借語言之東風(fēng)，順入幾何門檻

高紅尉

【摘 要】初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的關(guān)鍵是幾何語言的教學(xué)，本文結(jié)合自己的教學(xué)實際，從文字語言、圖形語言、符號語言三個不同的方面闡述了幾何語言教學(xué)的一些方法。

【關(guān)鍵詞】幾何語言；文字語言；圖形語言；符號語言

數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說過：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。數(shù)學(xué)語言是表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系和形式的符號系統(tǒng)，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，尤其在幾何學(xué)習(xí)中，由于幾何語言概念性和邏輯性強，一些學(xué)生在幾何入門時，感到無法掌握，很多時候意思理解，但是難以用幾何語言來表示，從而產(chǎn)生畏懼心理，加上其它一些非心理因素，導(dǎo)致學(xué)習(xí)幾何后，兩極分化加重。為了避免這種現(xiàn)象出現(xiàn)，在平面幾何的入門教學(xué)中，一定要注重幾何語言的表達(dá)的訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立幾何語言系統(tǒng)，突破幾何入門學(xué)習(xí)的瓶頸。

一、幾何語言的分類和訓(xùn)練方法

幾何語言，一般可以分為文字語言，圖形語言和符號語言三種類型，三者在幾何學(xué)習(xí)中有著各自獨特的地位和作用，在訓(xùn)練中也有著不同的方法。

（一）抓關(guān)鍵詞，加強文字語言的理解

數(shù)學(xué)中幾何的定義、性質(zhì)的敘述就是文字語言，例如，角的定義是“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角”，平行線的定義是“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”；線段的性質(zhì)“兩點之間線段最短”，平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”等，這些語言準(zhǔn)確、嚴(yán)密，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽藥缀螆D形的特征和性質(zhì)，不能輕易增減一個字。在教學(xué)這些文字語言時，一定要在理解上下功夫，不能死記硬背，教師要引導(dǎo)學(xué)生在動手操作體驗中感受這些文字語言，同時像學(xué)習(xí)語文一樣咬文嚼字，著重理解關(guān)鍵字。例如，教學(xué)“直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離”時，可以這樣開展活動，先讓學(xué)生聯(lián)系生活，如何測量跳遠(yuǎn)成績，如何通過人行橫道線過馬路最近等，然后小組活動，給定圖形：直線l以及直線外一點P，在直線l上任取一點O，連接OP，測量并比較小組中誰的OP最短，還有沒有更短的畫法。在學(xué)生的操作討論在操作中，學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗，能夠得出當(dāng)OP⊥l時，OP最短，這時教師順理成章的就可以得出結(jié)論：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。然后類比兩點之間的距離的定義，給出點到直線的距離為直線外一點到這條直線的垂線段的長度，并進(jìn)一步強調(diào)垂線段≠垂線，垂線是直線，垂線段是線段，垂線段≠距離，垂線段是圖形，距離是長度，是“數(shù)”，長度是橋梁，連接了垂線段和距離，使得數(shù)形結(jié)合，得到有機統(tǒng)一。

（二）辨析圖形，加強圖形語言的識別

幾何研究的對象是幾何圖形，圖形中記錄著很多的圖形知識，這些圖形知識更加直觀、形象，例如，圖（1）OP平分∠AOB，圖（2）OP⊥AB.圖（3）∠AOB與∠COD是對頂角等。這些圖形語言比文字語言更具直觀性，讀懂這些語言，是學(xué)生分析解決幾何問題的前提。在教學(xué)中，識圖訓(xùn)練要循序漸進(jìn)，從簡單到復(fù)雜.在蘇科版教材《平面圖形的認(rèn)識一》中，學(xué)生認(rèn)識了各種角以及角之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系后，會涉及一些線條縱橫交錯，局部圖形重疊遮蓋的復(fù)雜圖形。例如，教學(xué)《探索平行的條件》時，出現(xiàn)的圖形就比較復(fù)雜，如圖（4）：已知∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°，在尋找平行線時，就需要對圖形進(jìn)行剖析、分離，構(gòu)造出簡單有用的基本圖形。把∠1、∠2的邊組成的圖形分離出來，就得到圖（5），在這樣的基本圖形中學(xué)生就很容易找出AD∥EF，把∠B、∠BDE對應(yīng)的圖形分離出來得到圖（6），從而得到DE∥BF。從復(fù)雜圖形中分離基本圖形，對學(xué)生通過識圖解決問題有著重要的作用。同時，在教學(xué)中，還要注意變式圖形的訓(xùn)練，在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改變圖形的方向、位置或結(jié)構(gòu)，加強學(xué)生對變式圖形的認(rèn)識，提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。

