利用“隱性”軌跡解決相關(guān)問題

李書芳

【摘 要】高考對于軌跡的考察有兩類：一類是“顯性”軌跡問題，一類是“隱性軌跡”問題，而對于“隱性軌跡”問題學(xué)生不容易看透，這種軌跡問題涉及數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域，借助于軌跡及軌跡方程可以大大簡化解題過程，提高解題速度，達(dá)到事半功倍的效果。

【關(guān)鍵詞】隱性；軌跡；解題思路；動態(tài)

利用已知條件求軌跡方程是解析幾何主要研究的問題之一，而再利用軌跡方程解決相關(guān)的最值、范圍問題也是高考的熱點(diǎn)問題，特別是一些“隱性”軌跡問題，這類題目具有一定的隱蔽性，表面上看上去與求軌跡方程毫無關(guān)系，如果學(xué)生在解決相關(guān)范圍、最值問題的時候偏離了方向，會給解題帶來了很大的難度，從而陷入困境，無法突破。

從這幾年的江蘇數(shù)學(xué)高考試題來看，對軌跡方程的考察一直在延續(xù)，這充分利用了“動態(tài)”分析的思想，也體現(xiàn)了解析幾何的特點(diǎn)，所以在高考復(fù)習(xí)中我們教師要重視這一類題型，弄清這類題型的特點(diǎn)和解題思路，提升學(xué)生處理這一類問題的能力。下面列舉幾例與隱性軌跡相關(guān)的一些問題：

1.與三角中有關(guān)的“隱性”軌跡問題

例1：（2008年江蘇高考題）若AB=2，AC= BC，則S 的最大值為_____。

解：因為AB=2（定長），可以以AB所在的直線為軸，其中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC= BC可得

化簡得（x-3） +y =8，即C在以（3，0）為圓心，2 為半徑的圓上運(yùn)動。又S = ·AB·|y |=|y |≤2 。

評注：本題可以通過三角形的面積公式及余弦定理解決，但運(yùn)算比較繁瑣，通過建立坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)的方法研究點(diǎn)C的特點(diǎn)（直接求出動點(diǎn)C的軌跡方程），從而利用動點(diǎn)C到AB的距離的最大值來求出面積的最大值，不但思路變得清晰，而且運(yùn)算變得更加簡潔。

例2：在△ABC中，已知AB=2，AC -BC =6則tanC的最大值為_____。

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A（-1，0），B（1，0），C（x，y）則[（x+1） +y ]-[（x-1） +y ]=6，化簡得x= ，過點(diǎn)C作x軸垂線交x于點(diǎn)H，設(shè)CH=t（t>0），tanC=tan（∠ACH-∠BCH），因為tan∠ACH= ，tan∠BCH= 所以tanC= ≤ = ，“=”當(dāng)且僅當(dāng)t= 時取得，所以tanC的最大值為 。

評注：本題利用建立坐標(biāo)系，把條件合理轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C的軌跡問題，再結(jié)合基本不等式求出最大值。對于本題學(xué)生如果方法選擇不好，那么運(yùn)算量以及思路會有差異，比如學(xué)生會先求cosC= = ，那么下面解決就比較麻煩，我們可以利用基本不等式中的一個齊次的做法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，cosC= = = （ + ）≥ ，進(jìn)而求出tanC的最大值，問題也能得到解決，不過思維量較大，由此可見巧妙地利用軌跡方程可以簡化運(yùn)算過程。

例3：在△ABC中，若a +b +2c =8，則S 面積的最大值為____。

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)B（c，0），C（x，y），由題意，得（x-c） +y +x +y +2c =8，化簡得（x- ） +y = ，則S = ×AB|y |，S = ×AB ×y ≤ c × = [-5（c - ） + ≤ ，所以當(dāng)c = 時，S 面積的最大值為 。

評注：本題可以采用余弦定理cosC= = ，消去c，再結(jié)合三角形面積公式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式加以解決，但方法不容易想到，運(yùn)算也比較復(fù)雜，利用求軌跡方程的方法，則使得思路及運(yùn)算更加簡單，不過這種思路帶有一定的隱蔽性。

2.與集合有關(guān)的“隱性”軌跡問題

例4：已知集合A={（x，y）|x +y ≤4}，集合B={（x，y）|-5

解：由題可得到，x =x-x ，y =y-y ，所以（x-x ） +（y-y ） ≤4，而集合B表示的是矩形區(qū)域（不包括邊界），這樣（x-x ） +（y-y ） ≤4所表示的點(diǎn)的軌跡是以（x ，y ）為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，M={（x，y）|x=x +x ，y=y +y ，（x ，y ）∈A，（x ，y ）∈B}所表示的區(qū)域是4個半圓及矩形構(gòu)成的圖形，區(qū)域的面積為124+4π。

評注：本題通過轉(zhuǎn)移代入法，得到集合M中的點(diǎn)的軌跡是（x ，y ）為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，再通過集合B所表示的區(qū)域得到畫出集合M所表示的區(qū)域。不僅考察了對集合描述法的理解，還考察了圓的相關(guān)性質(zhì)。

3.與解析幾何本身有關(guān)的“隱性”軌跡問題

例5：已知圓C：（x-2a） +（y-a-3） =4上總存在兩個點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______。

解：到原點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，圓O方程為x +y =1，由題意得，圓C與圓O兩圓相交，則1< <3，解得-

評注：本題的切入點(diǎn)是對“到原點(diǎn)距離為1”這句話的理解，找到到原點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡，然后結(jié)合條件圓C上存在兩個點(diǎn)，這樣便轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題。

