用三種方法探究反正切與反余切的關(guān)系

趙維

【摘 要】反正切函數(shù)arctanx和反余切函數(shù)arc cotx在高等數(shù)學(xué)中微積分這部分內(nèi)容中應(yīng)用甚廣。由于對不定積分∫f（x）dx=F（x）+C中常數(shù)C的錯誤理解，得出arctan x與arc con x互為相反數(shù)的錯誤結(jié)論，由此引發(fā)對arctan x與arc cot x之間關(guān)系的探討。文章從arctan x與arc cot x的定義和拉格朗日中值定理兩個方面出發(fā)證明得到arctan x與arc cot x=的正確關(guān)系，再重新理解不定積分的定義與性質(zhì)，分析出現(xiàn)錯誤的原因，加深了對不定積分的理解。

【關(guān)鍵詞】arctan x；arccot x；高等數(shù)學(xué)；不定積分

1.研究的背景、目的

本文是在高等數(shù)學(xué)上冊（同濟(jì)版第六版）不定積分章節(jié)的課后習(xí)題里產(chǎn)生的疑問，通過翻閱資料，解決了疑問。希望通過對反正切與反余切關(guān)系的探討，能深刻地理解微積分的相關(guān)知識，培養(yǎng)善于思考、提出疑問、解決問題的能力。

2反正切arctanx與反余切arccotx

2.1反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

y=tanx的反函數(shù)=>y=arctanx（x∈（-∞，+∞），y∈（- ， ））

y=cotx的反函數(shù)=>y=arccotx（x∈（-∞，+∞），y∈（0，π））

（arctanx）'= ，（arctanx）'=-

2.2不定積分

2.2.1原函數(shù)與不定積分的概念

定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），即對任一x∈I，都有F（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函數(shù)F（x）就稱為f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)。

定義2在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）（或f（x）dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作 ∫f（x）dx。

對兩個定義有兩點說明：

第一，如果f（x）在區(qū)間I上有原函數(shù)F（x），使對任一一x∈I，都有F'（x）=f（x）那么對任何常數(shù)C，也有[F（x）+c]'=f（x），即函數(shù)F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)。

第二，如果在區(qū)間I上F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，那么f（x）的其他原函數(shù)與F（x）之間僅相差一個常數(shù)。

2.2.2基本積分表

（1）∫ dx=arc tanx+C，（2）∫- dx=arc cot x+C

2.3arctan x與arc cot x的關(guān)系

高等數(shù)學(xué) 第六版（上冊），此教材里習(xí)題4-1中的2.（25）：求不定積分∫ dx

方法一：原式∫（1- ）dx=x-arctan+C

方法二：原式∫（1+ ）=x-arccot+C

根據(jù)不定積分的定義知道，兩種解法都正確。由等式的性質(zhì)知x-arctanx+C=x+arccotx+C，即arctanX+arccotX=0......（2）

這個結(jié)論正確嗎？下面用三種方法來探究兩者間的關(guān)系：

（1）從arc tan x和arc cot x的定義去探究

設(shè)α=arctanx∈（- ， ），β=arccotx∈（0，π）則x=tanα=cotβ tanα=tan（ -β） α= -β α+β= ，

即arctanx+arc cot x= ......（3）

（2）用拉格朗日中值定理來探究

令f（x）=arctanx+arccotx（x∈（-∞，+∞））則f'（x）= +（- ）=0

設(shè)x0

由此兩種方法結(jié)論為arctanx+arccotx= ，結(jié)論arctanx+arccotx= 究竟錯在何處？

方法三：（定積分的定義）著重理解定積分中的常數(shù)C。

上述法一：∫ dx=x-arctanx+C1，法二：∫ =x+arccotx+C2（C1、C2為任意不同常數(shù)）

根據(jù)f（x）的其他原函數(shù)與F（x）之間僅相差一個常數(shù)知：x+arccotx+C2-（x-arctanx+C1）=arccotx+arctanx+C2-C1=C0（C0為常數(shù)）則有arctanx+arccotx=C0+C1-C2，則arctanx+arccotx等于常數(shù)（C0+C1-C2），該常數(shù)為上述證明得到的 。

3.結(jié)論

通過以上的探究得到arctanx+arccotx= 。這個結(jié)論的獲得啟示學(xué)習(xí)者要多思考，多探究，多反思，培養(yǎng)善于發(fā)現(xiàn)、敢于提問、勇于探索解決問題的精神和能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)，第六版上冊[M].北京：高等教育版社，2007.4

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1，人民教育出版社A版