把握問題本質(zhì)，提煉基本方法
——以具有“邊邊角”相等結(jié)構(gòu)特征的三角形問題的探究為例

☉北京教育學(xué)院朝陽分院 白雪峰

大道至簡(jiǎn)，以簡(jiǎn)馭繁，是大智慧，更是高境界．中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)也需要提高這樣的實(shí)踐智慧，追求這樣的教育境界．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì)，抓住解題關(guān)鍵，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光來發(fā)現(xiàn)和提出問題，數(shù)學(xué)的思維來分析和解決問題，數(shù)學(xué)的語言表述和闡釋問題，促進(jìn)學(xué)生在歸納概括解題思維過程和總結(jié)提煉解題基本方法的學(xué)習(xí)中，落實(shí)“四基”提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．［1］

一、問題簡(jiǎn)述

圖1

如圖1，∠MAN為銳角，點(diǎn)B在邊AM上，作BC⊥AN于點(diǎn)C．以點(diǎn)B為圓心，大于BC而小于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交AN于點(diǎn)C1，C2．

在△ABC1和△ABC2中，BC1＝BC2，BA＝BA，∠BAC1＝∠BAC2，所以△ABC1和△ABC2構(gòu)成了具有“邊邊角”相等這一結(jié)構(gòu)特征的三角形．然而，這兩個(gè)三角形并不全等．

但是，如果深入探究這類具有“邊邊角”相等結(jié)構(gòu)特征的三角形，我們可以獲得解決這類問題的基本方法，進(jìn)而利用這種解題的基本方法解決一類問題．

事實(shí)上，我們可以通過三條途徑來處理這類具有“邊邊角”相等的結(jié)構(gòu)特征三角形問題，即可以小△ABC1“放大”為大△ABC2，或大△ABC2“縮小”為小△ABC1，或作垂線段BC構(gòu)成直角三角形ACB等途徑構(gòu)成全等三角形，進(jìn)而解決這類問題．下面舉例說明．

二、方法示例

例1已知：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且BE＝CF．連接EF交BC于點(diǎn)D．

求證：ED＝DF．

分析：在△BED和△FCD中，BE＝CF，∠EDB＝∠FDC，若證得ED＝DF，則△BED和△FCD就構(gòu)成了具有“邊邊角”相等這一結(jié)構(gòu)特征的兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不全等．由圖2可知，明顯有三種證法來證明ED＝DF，下面筆者選擇其中的“縮小法”給出證明，即利用已知條件在大三角形里構(gòu)造一個(gè)與小三角形全等的三角形．

證明：如圖2，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作弧，交BE于B1，連接EB1．則有EB1＝EB＝

說明：（1）如圖3，以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)C為半徑作弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C1，連接FC1，則△EDB≌△FDC1，所以ED＝DF．這里利用的是“放大法”，即利用已知條件構(gòu)造一個(gè)與大三角形全等的三角形．

（2）如圖4，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則Rt△EGD≌Rt△FHD，所以ED＝DF．這里利用的是“作垂線段法”，即利用已知條件通過作垂線段來構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形．

圖2

圖3

圖4

除以上三種證法之外，還有其他多種證法，但上述三種證法是最基本和最簡(jiǎn)單的證法．

例2已知：如圖5，在△ABC（AB＜AC）中，AD為∠BAC的平分線，M為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作AD的平行線，交AC于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)F．

求證：BF＝CE．

圖5

分析：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以BM＝CM，欲證BF＝CE.因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，所以∠1＝∠2.又ME//AD，∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠3＝∠4，注意到∠4＝∠5，從而∠3＝∠5，所以△MBF和△MCE構(gòu)成了兩個(gè)“邊邊角”型的三角形．

證明：如圖5，過點(diǎn)B作BG⊥FM于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

因?yàn)锽M＝CM，∠BMG＝∠CMH，

所以Rt△BGM≌△RtCHM，

所以BG＝CH．

在Rt△BGF和△RtCHE中，

因?yàn)锽G＝CH，∠3＝∠5，

所以Rt△BGF≌△RtCHE．

所以BF＝CE．

說明：用“放大”或“縮小”法也可以證明此題，請(qǐng)感興趣的讀者自己完成．

例3已知：如圖6，在△ABC（AB＜AC）中，點(diǎn)E在AC上，且AB＝CE，點(diǎn)F、M分別為AE和BC的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線．求證：FM//AD．

