淺談合情推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張宗川

【摘 要】推理能力是中學(xué)數(shù)學(xué)要求的基本能力與技能之一，而合情推理和演繹推理是推理的兩種不同形式。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)或一些特殊情形對(duì)結(jié)論進(jìn)行觀察、分析、比較、聯(lián)想、再進(jìn)行歸納、類比，再提出問(wèn)題形式特殊化的猜測(cè)推理模式。對(duì)初中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)于學(xué)生而言過(guò)于形式化，因此演繹推理在初中數(shù)學(xué)的運(yùn)用還不適合，于是合情推理便成推理的主要模式。本文淺談合情推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些應(yīng)用，這樣可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，更主要的是能幫助學(xué)生提高其推理能力和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】合情推理；初中數(shù)學(xué)；類比；實(shí)踐；思考；歸納

隨著初中數(shù)學(xué)知識(shí)難度的上升和數(shù)學(xué)模式的不斷深化，合情推理的運(yùn)用能力也在不斷提升，初中生感性認(rèn)知大于理性認(rèn)知，因此合情推理也成為他們推理過(guò)程中主要運(yùn)用的一種推理模式。初中數(shù)學(xué)新的知識(shí)較多，問(wèn)題的形式也是千變?nèi)f化，合情推理能力若得不到有效的提升，會(huì)造成他們只會(huì)就題論題，而不會(huì)對(duì)知識(shí)有一個(gè)融會(huì)貫通。大多數(shù)中學(xué)生最怕的數(shù)學(xué)問(wèn)題以應(yīng)用型問(wèn)題的形式出現(xiàn)，學(xué)生的成功率則會(huì)大大降低，從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明學(xué)生合情推理的能力并沒(méi)有跟上數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)展。作為一名數(shù)學(xué)教師如何去提升學(xué)生的合情推理能力呢？筆者就從本文出發(fā)一窺究竟—淺談合情推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.合情推理的界定

1.1合情推理的概念

合情推理是G波利亞首先提出的，他認(rèn)為個(gè)人會(huì)依據(jù)存在的事實(shí)和已經(jīng)獲得的正確結(jié)論為前提（包括各種各樣的經(jīng)驗(yàn)和外部成果），以及個(gè)人的直覺(jué)猜測(cè)去推理未知問(wèn)題的一種推理模式。這樣的推理從觀察、分析、猜測(cè)出發(fā)，依據(jù)個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)，通過(guò)類比、聯(lián)想、歸納、提出猜想，是比較符合感性認(rèn)知較強(qiáng)的中小學(xué)年級(jí)的學(xué)生，因此初中數(shù)學(xué)中合情推理成為常用的推理模式，合情推理中常用的思維方法有兩種：歸納推理和類比推理。新課標(biāo)中指出“學(xué)生通過(guò)義務(wù)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力”。合情推理在解決問(wèn)題時(shí)，常常具備對(duì)問(wèn)題的猜想和結(jié)論的類比，因此對(duì)思維程度較淺的初中生來(lái)說(shuō)，極易培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。

1.2合情推理的意義

波利亞一再呼吁數(shù)學(xué)問(wèn)題是千變?nèi)f化的，有些是解題的多變化，有些是從二維上升到三維層面的思想轉(zhuǎn)變等等，只要對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的引導(dǎo)，就能不斷培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中使用合情推理的意識(shí)。丘成桐院士曾在多個(gè)場(chǎng)合談起我國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教育：“現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)于依賴做題目，而缺乏培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。做那么多重復(fù)的題目干什么？浪費(fèi)學(xué)生寶貴的時(shí)間。依我看來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)中的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的廣泛認(rèn)識(shí)，并從中能夠去猜想、創(chuàng)造，這才是我們需要去做的工作?！币虼?，筆者以為，初中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從已知的知識(shí)去開(kāi)拓未知的知識(shí)是我們教育學(xué)生運(yùn)用合情推理的意義所在！數(shù)學(xué)教學(xué)需要合情推理，就像黑暗中的一盞明燈，對(duì)合情推理的教學(xué)必需予以重視，要從多方面的角度進(jìn)行多元化的嘗試。

2.合情推理的實(shí)踐

新課程的理念是著力培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力，開(kāi)發(fā)其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)、摸索知識(shí)形成的過(guò)程，因此教師努力在教學(xué)中滲透合情推理的思想、在解題教學(xué)中冠以合情推理的嘗試、在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)結(jié)合合情推理、在課后的數(shù)學(xué)探究中多多進(jìn)行合情推理的合作，那么通過(guò)全方位、多元化的手段對(duì)學(xué)生進(jìn)行合情推理模式的熏陶，這樣我們不僅僅教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，也提高了學(xué)生用已知知識(shí)去應(yīng)對(duì)未知問(wèn)題的能力，這不正是和新課程理念殊途同歸嗎？

