運用有效策略，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維顯性化*
——以運用方程（組）解決實際問題為例

☉江蘇南京市江寧區(qū)周崗學(xué)校 徐 亮

☉江蘇南京市竹山中學(xué) 黃秀旺

在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，學(xué)生往往因為生活閱歷有限，對應(yīng)用題的背景和情境不熟，主觀認(rèn)為應(yīng)用題很難理解，從而影響了正常的數(shù)學(xué)思維，導(dǎo)致應(yīng)用題無法解決.應(yīng)用題解題的關(guān)鍵在于如何找出題中的數(shù)量關(guān)系，從而根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出符合題意的方程（組）、不等式和函數(shù)關(guān)系式，這是學(xué)生對應(yīng)用題畏懼心理的根源所在，而初中應(yīng)用題題型的單一性，決定了解題中列式的難度并不大.筆者通過實踐，發(fā)現(xiàn)在用方程（組）解決實際問題的教學(xué)中，通過靈活運用以下幾種策略輔助分析，可為厘清題目中數(shù)量關(guān)系，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維顯性化，提供有效的幫助.

一、以關(guān)鍵詞為突破，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的顯性化

小學(xué)階段的應(yīng)用題是在文字題的基礎(chǔ)上結(jié)合具體的問題情境架構(gòu)而成的，學(xué)生對解決文字題，把握關(guān)鍵詞的做法有著豐富的經(jīng)驗積累.初中階段的應(yīng)用題，題中經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵字詞提示，教師只要通過合理的問題進(jìn)行引導(dǎo)，就能讓學(xué)生很明了地厘清題中的數(shù)量關(guān)系，列方程（組）也就水到渠成.

例1（2017年徐州中考第24題）2017年4月9日上午8時，2017徐州國際馬拉松賽鳴槍開跑，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽，下面是兩個孩子與記者的對話：

根據(jù)對話的內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出哥哥和妹妹的年齡.

分析：解決本題的關(guān)鍵就是對兩個數(shù)量關(guān)系式的提取，而其中的兩個關(guān)鍵詞就是解決此題的突破口，即妹妹所說的“和”，哥哥所說的“相加”，教師圍繞這兩個關(guān)鍵詞合理的設(shè)問引導(dǎo)，此題即可迎刃而解.

師：題中哪些關(guān)鍵字詞揭示了爸爸、哥哥、妹妹年齡之間的關(guān)系？

生：妹妹口中的“和”與哥哥口中的“相加”.

師：根據(jù)這兩個關(guān)鍵詞可以列出怎樣的數(shù)量關(guān)系式？

生：①妹妹的年齡＋哥哥的年齡＝16；

②兩年后妹妹年齡的3倍＋兩年后哥哥的年齡＝兩年后爸爸的年齡.

師：哪些量是已知的，哪些量是未知的？

生：已知爸爸今年的年齡34歲，兩年后是（34+2）＝36歲，妹妹和哥哥的年齡是未知的.

師：很好，這里有兩個未知量，那我們該如何求解呢？

生：因為有兩個未知量，所以我們可以設(shè)妹妹今年的年齡是x歲，哥哥今年的年齡是y歲，列出方程組求解.

……

學(xué)生解決方程類的應(yīng)用題，從小學(xué)起就積累的良好的知識基礎(chǔ).常見的題型及題型中的數(shù)量關(guān)系都是耳熟能詳?shù)?，教師在教學(xué)中只要引導(dǎo)學(xué)生把握題中的關(guān)鍵詞，諸如和、差、倍、分、增加、減少、擴(kuò)大、縮小，等等.以關(guān)鍵詞作為解題突破的策略，結(jié)合基本題型的理解，排除問題情境中無關(guān)文字的干擾，應(yīng)用題中各數(shù)量間的關(guān)系就可以自然地顯性呈現(xiàn).數(shù)量關(guān)系式一目了然，轉(zhuǎn)化為方程求解也就順理成章.

