基于知識轉(zhuǎn)化，探求以題會類— —以如何證明線段相等為例

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

習(xí)題教學(xué)雖然切入角度多種多樣，操作形式也千變?nèi)f化（如一題多解、一題多變和多題歸一等），但就其目標(biāo)而言，除了鞏固知識外主要還是培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和完善學(xué)生的思維方式.因此，如何棄“量”從“精”，切實減輕學(xué)生過重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，全面提升學(xué)生分析問題的能力便成了習(xí)題教學(xué)的主旋律和一種高境界的追求.對此筆者的體會有兩點：一是以“怎么想到這樣做”為切入點，借助知識溯源豐富解題分析的轉(zhuǎn)化策略，從而教會學(xué)生“轉(zhuǎn)化”；二是以“同一類型還可怎么做”為抓手，借“知識遷移”拓寬處理同類問題的解題技巧，從而教會學(xué)生“類化”.現(xiàn)以“如何證明線段相等”為例作一操作示范解讀，以求拋磚引玉.

一、從對一道經(jīng)典幾何題解法的深度思考談如何教會學(xué)生轉(zhuǎn)化

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求證：BD=CD.

本題常規(guī)的輔助線添法如圖2所示，分別過D、C作DE⊥BC于點E，CF⊥AD于點F，易證△CDE≌△CDF，得所以DE垂直平分BC，故BD=CD.

圖1

圖2

思考1：怎么想到這樣添輔助線？

事實上，就轉(zhuǎn)化思想而言，所有數(shù)學(xué)問題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識來求解的，而這些解決相關(guān)問題的知識點通常稱之為“知識源”，也是解決同類問題的致勝法寶.如本題屬于證明線段相等問題，而回顧初中階段所學(xué)過的與“證明線段相等”有關(guān)的知識源主要有“線段中點的定義（知識源1）”“全等三角形對應(yīng)邊相等（知識源2）”“等角對等邊（知識源3）”“中垂線的性質(zhì)（知識源4）”“角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等（知識源5）”“平行四邊形對邊相等（知識源6）”“平行線等分線段定理（含三角形與梯形的中位線定理）（知識源7）和“同?。ɑ虻然。┧鶎Φ南壹跋业南倚木嘞嗟龋ㄖR源8）”等，本題結(jié)合條件與圖形的特征易想到運(yùn)用知識源2、3、4處理.

若用知識源“中垂線的性質(zhì)”證明，自然想到過點D作DE⊥BC于點E，再證明CE=BE=（當(dāng)然也可取BC的中點E，連接DE證明DE⊥BC），注意到AC=BC和∠CAD=30°，由“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”想到過點C作CF⊥AD于點F（也可過點D作DG⊥AC于點G，如圖3），下面只需證明CE=CF（即證明△CDE≌△CDF）即可.由條件可得∠ACD=75°且∠ACF=60°，所以∠DCE=∠DCF=15°. 又∠CED=∠CFD=90°且CD=CD，故兩三角形全等，問題得證.

圖3

圖4

思考2：能否用知識源“等角對等邊”證明？

由BD和CD同為△BCD的兩條邊自然想到用知識源“等角對等邊”加以證明，又易知∠BCD=15°，所以只需證明∠CBD=15°或∠ABD=30°即可.

對于求15°的非特殊角∠CBD而言，不妨從方程思想入手，即設(shè)∠CBD=x，則∠ABD=45°-x，若再找到（或構(gòu)造）∠ABD的等角，也用含x的代數(shù)式表示，便可列方程求出x的值.由∠BAD=∠BCD=15°和AD=CB想到在AB上截取AE=CD（如圖4），則△ADE≌△CBD，得DE=BD且∠ADE=∠CBD=x，所以∠DEB=∠DBE，即15°+x=45°-x，解得x=15°，問題得證.

對于求30°的特殊角∠ABD而言，自然聯(lián)想到構(gòu)造等邊三角形轉(zhuǎn)化.如圖5，構(gòu)造等邊△ABM，連接MC，由AC=BC和AM=BM 可知MC垂直平分AB，則∠AMC=30°.根據(jù)“邊角邊”定理易證△ABD≌△AMC，得∠ABD=∠AMC，進(jìn)而得∠CBD=15°=∠BCD，所以BD=CD.

