取，即采用直接提煉的方式.提煉時(shí)，首先可以根據(jù)已知條件推導(dǎo)一些與圖形邊、角相關(guān)的結(jié)論，然后綜合分析結(jié)論，由定理聯(lián)想圖形，將圖式中的關(guān)鍵圖形提取出來.

y軸相交于點(diǎn)A，C，直線l2過點(diǎn)B（-2，0）與直線l1相交于y軸上的同一點(diǎn)C，而動點(diǎn)P以每秒一個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A移動，動點(diǎn)Q以每秒兩個單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C移動.

圖1

圖2

（1）試求直線l2的解析式；

（2）試證明：線段BC上存在一點(diǎn)E，使得∠PEQ=∠B.

分析：（1）略.（2）求證BC上存在一點(diǎn)E，使得∠PEQ=∠B，可以假設(shè)結(jié)論成立來逆推線段BE的長度來證明.根據(jù)已知的邊和角，結(jié)合從原圖中提煉的圖形，如圖2，可以發(fā)現(xiàn)存在一組特殊關(guān)系的特殊圖形，△BPE與△CEQ相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可以建立關(guān)于BE長度的關(guān)系式，對關(guān)系式的代數(shù)分析即可證明BE是否存在.

解：（1）點(diǎn)C（0，4），B（-2，0），則直線l2的解析式為y=2x+4.

（2）證明：由直線l1的解析式可得點(diǎn)A（3，0），C（0，4），則AB=AC=5，∠ABC=∠ACB，假設(shè)∠PEQ=∠B成立，則可得一組相似的特殊圖形：△BPE～△CEQ.設(shè)BE=m，BP=

點(diǎn)評：上述問題圖形中存在一組相似的特殊圖形，其相似的對應(yīng)邊關(guān)系是實(shí)現(xiàn)后續(xù)推理的關(guān)鍵，提取的方式也較為簡單直接，結(jié)合已知條件探求相似三角形角的性質(zhì)即可實(shí)現(xiàn)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中積累特殊圖形的特殊性質(zhì)是實(shí)現(xiàn)圖形準(zhǔn)確提取的基礎(chǔ)，如總結(jié)相似三角形、等腰三角形、直角三角形的邊角特征，建立定理與圖形之間的聯(lián)系.

二、添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形

而對于一些復(fù)雜問題，僅綜合考慮問題的條件和結(jié)論難以直接提取，則需要在對圖式進(jìn)行分析、抽象時(shí)，嘗試通過添加輔助線的方式來構(gòu)造特殊圖形.該種情形分析圖形時(shí)，則不能將思維停留在圖式局部，需要從整體上來考慮.

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E位于BC邊上，且∠DAE=45°，試證明BD2+EC2=DE2.

圖3

圖4

分析：證明BD2+EC2=DE2，聯(lián)想到直角三角形中的勾股定理，可以將其放到直角三角形中來證明，則可以依托邊EC來構(gòu)造直角三角形，通過已知條件建立其邊長與結(jié)論中邊的關(guān)系來解決.

證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連接ED′，如圖4.

由△ACD′?△ABD的性質(zhì)可得CD′=BD，AD′=AD.

則△ADE?△AD′E，所以DE=D′E.

在Rt△ABC中，AB=AC，則，∠ABC=∠ACB=45°，可得∠D′CE=90°，則△CED′是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得CD′2+EC2=ED′2，由DE=D′E，CD′=BD可證BD2+EC2=DE2.

點(diǎn)評：上述解題過程從結(jié)論入手，通過旋轉(zhuǎn)和添加輔助線的方式構(gòu)造了全等三角形和直角三角形，通過圖形的性質(zhì)建立了邊的關(guān)系，完成了結(jié)論證明.其中涉及到全等三角形、等腰三角形等特殊圖形，正是利用這些圖形的特殊性質(zhì)才實(shí)現(xiàn)了問題的解答，輔助線的添加對于圖形的提煉有著重要的作用.

