突出函數(shù)之間聯(lián)系，綜合考查學(xué)生能力
——關(guān)于考查函數(shù)知識的中考題析解

☉山東省膠州第八中學(xué) 劉乃志

函數(shù)是刻畫變量之間相互依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）界定的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)概念之一，是代數(shù)的“紐帶”.這部分的主要內(nèi)容有：對函數(shù)的有關(guān)認(rèn)識、一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用函數(shù)的有關(guān)知識解決實(shí)際問題等.

各地的中考題中對于函數(shù)知識的考題都占有較大的比例.下面從2017年各地的中考數(shù)學(xué)試卷中，選擇部分典型例題進(jìn)行析解.

一、只考查某一種函數(shù)的性質(zhì)

初中階段學(xué)生只學(xué)習(xí)三種函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).有關(guān)這三種函數(shù)的概念、表示方法、性質(zhì)、圖像等知識都是《課標(biāo)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)的基礎(chǔ)知識，中考題中經(jīng)常出一些考查某一種函數(shù)的題目，這樣的題目屬于“送分題”，考查形式可以選擇題、填空題、解答題.

例1（山東泰安）已知一次函數(shù)y＝kx-m-2x的圖像與y軸的負(fù)半軸相交，且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.k＜2，m＞0 B.k＜2，m＜0 C.k＞2，m＞0 D.k＜0，m＜0

解析：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，是所有學(xué)生都能夠自主解答的題目.由一次函數(shù)y＝kx-m-2x的圖像與y軸的負(fù)半軸相交且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，可得出k-2＜0、-m＜0，解得k＜2，m＞0.故選A.

例2（貴州黔東南）如圖1，已知點(diǎn)A，B分別在

圖1

段OB的中點(diǎn)，則k的值為________.

解析：本題主要考查學(xué)生對反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)的理解情況.設(shè)A（a，b），則B（2a，2b），把點(diǎn)A的

例3（湖北荊州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k＝0，其中k為常數(shù).

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

（2）已知函數(shù)y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍；

（3）若原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求k的最大整數(shù)值.

分析：（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據(jù)判別式的意義即可證明.（2）由于二次函數(shù)y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經(jīng)過第三象限，又△＝（k-5）2-4（1-k）＝（k-3）2+12＞0，所以拋物線的頂點(diǎn)在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線開口向上，由此可以得出關(guān)于k的不等式組，解不等式組即可求解.（3）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，根據(jù)題意得（x1-3）（x2-3）＜0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得k的取值范圍，再進(jìn)一步求出k的最大整數(shù)值.

解：（1）證明：因?yàn)椤鳎剑╧-5）2-4（1-k）＝k2-6k+21＝（k-3）2+12＞0，

所以無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經(jīng)過第三象限，二次項(xiàng)系數(shù)a＝1，所以拋物線開口方向向上.

因?yàn)棣ぃ剑╧-3）2+12＞0，

所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，

則k的最大整數(shù)值為2.

點(diǎn)評：二次函數(shù)與一元二次方程有密切的關(guān)系，當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值為0時(shí)，就成為一元二次方程ax2+bx+c=0，反映在圖像上時(shí)，y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)值就是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)解，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，也是中考的考點(diǎn)之一.本題就從這個(gè)聯(lián)系點(diǎn)入手，考查的知識點(diǎn)主要有：一元二次方程根的判別式；拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)等.

教學(xué)中結(jié)合具體的課程內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“四基”.通過系列活動，讓學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成基本技能，感悟基本思想，不斷積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這樣學(xué)生就能具有基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有了這樣的素養(yǎng)，不僅能在各種考試中獲取一個(gè)理想的分?jǐn)?shù)，而且能在繼續(xù)學(xué)習(xí)中發(fā)揮優(yōu)勢，不斷提高自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、同時(shí)考查兩種函數(shù)的性質(zhì)

這三種函數(shù)的知識相互結(jié)合，形成所謂的“綜合題”，主要是以某兩種函數(shù)相結(jié)合的形式出現(xiàn)，目的是考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識解決問題的能力.

1.一次函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合

圖2

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式.

（2）M（m，0）為x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P，N.

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值.

從而得到拋物線的解析式.（2）根據(jù)MN⊥x軸和M（m，0）可得N點(diǎn)的坐標(biāo).①分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況求M的坐標(biāo).②分N分別為PM，NM，PN的中點(diǎn)三種情況求m的值.

因?yàn)樵凇鰽PM中和△BPN中，∠APM=∠BPN，∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP=90°.