圖5

圖6

思考3：能否運(yùn)用知識源“全等三角形對應(yīng)邊相等”證明？

顯然圖中含有線段BD和CD的現(xiàn)有三角形均不全等，需重新構(gòu)造.不妨以CD所在的△ACD為目標(biāo)三角形，由∠ACB=90°想到過點B作BN⊥BC且BN=AC（如圖6），連接DN，則△NBD必與△ACD全等，只是不易證明.然而連接AN后可驚奇地發(fā)現(xiàn)四邊形ACBN為正方形，故不妨反其道而行之，直接構(gòu)造正方形ACBN，連接DN，則證明△ACD≌△NBD就易如反掌了.

若以BD所在的△ABD為目標(biāo)三角形，則可把△ABD沿AD翻折得△APD（如圖7），不過在證明CD=PD（即△CDP為等邊三角形）時遇到障礙.也可反其道而行之，先構(gòu)造等邊△CDP，連接AP交CD于點O，再證明△PAD≌△BAD.由AC=AD和CP=DP知AP垂直平分線段CD，則∠PAD==15°=∠BAD，則問題轉(zhuǎn)化為證明AP=AB.注意到△ABC為等腰直角三角形、△CDP為等邊三角形和△ACD是頂角為30°的等腰三角形，故可通

圖8

圖7

當(dāng)然也可以△CBD為目標(biāo)三角形構(gòu)造全等三角形，不妨把△CBD沿CD翻折得△CQD（如圖8），連接AQ，易證△ACQ為等邊三角形，進(jìn)而得△ACD≌△AQD，所以CD=QD=BD.

思考4：如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化（即學(xué)會“怎樣想”）？

其實，對于上述分析筆者通常稱之為“知識溯源式目標(biāo)分析法”，主要有三步：首先要明確解題目標(biāo)是什么，如例1的終極目標(biāo)是證明兩條線段相等；其次，根據(jù)目標(biāo)追溯與其相關(guān)的知識源，如回顧初中階段所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)與證明線段相等的知識主要有8個（見上）；最后，根據(jù)條件結(jié)合知識源的主要特征選擇適合的知識源求解，如上述解法就是根據(jù)例1的條件和圖形特征選擇了知識源2、知識源3和知識源4而生成的.教學(xué)中，若能從學(xué)法指導(dǎo)角度入手，以“知識溯源式目標(biāo)分析法”為抓手，以上述三步為操作模式，逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“怎樣想”，豐富轉(zhuǎn)化策略，必然能極大地減少解題的盲目性，全面提升解決問題的能力.

二、借助“同一類型還可怎么做”教會學(xué)生類化

顯然，例1主要是借助知識源“中垂線的性質(zhì)”“等角對等邊”和“全等三角形對應(yīng)邊相等”處理的，那么在什么情況下又分別運(yùn)用其他知識源處理呢？

1.利用知識源“線段中點的定義”證明

例2如圖9，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上一點，且DE⊥DF.若△ABC的中位線MN交EF于點H，求證：EH=FH.

思路分析：從EH與FH的位置特征，自然想到運(yùn)用知識源“線段中點的定義”證明EH=FH.若點H為EF的中點，注意到∠EAF與∠FDE為直角，所以A、E、D、F四點共圓，且EF為直徑，所以點H必為圓心.而由MN是△ABC的中位線和AD⊥BC可知，MN垂直平分弦AD，所以MN必經(jīng)過圓心，則MN與直徑EF的交點H就是圓心，故EH=FH.

2.利用知識源“角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等”證明

圖10

圖9

例3（2017年廣東中考題）如圖10，AB是⊙O的直徑，，，點E為線段OB上一點（不與點O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB.