三、真實(shí)事物抽象，轉(zhuǎn)化特殊圖形

從實(shí)際生活事物中抽象特殊圖形是一種較為特殊的圖形提煉方式，該種方式具有一定的復(fù)雜性，不僅需要保證圖形的整體情況相一致，還需要對圖形中的尺寸做出準(zhǔn)確地標(biāo)定.在圖形抽象過程中應(yīng)盡量向三角形、正方形、圓以及扇形靠近，力求合理利用這些圖形的性質(zhì)來求解.

四、進(jìn)一步的思考

1.充分認(rèn)識圖形，關(guān)聯(lián)特殊性質(zhì)

充分認(rèn)識特殊圖形是用好特殊圖形的基礎(chǔ)，對于特殊圖形的認(rèn)識需要分三種情形來記憶，一類是最為基礎(chǔ)的等腰三角形、直角三角形、等邊三角形等；二類是具有特殊關(guān)系的圖形，如全等三角形、相似三角形等；第三類則是具有典型性的圖形，如對稱圖形、由一類圖形組合而來的復(fù)雜圖形.其次，對于特殊圖形需要從定理角度來認(rèn)識，如等角對等邊、直角三角形的勾股定理、相似三角形的邊長關(guān)系等，往往特殊圖形之間有著性質(zhì)上的特殊，建立定理與圖形之間的相互關(guān)聯(lián)，形成特定的幾何思維對于圖形認(rèn)識有著重要意義.

2.重視圖形積累，形成特殊意識

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程本身就是不斷積累、鞏固、強(qiáng)化知識經(jīng)驗(yàn)的過程，對于提煉特殊圖形同樣適用，不僅需要積累圖形提取的方式，如上述講解的直接提煉、添加輔助線和生活事物抽象，還需要對特殊圖形的特征進(jìn)行積累，促進(jìn)特殊意識的形成，包括圖形的特殊數(shù)值、特殊角度和特殊關(guān)系.在平時(shí)的積累中需要有意識地將其歸納出來，只有這樣，遇到新問題時(shí)才能產(chǎn)生充分的聯(lián)想，這也是模式化解題的一般思路，合理利用往往可以取得較好的解題效果.

3.感悟特殊圖形，上升理論高度

將對于特殊圖形的認(rèn)識上升到理論高度是提升解題能力的關(guān)鍵，特殊圖形的提取過程有時(shí)需要利用建模思想，構(gòu)建理論本身就是一種較為重要的實(shí)踐理論，通過對圖形的深入分析和綜合考慮，在輔助技巧的結(jié)合下將其構(gòu)建成特殊的圖形，這就是構(gòu)建理論的指導(dǎo)思想，圖形構(gòu)建的過程需要對問題全面考慮，因此對學(xué)生的思維能力有一定的要求.另外，圖式理論也是圖形利用的重要理論，圖式是幾何個體本身所具有的結(jié)構(gòu)特征，對于學(xué)生認(rèn)識圖形本質(zhì)，發(fā)揮幾何作用有著重要的意義，感悟圖形時(shí)，可以將與問題相關(guān)聯(lián)的圖式單獨(dú)提取出來，便于問題的解答.

五、寫在最后

總之，分析幾何關(guān)系、添加輔助線、真實(shí)事物抽象是提取特殊圖形較為重要的方法，合理利用特殊圖形的邊、角特性，結(jié)合定理推論可實(shí)現(xiàn)問題的高效解答，因而圖形提取的效果往往決定著解題的效率.利用特殊圖形解題，首先需要充分認(rèn)識圖形，建立圖形與性質(zhì)間的相互關(guān)聯(lián)；其次需要重視對于特殊圖形的積累，逐步形成解題的特殊意識；然后對特殊圖形加以感悟，將其上升到指導(dǎo)解題的理論高度，從實(shí)踐的角度學(xué)習(xí)理論思想.

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