在涉及平移、旋轉(zhuǎn)、翻折問題時，學(xué)生在圖中往往難以找到解決問題需要的條件，究其原因就是學(xué)生對圖中隱含條件的運用能力不足。在教學(xué)和練習(xí)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖中的隱含條件，如對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角相等，然后選擇需要的條件進(jìn)行運用，經(jīng)常這樣訓(xùn)練，學(xué)生就形成思維定勢，再遇到這樣的問題，就比較容易從圖中找到所需的隱含條件，進(jìn)而正確解決問題。

除了識圖訓(xùn)練，作圖訓(xùn)練也很重要，解決數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常需要學(xué)生自己作圖，或在原有圖形上添加一些重要的線段，如添加垂線段，平行線等，尤其是動態(tài)問題中，隨著點的移動，線段和圖形都在變化中，這就對學(xué)生作圖能力有很高的要求。在作圖訓(xùn)練中，要讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉幾何語言，形成感性認(rèn)識，如連接AB，過點A作AP⊥BC，在學(xué)生自己作圖時，要提醒學(xué)生畫圖要注意一般性，不能畫特殊位置。如畫直線AB與直線CD相交，不能畫成垂直的位置，畫等腰三角形，不能畫等邊三角形等，否則會影響對問題的分析。

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（三）靈活變通，加強符號語言的運用

符號語言是用符號不是幾何關(guān)系，把文字語言和圖形語言結(jié)合起來，更加簡潔、直觀，如“⊥”表示垂直，“∥”表示平行，“Δ”表示三角形等。符號語言是學(xué)習(xí)幾何知識，解決幾何問題的工具，要學(xué)好幾何，一定要學(xué)好符號語言。在教學(xué)中，要結(jié)合圖形，加強文字語言向符號語言的轉(zhuǎn)化。

例如文字語言O(shè)P平分∠AOB，結(jié)合圖形，可以轉(zhuǎn)化為符號語言∠AOP=∠BOP，或∠AOP=∠AOB（∠BOP=∠AOB），或∠AOB=2∠AOP（∠AOB=2∠BOP）。

在平面幾何的教學(xué)中，符號語言的變通性也尤為重要，就角平分線的三種表示，在不同的問題中，需要的關(guān)系不一樣，用錯了解題過程就會受到影響，所以，教師要重視數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化教學(xué)，每講一個概念或性質(zhì)，要分析透徹，讓學(xué)生掌握它的三種語言表示形式，并能根據(jù)需要進(jìn)行互譯，靈活轉(zhuǎn)換，這樣學(xué)生在解題書寫幾何語言時就可以靈活運用。

二、循序漸進(jìn)，提高推理論證的能力

推理論證是不同于代數(shù)方法的一種新的解題方式，是幾何求解的獨特的思維方法，是對文字語言、圖形語言和符號語青三者的綜合運用，是學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要手段，更是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的核心環(huán)節(jié).因此，推理訓(xùn)練是幾何入門教學(xué)的重點和難點。在推理論證的起步階段，教師的示范性十分重要，必須十分重視幾何語言的簡明和嚴(yán)謹(jǐn)性，對學(xué)生不規(guī)范不清晰的口語要一一糾正.幾何論證一般需要多個推理，每一個推理都是一個因果關(guān)系，有的是一因一果，有的是一因多果，由于學(xué)生年齡小，剛開始接觸推理論證時，往往會憑自己的需要創(chuàng)造出條件中沒有的“因”和條件無法推導(dǎo)出得“果”，這時，教師要耐心剖析其錯誤的原因，強調(diào)推理論證一定要“言必有據(jù)”，同時可以類比語文中的因果句型，加深學(xué)生的理解，幫助他們更好掌握。

學(xué)習(xí)幾何離不開幾何語言這個“東風(fēng)”，通過反復(fù)練習(xí)，在幾何入門時把好幾何語言關(guān)，使學(xué)生順利邁過幾何的“門檻”，能夠正確思考、表達(dá)，寫出正確的推理過程，對學(xué)生后期的幾何學(xué)習(xí)有著不可低估的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 陳長火.《談初一平幾入門教學(xué)中幾何語言的訓(xùn)練》，《福建中學(xué)教學(xué)》，2000年第2期

[2]俞求是.《幾何模型、幾何抽象、幾何語言、幾何興趣》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考旬刊》，2012（11）

[3] 楊裕前.《探索入門教學(xué)規(guī)律大面積提高平面幾何教學(xué)質(zhì)量》，《教育學(xué)報》，1988（3）