多開一扇窗：基于教與學視角的轉(zhuǎn)變

摘要：《百分數(shù)的意義》同課異構(gòu)活動，很好地闡釋了更高觀點下“教什么”的教材研讀方法，以及源于學生學情、教學內(nèi)容本質(zhì)、基于創(chuàng)生等多視角下“學什么”的教學演進，為師生多開了一扇窗，有效促進了數(shù)學理性思維的生長。

關鍵詞：百分數(shù)；教學視角；教材研讀；理性思維

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）06B-0063-05

2016年的11月，在常州市潘小福培育站開展的一次數(shù)學研討活動中，荊亞琴老師和特級教師陳美華同課異構(gòu)了蘇教版《百分數(shù)的意義》，兩人執(zhí)教基點和研究視角不同，示范了兩節(jié)高質(zhì)量的數(shù)學概念課，不僅多呈現(xiàn)了一種分析數(shù)據(jù)觀察世界的視角，也給老師提供了另一種研課的維度。

一、更高觀點下“教什么”的教材研讀：從節(jié)點內(nèi)容走向整體綜合

德國數(shù)學教育家克萊因說：“基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應當掌握或了解數(shù)學的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及數(shù)學教育的演化經(jīng)過?！苯K省常州市鄉(xiāng)村小學數(shù)學骨干教師培育站站長、常州市教育科學研究院潘小福副院長亦指出“隨著課改的不斷深入，除了繼續(xù)探尋‘怎么教得有效、高效外，更要加強‘教什么的研究，構(gòu)建適合時代發(fā)展需要及符合科學數(shù)學思想內(nèi)涵的小學數(shù)學課程內(nèi)容體系”[1]，并且“教學一種知識，為的是多一種視角，多一種方法?！?/p>

1.百分數(shù)的關系架構(gòu)視角：要有什么

史寧中教授指出：數(shù)學的本質(zhì)是在認識數(shù)的同時，認識數(shù)量之間的關系（多與少），進一步抽象，是“數(shù)及數(shù)之間的關系（大與?。薄Ｎ覀冎?，兩個相關聯(lián)的數(shù)或數(shù)量之間的關系，小學階段主要可以分化為兩類：一是加減運算的和差關系，二是乘除運算的倍比關系。百分數(shù)便隸屬于倍比關系。而與百分數(shù)有密切關聯(lián)的分數(shù)可以作為單獨的數(shù)量而存在，也可以表達兩個數(shù)或數(shù)量之間的關系。所以，百分數(shù)的意義建構(gòu)就更需要有這么一個整體的體系架構(gòu)：關系建立的教與學，并從中聚焦出倍比關系，進而進一步將分數(shù)“特殊化”，生成百分數(shù)，在知識的長程體系中整體把握“百分數(shù)”的內(nèi)涵本質(zhì)。

可以肯定的是，每一節(jié)課的教學意義，并不僅僅體現(xiàn)在“這一節(jié)課”本身，而是以課為載體，有目的、有計劃、整體地展開系統(tǒng)的長程設計，使一節(jié)課既在課時內(nèi)部擁有具體的設計考量和課時目標的層次遞進，又在課時之間體現(xiàn)課堂教學長遠目標的關聯(lián)和價值取向的探尋。[2]

2.百分數(shù)的教材演變視角：為了什么

前后兩版教材中，百分數(shù)的意義教學都是安排在六年級第一學期最后一個新知教學單元的第1課時，主要是理解百分數(shù)的意義，會正確讀、寫百分數(shù)，并能適當應用。教材編排的例題，作為教學的“例子”，也悄然發(fā)生著變革。

原實驗版教材（如圖1）編排了三位籃球隊員各自練習投籃的總次數(shù)和投中次數(shù)，用“誰投中的比率高一些”進行問題統(tǒng)領。一方面，由于三名隊員投籃次數(shù)介于20-30之間，個數(shù)差異不算大，反顧生活和古典概率中的“數(shù)據(jù)抽樣”，合理性可控。只是在教學中許多老師又人為地把數(shù)據(jù)進行調(diào)整，如10、25、50，人為擴大了數(shù)據(jù)的懸殊，使得數(shù)據(jù)抽樣不對等，背離了生活中的公平倫理，影響了數(shù)據(jù)說服力和小學生數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)。另一方面，從數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)和問題的指向性來看，問題解決的路徑是單一的：只能比較投中次數(shù)與占投籃次數(shù)的比率，而現(xiàn)實生活卻并非如此。