二、以表格為手段，實現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系的顯性化

對于數(shù)量關(guān)系闡述不明顯的應(yīng)用題，特別是營銷類問題、工程類問題等，學(xué)生如果不能很好地把握數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系和變化特征，就會對題目中各數(shù)量之間關(guān)系的理解產(chǎn)生混亂，此時可以從基本的數(shù)量關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生借助表格，逐次呈現(xiàn)變化前和變化后的各個數(shù)量，讓對應(yīng)關(guān)系顯性化，從而列出方程.

例2某商店的一種服裝，每件成本為50元.經(jīng)市場調(diào)研，售價為60元時，可銷售800件；售價每提高5元，銷售量將減少100件.已知商店銷售這批服裝獲利12 000元，問這種服裝每件售價是多少元？

分析：一元二次方程應(yīng)用中的常見問題，其基本的數(shù)量關(guān)系是：總利潤＝單件利潤×銷售數(shù)量，關(guān)鍵是通過對“每…每…”的理解，確定漲價后的單件利潤和降價后的數(shù)量.根據(jù)增加數(shù)量與漲價的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造方程求解.

師：商品盈利問題中的基本數(shù)量關(guān)系是什么？

生：總利潤＝單件利潤×銷售數(shù)量.

師：銷售數(shù)量的變化受什么影響？影響的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？

生：受漲價的影響，每漲5元，銷售量將減少100件.

師：若設(shè)售價為x元，則漲了多少元？銷售量又減少了多少件呢？

生：先求出漲的價錢為（x－60）元，再除以5，數(shù)量即

（這里的對應(yīng)關(guān)系，有很多同學(xué)是不能清楚地表達(dá)的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助表格，將數(shù)量與漲價之間的對應(yīng)關(guān)系顯性化，從而清晰呈現(xiàn)數(shù)量與價錢之間的對應(yīng)關(guān)系）

師：你能根據(jù)對應(yīng)關(guān)系填寫以上表格嗎？

生：可以根據(jù)數(shù)量與價格間的對應(yīng)關(guān)系填寫.

師：那根據(jù)銷售這批服裝獲利12000元，如何求解？

生：漲價后的單件利潤×漲價后的數(shù)量＝12000.

……

對于信息量大、數(shù)據(jù)繁多、對應(yīng)關(guān)系復(fù)雜的應(yīng)用題，借助表格手段，可以將題中數(shù)量關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系清晰地呈現(xiàn).表格可以根據(jù)題型中的基本數(shù)量關(guān)系進(jìn)行設(shè)計，也可以針對題中的主要對應(yīng)關(guān)系設(shè)計，借助表格策略，實現(xiàn)復(fù)雜對應(yīng)關(guān)系的顯性化，在學(xué)生解決工程問題、營銷問題等方面有著顯著的作用.

三、以圖形為輔助，實現(xiàn)抽象概括的顯性化

有些應(yīng)用題文字?jǐn)⑹霰容^精練，數(shù)量關(guān)系比較抽象.受理解能力的局限，學(xué)生對于這一類題理解起來困難較大.如果一味地從字面去分析題意，用語言來表述數(shù)量關(guān)系，往往學(xué)生有“只可意會，不可言傳”的感受，教師在描述數(shù)量關(guān)系時，也會很蒼白，甚至?xí)街v越復(fù)雜，越講越不易理解.在進(jìn)行此類應(yīng)用題教學(xué)時，以圖形作為輔助，可以將抽象的關(guān)系借助圖形直觀地顯現(xiàn)，便于學(xué)生理解.

例3某鐵路橋長1000m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，整列火車完全在橋上的時間共40s.求火車的速度和長度.

分析：此題中有兩個問題：火車的速度和長度，雖然題中兩個“共”字清晰地揭示了兩個數(shù)量關(guān)系式，但對于“從開始上橋到完全過橋”和“整列火車完全在橋上”的理解，有不小的難度.

師：題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

生：火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，整列火車完全在橋上的時間共40s.可不知道如何列出數(shù)量關(guān)系式.