分析：欲證FM//AD，過點(diǎn)E作EN//AD，交BC于點(diǎn)N，只需要證明FM為梯形ADNE的中位線，由于F為AE的中點(diǎn)，所以只需要證明M為DN的中點(diǎn)．由于M為BC的中點(diǎn)，只需要證明BD＝CN，注意到AB＝CE，∠1＝∠3，所以△DBA和△NCE構(gòu)成“邊邊角”型的兩個(gè)三角形．

證明：如圖6，過點(diǎn)E作EN//AD，交BC于點(diǎn)N，則有∠1＝∠3，所以四邊形ADNE為梯形．

以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作弧交AD于點(diǎn)G，連接BG，則有BD＝BG．所以∠BDG＝∠BGD，∠BGA＝∠ADC.

又∠ENC＝∠ADC，所以∠BGA＝∠CNE．

又AB＝CE，所以△BGA≌△CNE，

所以BG＝CN．

所以BD＝CN．

又BM＝MC，

所以DM＝MN，即M為DN中點(diǎn)．

注意到F為AE的中點(diǎn)，

所以FM為梯形ADNE的中位線，

所以FM//AD．

說明：請(qǐng)感興趣的讀者用“放大法”或“作垂線段法”來證明此題．

圖6

例4已知：如圖7，線段AB交圓O于C、D兩點(diǎn)（AB不過圓心O），且AC＝BD，作AF切圓O于點(diǎn)F，作BE切圓O于點(diǎn)E，AF、BE在線段AB的異側(cè)，連接EF交線段AB于點(diǎn)M．

求證：CM＝MD．

證明：如圖7，分別延長(zhǎng)FA、BE交于點(diǎn)G．

因?yàn)锳F和BE為圓O的切線，

所以GE＝GF，即△GEF為等腰三角形．

所以AF2＝AC·AD，BE2＝BD·BC．

因?yàn)锳C＝BD，

所以AD＝BC．

所以AF2＝BE2，即AF＝BE．

圖6中的直線型與例1相同，

所以AM＝MB，CM＝MD．

說明：如果不應(yīng)用圖1的結(jié)論，可以應(yīng)用三角形全等證明此題，這也是比較簡(jiǎn)單的方法．

圖7

三、寫在后面

縱觀問題提出和方法示例，筆者提出了一類具有“邊邊角”相等這一結(jié)構(gòu)特征的三角形問題，基于典型例題呈現(xiàn)了“放大”“縮小”和“作垂線段”三種問題轉(zhuǎn)化的基本方法，其目的都是要構(gòu)成全等三角形．在深入分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)用全等三角形的相關(guān)知識(shí)給出這類問題完整的證明過程，展示了問題探究和方法提煉的全過程．

實(shí)際上，平面幾何歷來是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和理性精神的上佳載體，通過類似教與學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，不僅可以促進(jìn)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化基本技能，還可以領(lǐng)悟基本的數(shù)學(xué)思想．進(jìn)一步地，通過深刻反思上述數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的探究過程，助力學(xué)生獲得深度參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)．［1］

因此，作為數(shù)學(xué)教師，要善于引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘幾何問題內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的語言，持之以恒地充分發(fā)掘幾何問題中蘊(yùn)含的思維力量，將數(shù)學(xué)之大道自然融入“四能”培養(yǎng)的全過程之中，把學(xué)生獲得解題能力的眼前利益和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長(zhǎng)期利益有機(jī)融合起來，切實(shí)發(fā)揮平面幾何的教育價(jià)值和育人功能．［2］

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］．北京：人民教育出版社，2018年1月.

2.白雪峰．一道中考數(shù)學(xué)模擬試題的證明與拓展，中國數(shù)學(xué)教育，2015（5）.H