2.1在概念教學(xué)中的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)的函數(shù)概念是在從具體向抽象轉(zhuǎn)變的一個(gè)概念（北師大版九年級(jí)），非常的形式化，筆者是這樣嘗試合情推理的教學(xué)：

師： 我們?cè)趺纯创宰兞縳呢？對(duì)大家而言，x就是土豆！我們把對(duì)應(yīng)法則f它看成土豆加工機(jī)，函數(shù)值y可以看成是各種土豆食品，如圖：

生：這樣，我就比較能理解什么是函數(shù)關(guān)系了，這個(gè)推理很恰當(dāng)。

師：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的概念，比如就是一個(gè)函數(shù)，請(qǐng)大家想想還有其他的函數(shù)嗎？

生：比如y=2x，y=x 等等。

說(shuō)明：筆者前半部分采用了“情境式教學(xué)”，用新穎的“土豆加工機(jī)”給直觀、感性理解能力較強(qiáng)的初中生帶來(lái)了概念學(xué)習(xí)的輕松化，后半部分則采用“啟發(fā)式教學(xué)”——舉例曾經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)，并啟發(fā)學(xué)生真正進(jìn)入函數(shù)概念的世界，整個(gè)教學(xué)過(guò)程中輕松的以合情推理的方式，將類比推理運(yùn)用的恰到好處，教學(xué)方式新穎，引入“土豆加工機(jī)”來(lái)烘托枯燥概念帶來(lái)的不足、點(diǎn)燃了課堂的氣氛，讓學(xué)生充滿活力、饒有興趣的面對(duì)整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中最難、最重要的概念，進(jìn)而輕松破解納入自己的知識(shí)體系.筆者想，若我們教學(xué)中多份這樣的合情推理，那么盡管我們的學(xué)生在若干年之后可能記不起數(shù)學(xué)知識(shí)，但是永遠(yuǎn)不會(huì)忘記教師教給他的那份學(xué)習(xí)的自信和輕松。

2.2在中考解題中的體現(xiàn)

合情推理在解題教學(xué)中有著重要的考查，如各地每年中考卷中，常常出現(xiàn)以合情推理為考查對(duì)象編制的中考試題，這些問(wèn)題難度適中，主要是從研究考題規(guī)律的角度去尋求問(wèn)題的答案，將合情推理演繹的淋漓盡致。

2013年沈陽(yáng)中考，有一組等式：1 +2 +3 =3 ，2 +3 +6 =7 ，3 +4 +12 =13 ，4 +5 +20 =21 ……，請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第8個(gè)等式為_(kāi)____。

以上中考題考查了學(xué)生的合情推理能力，應(yīng)該來(lái)說(shuō)對(duì)中等以上的學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大，平時(shí)教學(xué)中也有所體現(xiàn).這些問(wèn)題的在試卷中一般屬于中檔試題，有一定的區(qū)分度，重點(diǎn)在于區(qū)分學(xué)生能否運(yùn)用推理能力將未知情境的問(wèn)題融入到已知知識(shí)中去解決，關(guān)于上述問(wèn)題的答案，限于篇幅不贅述。

2.3在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)中的嘗試

合情推理隨著計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)在數(shù)學(xué)教育方面的廣泛使用，也正在受到越來(lái)越重視.筆者覺(jué)得計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)正體現(xiàn)出越來(lái)越強(qiáng)大的交互功能，在教學(xué)中（尤其是公開(kāi)課），師生可以通過(guò)交互性使得學(xué)習(xí)的過(guò)程得以完美的展示，而且計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)和合情推理的結(jié)合，使得推理教學(xué)達(dá)到了高效、簡(jiǎn)捷，又富于變化，使得既確保教學(xué)目標(biāo)的順利進(jìn)行，又保證學(xué)生積極的參與度，最終帶來(lái)了興趣和成績(jī)的雙豐收。

如在計(jì)算機(jī)上用《幾何畫板》任意畫一個(gè)三角形，量出它的三個(gè)內(nèi)角并計(jì)算這三個(gè)內(nèi)角的和，然后通過(guò)拖動(dòng)三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)來(lái)改變?nèi)切蔚男螤?，再量出變化后的三個(gè)內(nèi)角并計(jì)算內(nèi)角和.從而推理出“三角形內(nèi)角和等于180度”這一結(jié)論。

通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)（本例使用幾何畫板），讓學(xué)生在做中學(xué)，在交互中通過(guò)合情推理得到的知識(shí)不僅給予他們更高的準(zhǔn)確度，而且遺忘率也較低，充分體現(xiàn)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的高效課堂教學(xué)與傳統(tǒng)推理的優(yōu)異結(jié)合。