于是，2013教育部審定教材作出了調(diào)整（如圖2），用同一個球隊的三場比賽中投籃次數(shù)與投中次數(shù)的數(shù)據(jù)作為參照，從三名隊員到一個球隊，所用的6個數(shù)據(jù)一個沒變，改變的問題“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況”卻可以讓學生思維蓬發(fā)?！翱梢浴眱蓚€字清楚地表明學生比較數(shù)據(jù)的路徑顯得多元：不再只能把投籃次數(shù)與投中次數(shù)關聯(lián)比較，還可以單獨比較投籃次數(shù)（可以看出球隊的拼搶精神與機會創(chuàng)造），或者單獨比較投中次數(shù)（相對而言投中次數(shù)越多得分也越多）。這就把百分數(shù)的意義放置到了更加具體而豐富的系統(tǒng)中去聚焦、抽象，從而觸及百分數(shù)的意義脈搏，從節(jié)點性的倍比關系教學，進入到數(shù)與數(shù)的多種關系范疇中整體綜合，豐富了師生教與學的視域。

二、多視角下“怎么學”的教學推進：從概念獲得走向思維生長

小學生認知規(guī)律告訴我們，數(shù)學概念或規(guī)律的獲得一般需要經(jīng)歷具體形象階段到理性抽象階段。認知過程既需要直觀經(jīng)驗形成數(shù)學表象的支撐，也需要及時概括實現(xiàn)數(shù)學化的抽象。[3]《百分數(shù)的意義》在現(xiàn)實中常常泛化成這樣的教學模式：聚焦問題情境（教材例題）→交流揭示概念→應用鞏固內(nèi)化（介紹生活事例、對比辨析分數(shù)百分數(shù)和比等等）。但教學背景卻不是一成不變的，這就為“怎么學”提供了更多的路徑可能性與現(xiàn)實性。

1.源于學情，多一種概念解讀的視角

“教學是在經(jīng)驗中、由于經(jīng)驗和為著經(jīng)驗的一種發(fā)展過程，顯然對‘兒童已有經(jīng)驗的不定讀解會影響兒童經(jīng)驗成長的可能。”[4]兩節(jié)課中學生都經(jīng)歷了“生活現(xiàn)象——數(shù)學解釋——生活應用”的橫向數(shù)學化過程。荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為：數(shù)學可以當成是一種“活動”，“數(shù)學化”是實施這個活動的方式，也是這個活動的目的?！皵?shù)學化”可以分為兩類，第一類是“橫向數(shù)學化”，注重把生活世界引向數(shù)學的符號世界，是從現(xiàn)實情境引向數(shù)學體系，建立聯(lián)系。第二類是“縱向數(shù)學化”，注重在數(shù)學符號的世界里，從數(shù)學體系內(nèi)部實現(xiàn)抽象符號的生成、變換、重塑與應用。[5]

比如荊亞琴老師的課堂立足教材，先僅出示例題“一個球隊的三場比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計表”，提問“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況？”學生依據(jù)自身的生活經(jīng)驗與數(shù)學思維，很容易想到“單獨比較投中次數(shù)”判斷得分多與少，或者“只比投籃次數(shù)”考量機會制造、競技精神，這兩種比較方式都是單獨比較“和差關系”中的“差”類，符合生活世界的現(xiàn)實，蘊含人文素養(yǎng)。當然思維層次更高的學生還會想到聯(lián)系“投籃次數(shù)”與“投中次數(shù)”兩者之間的關聯(lián)，即投中次數(shù)與投籃次數(shù)的倍比關系進行比較，師生共同補上一列后形成例題表格。這種比較方法正是本課百分數(shù)教學的意旨。需要強調(diào)的是，教師應表明三種比較方法都是可行的態(tài)度，都能解決“三場比賽的投籃情況”，讓學生明確在這種生活情境下，百分比只是多種比較方法中的一種，是在原有比較基礎上的延展，并不是為學新知特意“肯定比率”“否決和差”，從而較好地站在兩個數(shù)量的關系比較（和差關系與倍比關系）上形成百分數(shù)意義的整體把握。