師：行程問題的中基本數(shù)量關(guān)系是什么？

生：路程＝速度×?xí)r間.

師：這對列出以上數(shù)量關(guān)系有什么提示？

生：路程1＝火車速度×1min；路程2＝火車速度×40s.好像不太好描述.

師：這里我們可以利用線段圖來幫助我們理解以上兩段描述的意思.

借助線段圖不難看出，火車用1分鐘（即60秒）的時間，行駛的路程實際上就是橋長與火車長之和；用40秒時間行駛的路程實際上就是橋長與火車長之差.

生：也就是說，橋長＋車長＝車速×60，橋長－車長＝車速×40，明白了.

……

這里采取的是線段圖策略.線段圖是小學(xué)解決行程問題中常用的策略之一，在行程類應(yīng)用題中作用顯著，到了中學(xué)階段的學(xué)習(xí)后，學(xué)生更傾向于文字理解，忽視了線段圖的應(yīng)用價值.線段圖的優(yōu)勢，是將行程問題中的路程，用線段直觀地呈現(xiàn)出來，將諸如相向問題和追及問題中速度、時間的復(fù)雜關(guān)系，轉(zhuǎn)化成顯性的線段和、差之間的關(guān)系，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回歸問題的本質(zhì)，才能讓數(shù)學(xué)思維更自然地獲得發(fā)展.

例4某商場五月份的銷售額為300萬元，六月份的銷售額下降了10%，商場從七月份開始，改變了營銷策略，銷售額穩(wěn)步上升，八月份的銷售額達(dá)到了326.7萬元.求七、八月份的平均增長率.

分析：這題中的增長率問題雖是平均增長率，但與平時訓(xùn)練的又有所不同.涉及到三個月份的增長，其中六月份還是負(fù)增長，學(xué)生對這里的增長率關(guān)系的理解還是有一定困難的，可以借助框架圖，來對題中數(shù)量間進(jìn)行抽象概括，直觀地顯現(xiàn)各月份之間的關(guān)系.

師：題中描述了幾個月份的銷售額情況？如何增長的？

生：六、七、八三個月份，其中六月份下降了10%，七、八月份都增長了，并且七、八月份增長率相同.

師：這三個月銷售額分別是在哪個月的基礎(chǔ)增長的？基礎(chǔ)銷售額都知道嗎？

生：六月在五月基礎(chǔ)上，七月在六月基礎(chǔ)上，八月在七月基礎(chǔ)上增長的；五月的銷售額是300萬元，六、七月份銷售額都不知道；八月份最終銷售額是326.7萬元.

師：那八月份的銷售額326.7萬元是如何計算出來的呢？

生：可以設(shè)七、八月份平均增長率為x，但缺少六月份的銷售額.

師：我們可能通過完成以下框架圖來解決六月份銷售額的問題.

生：知道如何求解了.

……

框架圖是圍繞某一主題，用知識結(jié)構(gòu)和框架的形式揭示數(shù)量間的關(guān)系，運用框架圖對復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行歸類、分析、加工，有利于學(xué)生探尋問題的本質(zhì)，從而實現(xiàn)抽象關(guān)系的顯性化，實現(xiàn)解題的目標(biāo).

用方程（組）解決應(yīng)用題的策略還有很多，本文只例談了初中階段最常用的三種方法.在教學(xué)時應(yīng)注意的是，不要刻意要求學(xué)生固定地選擇其中的某一種，而是要根據(jù)題目的特點，靈活地選用一種或綜合幾種，通過這些策略，讓學(xué)生體會到把數(shù)學(xué)思維顯性化的方法，真正提高分析問題和解決問題的能力，變“聞題色變”為“破題歡顏”，從而將感受“數(shù)學(xué)之用”提升到感悟“數(shù)學(xué)之美”.

參考文獻(xiàn)：

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3.付志芳.初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)策略及解題技巧［J］.西部素質(zhì)教育，2016（6）.H