分兩種情況討論如下：

（?。┊?dāng)∠NBP=90°時(shí)，過點(diǎn)N作NC⊥y軸于點(diǎn)C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的綜合題.考查的主要知識有一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法等.由于動點(diǎn)的“參入”使得題目的難度增大.所以這是一道關(guān)于動態(tài)幾何的函數(shù)綜合壓軸題.動態(tài)幾何的函數(shù)綜合壓軸題已成為中考命題的熱點(diǎn).解決此類問題的一般思路是化動為靜，找出圖形變化中不變的量和等量關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的模型（本題是建立相似模型和方程模型），從而達(dá)到解答的最終目標(biāo).這樣的題目對于考查學(xué)生的閱讀理解能力，綜合分析與判斷能力都是非常有益的.從數(shù)學(xué)思想的高度看，本題主要涉及數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想.

2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合

例5（重慶卷）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖像與反比例函數(shù)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BM⊥x軸，垂足為M，BM=OM，OB=，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）連接MC，求四邊形MBOC的面積.

分析：（1）根據(jù)題意可得B的坐標(biāo)，從而可求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)行求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可求得一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式可以求得點(diǎn)C，點(diǎn)M，點(diǎn)B，點(diǎn)O的坐標(biāo)，從而可求得四邊形MBOC的面積.

解：（1）由題意可得，BM=OM，所以BM=OM=2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2）.

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，得k=4，所以反比例函數(shù)的解析式為

因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4，所以，得x=1，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）.

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=mx+n（m≠0）的圖像過點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（-2，-2），

（2）因?yàn)閥=2x+2與y軸交與點(diǎn)C，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

圖3

因?yàn)辄c(diǎn)B（-2，-2），點(diǎn)M（-2，0），點(diǎn)O（0，0），

所以O(shè)M=2，OC=2，MB=2，

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的問題.第一問求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是考察函數(shù)知識常見的題型，求解析式的“通法”就是用待定系數(shù)法確定出未知的系數(shù)，為此，往往需要建立方程或方程組模型，所以考察函數(shù)問題時(shí)常與方程的知識融合在一起.第二問求四邊形的面積是函數(shù)與幾何相結(jié)合的典型問題.這樣的考題形式多樣，例如，有的題目告訴我們某個(gè)圖形的頂點(diǎn)在某種函數(shù)圖像上，或是某兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，讓同學(xué)們求圖形的面積問題或探究圖形的形狀.

2.3 反比例函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合

例6（河北）如圖4，若拋物線y=-x2+3與x軸圍成封閉區(qū)域（邊界除外）內(nèi)整點(diǎn)（點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）的個(gè)數(shù)為k，則反比例函數(shù)y=的圖像是（ ）.

圖4

解析：仔細(xì)觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)在封閉區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)分別是（-1，1），（1，1），（0，1），（0，2），故k=4.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)A，B，C，D中符合xy=4的只有D.故選D.

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的題目.首先要求學(xué)生通過觀察二次函數(shù)y=-x2+3與x軸所圍成的封閉區(qū)域，得到整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到反比例函數(shù)的圖像為D.

三、同時(shí)考查三種函數(shù)的性質(zhì)

例7（福建）已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b.

（1）求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）.

（2）說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).

（3）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N.

①若-1≤a≤，求線段MN長度的取值范圍；

②求△QMN面積的最小值.

分析：（1）由拋物線過點(diǎn)M（1，0），可得b=-2a，將解

（2）由直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M（1，0），可得m=-2.由y=2x-2，y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，由根的判別式可得該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而可得直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).

（2）因?yàn)橹本€y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，所以△=（a-2）2-4a（-2a+2）=9a2-12a+4.由（1）知b=-2a，又a＜b，所以a＜0，b＞0，所以△＞0，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).

（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

圖5

且由（2）知，a＜0，

即27a2+（8S-54）a+24=0.

因?yàn)檫@個(gè)關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)根，

所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，

函數(shù)”有機(jī)結(jié)合在一起的綜合性題目.解答的過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)等重要的數(shù)學(xué)思想.

這就要求我們在教學(xué)時(shí)不要孤立知識，要把知識放在與其他知識相關(guān)的結(jié)構(gòu)中進(jìn)行，特別是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，一定要通過知識的梳理來優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，只有這樣的知識結(jié)構(gòu)才具有遷移性和創(chuàng)新性.同時(shí)要向?qū)W生滲透常見的數(shù)學(xué)思想與方法.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好習(xí)慣，遇到綜合性的問題時(shí)能冷靜思考、認(rèn)真分析、科學(xué)判斷、準(zhǔn)確解答，從而取得好的成績，不斷提高和發(fā)展學(xué)生的綜合能力.H