例6：已知圓C：x +y -6x+5=0，點(diǎn)A、B在圓上，且AB=2 ，則| A+ B|的最大值為______。

解：由題意，圓心C到直線AB的距離為1，而AB又是圓C的弦，所以直線AB是以C點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的切線，因為點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡在以C點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，| A+ B|=2| P|，OP∈[2，4]，所以| A+ B|的最大值為8。

評注：本題先找出將 A+ B轉(zhuǎn)化為2 P，找到P點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離的最大值，本題對于向量模的問題學(xué)生也容易想到平方，那么會給解題帶來很大的難度，甚至無法解題。

例7：已知圓C：x +（y-1） =5A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M，若OA=OM，則直線AB的斜率為____。

解法一：因為OA=OM，所以點(diǎn)M在x軸上方，又∠AMC=∠AOC=90 ，所以A，O，C，M四點(diǎn)共圓，圓方程為x（x+2）+y（y-1）=0，而直線AB可以看成是圓O與圓x（x+2）+y（y-1）=0的公共直線，則直線AB為兩圓公共弦所在直線，兩圓相減得2x-y+4=0，則直線AB的斜率為2。

解法二：因為A，O，C，M四點(diǎn)共圓，所以sin∠BAO= ，也可以通過這個方法解決。

評注：本題學(xué)生的解法會偏注于代數(shù)方法，設(shè)出直線AB的方程y=k（x+2），得到直線CM的方程y=- x+1兩直線聯(lián)立得M點(diǎn)坐標(biāo)，再通過0M=2求出，這樣運(yùn)算量要大些，那么通過幾何法發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B雖然是動點(diǎn)，但直線AB可以看出公共弦，以兩圓公共弦作為背景加以解題，大大地減少了運(yùn)算。

4.與立體幾何有關(guān)的“隱性”軌跡問題

例10：已知正方體ABCD-A B C D 的棱長為3，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)部，且PA=3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時形成的區(qū)域把正方體截成的兩部分體積之比為____________。

解：點(diǎn)A為定點(diǎn)，且PA=3，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為球心，3為半徑的球（在正方體內(nèi)部的部分），由于交于A點(diǎn)處的三面角的各個面都是直角，所以在正方體內(nèi)部的那部分是整個球球的 ，則體積為V = × ×3 = ，剩余部分體積V =27- ，所以體積比為 。

例11：兩根直立的旗桿相距14米，高分別是6米和8米，地面上的點(diǎn)P到兩根旗桿頂?shù)难鼋窍嗟?，則點(diǎn)P在地面上圍成的區(qū)域的面積為_________。

解：設(shè)A，B兩旗桿的高分別為h ，h ，則h =6，h =8，以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（-7，0），B（7，0），設(shè)P（X，Y）到兩根旗桿的仰角為α，β，

所以 ，∴ = ，即 = ，則 = ，化簡得（x+25） +y =576，所以點(diǎn)P在地面上形成的軌跡是圓，圍成的區(qū)域面積為576π。

評注：空間圖形的某些軌跡問題，通常會把空間圖形的中的部分元素轉(zhuǎn)化到平面中，利用平面求軌跡的方法加以解決，這類軌跡問題通常會是直線、圓以及圓錐曲線。

5.與函數(shù)有關(guān)的“隱性”軌跡問題

例8：函數(shù)f（x）= （0≤x≤2π）的值域是_______。

解：由于f（x）= ，設(shè)P（1-cosx，1-sinx），點(diǎn)P的軌跡方程（x-1） +（y-1） =1，根據(jù)三角函數(shù)的定義，f（x）=-sin∠POX，當(dāng)點(diǎn)P變化時，∠POX的范圍為[0， ]，所以f（x）的值域為[-1，0]。

例9：函數(shù)f（x）= （0≤x≤2π）的值域為_________。

解：令y=f （x= = 設(shè)P（-4cosx，cos x），則y= 表示的幾何意義是兩點(diǎn)P（-4cosx，cos x）與A（5，1）連線的斜率，而點(diǎn)P的軌跡為y= （0≤y≤1）的一段，當(dāng)直線AP與拋物線相切時，y取最大值，當(dāng)AP平行x軸時，y取最小值，所以0≤y≤ ，即- ≤f（x）≤ 。

評注：以上兩例分別采用構(gòu)造三角函數(shù)的定義和斜率幾何意義，找到點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，利用點(diǎn)的軌跡方程，從而解決比較復(fù)雜的值域問題。

現(xiàn)行的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗）》對軌跡問題沒有過高的要求，但在近幾年的高考中不少題目看似與軌跡無關(guān)，題目中也沒有明顯地指向求軌跡或軌跡方程，可謂是“明修棧道，暗度陳倉”。這類“隱性”軌跡問題滲透在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，與數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)，學(xué)生在處理這類問題時，往往會偏離解題方向，導(dǎo)致運(yùn)算量和思維量偏大，究其主要原因是學(xué)生在處理這一類問題時，向軌跡轉(zhuǎn)化的意識不強(qiáng)，沒有動態(tài)分析的思想指引，思考問題的視野不夠開闊，教師在平時教學(xué)中要有意無意地涉及到這類問題，充分挖掘“隱性”軌跡及軌跡方程，這樣會大大簡化解題過程，提高解題速度，達(dá)到事半功倍的效果。雖然對于軌跡這一類問題不能深挖，但我們必須要重視軌跡問題的基本方法、基本題型，讓學(xué)生在處理這類題型時能有一定的轉(zhuǎn)化意識，形成基本的軌跡思想。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳新建.解析幾何復(fù)習(xí)應(yīng)重視軌跡思想的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（3）：39-41