2.4在合作探究中的使用

古語(yǔ)云：“兩耳不聞窗外事，一心只讀圣賢書?！痹谂c時(shí)俱進(jìn)的新課程初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，這句古語(yǔ)顯得有些落伍.在強(qiáng)調(diào)建構(gòu)主義的今天，學(xué)生很多知識(shí)需要通過(guò)其主動(dòng)建構(gòu)而完成，沒(méi)有團(tuán)隊(duì)合作探究，那么問(wèn)題的解決顯得費(fèi)時(shí)，因此新課程強(qiáng)調(diào)探究合作學(xué)習(xí)模式的重要性和必要性。

以平面幾何為例，它在培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、邏輯推理能力上有著很重要的作用.對(duì)平面幾何某些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)需要有一定的教法。筆者多采用合情推理的教學(xué)模式，是這類知識(shí)成功教學(xué)的重要保證.教師要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行合作指導(dǎo)，通過(guò)合作化、活動(dòng)化來(lái)培養(yǎng)學(xué)生聽(tīng)、想、說(shuō)的能力，提高學(xué)生合情推理的能力和合作學(xué)習(xí)的態(tài)度；另一方面，通過(guò)這樣合作探究，教育學(xué)生要學(xué)會(huì)站在全面的的角度辨析、考慮問(wèn)題（可以多次使用推理甚至反例推理）。

如在《全等三角形的條件》的課堂教學(xué)合作化、活動(dòng)化討論模式中，讓學(xué)生探索三角形全等的條件，按照學(xué)生的不同水平進(jìn)行分組、探究，20分鐘的活動(dòng)時(shí)間，使最終各組發(fā)表他們的一些推理結(jié)果。

（1）A組總結(jié)了SSS的全等條件（正確）；

（2）B組總結(jié)了SAS的全等條件（正確）；

（3）C組總結(jié)了AAS的全等條件（正確）；

（4）D組總結(jié)了SSA的全等條件（錯(cuò)誤）；

本次課的教學(xué)較為成功，合作探究提供了學(xué)生寬廣的平臺(tái)，活動(dòng)化指導(dǎo)了學(xué)生不必拘泥于傳統(tǒng)的課堂，這樣條件下利用的合情推理往往結(jié)合了多人的智慧，有益于正確結(jié)論的快速形成，提高課堂教學(xué)的效率，而且人人參與這正是新課程實(shí)施的理念！但有些方面也需要注意：筆者觀察有的同學(xué)沒(méi)有認(rèn)真去推理、分析問(wèn)題，導(dǎo)致后來(lái)在答題時(shí)，回答的不夠全面.另外，在這類幾何問(wèn)題合作化、活動(dòng)化課堂教學(xué)中，合情推理使用也需要一個(gè)度，切勿讓課堂陷入只有形式的偽探討中。

3.合情推理的思考

（1）合情推理的經(jīng)驗(yàn)性：由合情推理的概念，我們可以知道合情推理來(lái)自于個(gè)體的已知知識(shí)范疇，那么個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)就顯得極為重要， 個(gè)體經(jīng)驗(yàn)較多則合情推理的準(zhǔn)確度越高，反之則較低；

（2）合情推理的自由性：合情推理是由已知推導(dǎo)未知的知識(shí)，因此對(duì)每個(gè)學(xué)生而言，他們的推理結(jié)果均具備不等同性，在自由度上較為開(kāi)放，比較適合學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)和對(duì)個(gè)性化教育的展開(kāi)；

（3）合情推理的創(chuàng)新性：正因?yàn)橛兄杂尚?，因此學(xué)生對(duì)推理的結(jié)果也會(huì)百花齊放，在推理上會(huì)出現(xiàn)各種各樣創(chuàng)新式的結(jié)論，這也和新課程努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維的理念密切相關(guān)；

（4）合情推理的不確定性：合情推理既可以是從個(gè)別到普通的推理，也可以是從特殊到一般的推理.有時(shí)還可以是從一個(gè)普通到另一個(gè)普通的推理.所以，合情推理所產(chǎn)生的結(jié)果的正確與否，并不完全取決于問(wèn)題的前提條件.再加上合情推理離不開(kāi)學(xué)生對(duì)知識(shí)的聯(lián)想與猜想，這就說(shuō)明了合情推理的條件與結(jié)論之間并無(wú)必然性的因果關(guān)系.有時(shí)即使條件是正確的，也會(huì)由于學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異，有時(shí)還可能出現(xiàn)不正確的結(jié)論，因而通過(guò)合情推理而得到的結(jié)論還有待于理論和實(shí)踐的檢驗(yàn)、證明。

總之，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人推理能力的最佳途徑，作為教師應(yīng)要根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際，積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行推理能力的訓(xùn)練，主動(dòng)發(fā)展他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，把合情推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)具體環(huán)節(jié)中，從而達(dá)到學(xué)生整體素質(zhì)的全面提高，為學(xué)生的終生發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。

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