特級教師陳美華老師的概念教學又是另一番風景。一開始讓學生說說“班級男女生人數(shù)情況”，自然地生成了兩種數(shù)量的比較關系：和差與倍比，一下子就把百分數(shù)放到了一個大框架體系之下，整體上初步感知比較方法?；趯W生課前收集了百分數(shù)迫切希望交流的意念，先“從學生中找例子”，適時板書揭示描述性概念“100%、10%、85.13……是百分數(shù)”后，“大家從外形上認識了百分數(shù)，到底怎樣的數(shù)是百分數(shù)呢”的設問，通過三個百分數(shù)例子小結(jié)出“像這樣表示（ ）是（ ）的特定的百分之幾的數(shù)，可以用百分數(shù)來表示”。教學了讀、寫法之后引導學生回顧“我們是怎樣來分析的？都是誰是誰的百分之幾？”在思維生長中建立模型?！澳隳芤蚕襁@樣來分析自己收集的百分數(shù)的含義嗎”的數(shù)學化表述，促進了百分數(shù)意義的內(nèi)化，實現(xiàn)了數(shù)學與生活的有效鏈接。

課后，陳老師這樣闡述：《百分數(shù)的意義》經(jīng)過了兩輪教材改變，都是用數(shù)學演繹的方式，從百分數(shù)生成的角度，從分數(shù)通分到一百分之幾，這樣一種意思生成的方式來看，它是比較科學的。從數(shù)學歸納的角度來說，用數(shù)學模型提煉“（ ）是（ ）的百分之幾”的這一種屬于合情推理。合情推理的結(jié)論可能是正確的，也可能是不正確的。這種教學方法學生會感到親切、容易接受。在備課的過程中自己也經(jīng)歷了很多困惑，一邊教學一邊感悟?qū)W生的經(jīng)驗水平能不能適應這樣的一種學習方法，既然能夠適應，在以后的教學中還可以繼續(xù)嘗試和深化。

縱觀兩節(jié)課的概念解讀視角與教學過程，無論是荊老師的“演繹生成”還是陳老師的“推理歸納”，都做到了較好地“既自然地順應了學生的認知規(guī)律，又將學生的思維引入了深層次的思考，將學生淺而不全的自然結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為準確完整的知識結(jié)構(gòu)，把學生看似隨意、表面、感性的知識轉(zhuǎn)變?yōu)樯顚?、發(fā)展、理性的數(shù)學素養(yǎng)?！盵6]

2.立于本質(zhì)，多一種數(shù)據(jù)分析的視角

百分數(shù)本質(zhì)上就是兩個相關聯(lián)的量之間進行比較的倍比關系，只是為了便于比較而規(guī)約成分母是100。這既是對分數(shù)分母進行的數(shù)據(jù)分析，也是對百分數(shù)的應用化解讀。

關于核心詞“數(shù)據(jù)分析觀念”，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》這樣描述：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法……”[7]比如前面案例中荊老師課堂中學生面對“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況”就要先體會三場比賽中投籃次數(shù)與投中次數(shù)等6個數(shù)據(jù)反映出的信息，交流討論出三種比較方法，這是“通過分析作出判斷”的數(shù)學思辨，是對“對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法”的較好例證。

許多時候我們總是習慣于在“統(tǒng)計與概率”范疇進行思考與研討，其實不然。個人以為，數(shù)據(jù)分析的方法可以從統(tǒng)計圖表等外在形態(tài)轉(zhuǎn)向分析數(shù)據(jù)時內(nèi)在“眼光”擴張。對于百分數(shù)意義，也可以從數(shù)據(jù)分析的視角進行觀察。比如荊老師設計了“男生是女生的45%，男生是女生的 ，從中你知道些什么呢？”的開放問題，學生情緒高漲，用心分析數(shù)據(jù)“45%”，充分調(diào)動了知識儲備。于是有的學生用分數(shù)表達了誰是誰的幾分之幾，有的學生用比闡述了誰和誰的比是幾比幾，有的學生用份數(shù)描述出誰幾份、誰幾份。無論是分數(shù)、比還是份數(shù)，它們的本質(zhì)內(nèi)涵都是因倍比關系而“生”，所以，這里的數(shù)據(jù)分析是基于百分數(shù)的本質(zhì)的。百格圖中用百分數(shù)表示涂色部分后“還能看到什么百分數(shù)？”切換了觀察視角，分析出結(jié)論“涂色部分表示的百分數(shù)+空白部分表示的百分數(shù)=100%”，學生從一個數(shù)據(jù)的“這一面”看到了“另一面”，從部分與總量的結(jié)構(gòu)關聯(lián)上加深了對百分數(shù)的意義理解。