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

思路分析：（1）略（.2）從CF⊥AF和CE⊥AB的特征可知，欲證CF=CE只需證明AC平分∠EAF.由CF為⊙O的切線可知，∠ACF=∠ABC.又∠ACF+∠CAF=90°且∠ABC+∠CAB=90°，所以∠CAF=∠CAB，問題得證（.3）過點B作BQ⊥CP于點Q，不妨設(shè)CF=3t，CP=4t，則CQ=CE=CF=3t且

3.利用知識源“平行四邊形對邊相等”證明

例4（2017年溫州中考題）如圖11，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圓心O在△ABC內(nèi)部）經(jīng)過B，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.

（1）求證：DE=CF；

（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值.

思路分析：（1）由ED∥AC知要證DE=CF，只需證明四邊形CDEF為平行四邊形即EF∥CD即可.由EF為⊙O的切線想到連接OE，得∠FEO=90°，則問題轉(zhuǎn)化為證明∠EOC=90°，即∠OEC=∠OCE=45°.而由弦切角的性質(zhì)知∠CEF=∠B=45°，所以∠OCE=∠OEC=∠CEF=45°，得EF∥CD，問題迎刃而解（.2）過G作GM⊥BC于M，可得∠FCD=∠FED=∠CGM，所以CM=2GM=2BM，得BG=

圖11

圖12

4.利用知識源“比例式”等量轉(zhuǎn)化

例5（2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖12，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于點O.P，Q分別是AD，BC上的點，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD.求證：OP＝OQ.

思路分析：雖然由OP與OQ的位置特征，易聯(lián)想到連接PQ用知識源“等角對等邊”證明，但是不易證明∠OPQ=∠OQP.于是由∠APB=∠CPD和∠AQB=∠CQD想到構(gòu)造相似三角形，再結(jié)合AB∥CD，不妨考慮用比例

5.利用知識源“同弧或等弧所對的弦相等”證明

例6（2017年江漢中考題）如圖13，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB.

思路分析：（1）由CE與CB是⊙O的兩條弦想到可證明CE=CB，即證明∠CAE=∠CAB.由弦切角的性質(zhì)可知∠ACD=∠B，又∠ACD+∠CAE=90°且∠B+∠CAB=90°，所以∠CAE=∠CAB，問題得證（.2）由CB=CE=、AC=得AB=5.再由△ABC∽△ACD及其對應(yīng)邊成比例得DC=2，根據(jù)勾股定理可得AD=4，DE=，所以AE=

圖13

圖14

6.運(yùn)用計算法證明線段相等

例7（2012年宿遷中考題）如圖14，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，EF⊥AB于點F，EF交BD于點G，設(shè)AD=a，BC=b.

（1）求CD的長度（用a，b表示）；

（2）求EG的長度（用a，b表示）；

（3）試判斷EG與FG是否相等，并說明理由.

思路分析：（1）a+b，（2）略；（3）由EG和FG的位置特征易想到運(yùn)用知識源“線段中點的定義”證明，不過直接證明G為EF的中點并不容易，由（2）想到不妨再求出FG，

當(dāng)然，證明兩線相等的轉(zhuǎn)化策略遠(yuǎn)非以上幾種，只要我們做個有心人，平時多注重積累就一定能在“以題會類”上有更多的作為，從而為減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)盡善盡美.不管怎樣，筆者認(rèn)為習(xí)題教學(xué)務(wù)必要做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領(lǐng)，明確思考方向；堅持以“教會學(xué)生怎么想”為能力抓手，強(qiáng)化學(xué)法指導(dǎo)；堅持以“同一類型還可怎么做”為拓展方向，力求“以題會類”.另外，通過以上分析也不難看出，從“知識溯源式目標(biāo)分析法”入手，詳細(xì)剖析輔助線的生成過程，引導(dǎo)學(xué)生不僅知道“怎樣做”，還學(xué)會“怎樣想”.其積極意義在于：基于知識轉(zhuǎn)化的核心思想之下，把致力于培養(yǎng)學(xué)生思維分析能力和知識遷移能力的習(xí)題教學(xué)宗旨真正落到實處，為日后遇到新問題適時遷移（即以題會類）奠定扎實的基礎(chǔ)，注重了發(fā)展性學(xué)力的培養(yǎng).H