作為數(shù)據(jù)，百分數(shù)也“需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法”表達。比如教材中的這組習題就表明了百分數(shù)的選擇性，并且它包含于分數(shù)（見圖3）。再如陳老師課尾設計了“選填百分數(shù)”活動（見圖4），就需要學生在不同的情境中進行有效甄別，并結(jié)合所提供百分數(shù)的內(nèi)容本質(zhì)，尋找依據(jù)，用適當?shù)姆绞椒椒ㄕ归_估約，建立推算，用生活經(jīng)驗推理出合理可信的結(jié)果，體會百分數(shù)的數(shù)據(jù)豐富與應用價值。這不僅限于課時的“節(jié)點性理解”，更是打破了教材中所呈現(xiàn)的百分數(shù)的分子都是整數(shù)的局限，也拓寬了學生的思維視野。

對于新知的認知，往往需要經(jīng)歷從外部的基本認識逐步向內(nèi)部的深化認知的教學過程，最終實現(xiàn)整體認知，走向綜合應用。學生在觀察、比較、分析數(shù)據(jù)的同時，培養(yǎng)著用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學表達解釋生活，用數(shù)學的思維分析問題、綜合解決問題的能力。

3.基于創(chuàng)生，多一種意義體驗的視角

百分數(shù)的概念本身，有著深刻的內(nèi)涵，也具備豐富的外延，部分量與部分量之間、部分量與總量之間有著相應的規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學的張力，加寬學生的認知面。作為教學的“供給側(cè)”，面對百分數(shù)的“意義存在”，如何讓學生多一種體驗的觸感呢？由學生在一定的情意中生長或創(chuàng)造出百分數(shù)，讓學生自己去對兩個數(shù)量之間的倍比關系進行了探尋、內(nèi)化與表達應用，有利于加深對概念的本質(zhì)理解與豐富體驗。

比如在荊老師課中學生分析6個數(shù)據(jù)得出的第三種方案“比較投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾”，因分母不同不便比較，學生很自然地產(chǎn)生通分需求，得到分數(shù)是100的分數(shù)，百分數(shù)應需而生。在課尾的時候，荊老師設計了“30秒口算”的游戲環(huán)節(jié)，明確了以10題為比較標準，學生用所學百分數(shù)說說自己或猜猜他人的得分情況，充分經(jīng)歷了百分數(shù)生成的全過程，并且與同伴進行交流分享，豐富了意義體驗。尤其是課的最后，學生用百分數(shù)描繪這一節(jié)課的心情愉悅度，更是把課堂氛圍推向高潮，從情感體驗上后延。

陳老師的課堂，也在設計游戲中創(chuàng)生出分數(shù)的活動：挑戰(zhàn)記憶力。屏幕上出示10個百分數(shù)，10秒后消失，學生背記下來，校對要各自表達自己的“正確率”。因為總個數(shù)10個已然很明確，所以學生相對容易地能說出各自正確率是多少，并較好地體會到了百分數(shù)為什么又叫“百分比”，促進了數(shù)學理性思維的發(fā)展。

站在分數(shù)的立場、站在倍比關系的體系下，兩位老師的“游戲創(chuàng)生”還可以更進一步：既然已經(jīng)約定了“10”為比較的標準量，是不是可以趁勢拓展至十分數(shù)、千分數(shù)、萬分數(shù)呢？畢竟，這在生活中也有應用體現(xiàn)，并與百分數(shù)一樣，具有相類似的本質(zhì)特征，它們都是分數(shù)家族中的特殊一員。這樣的具有反襯意蘊的意義體驗，更能促進思維的生長與發(fā)散。

特別值得回味的是，陳老師在游戲前引導學生安安靜靜的沉思：“今天的學習有哪些新的收獲？是怎么來研究百分數(shù)的？”給學生以“結(jié)構(gòu)”，引導學生從一節(jié)課向一類課進行思考。這是一種更大結(jié)構(gòu)上的意義創(chuàng)生，以及更廣視角下的意義體驗。

兩節(jié)《百分數(shù)的意義》，都讓百分數(shù)概念的節(jié)點性理解，走向了過程性，或者說是系統(tǒng)關聯(lián)性的邏輯結(jié)構(gòu)的把握，并多開了一扇窗，對于教材的“教什么”和課堂的“怎么學”作出了很好的詮釋與對話。教育本身就是一個對話的過程。在教材的意蘊、教師的追求、學生的創(chuàng)生等多維視角下，多一種數(shù)學眼光去觀察世界、多一種數(shù)學思維去分析現(xiàn)象、多一種數(shù)學語言去表達數(shù)學故事，學生的數(shù)學思維品質(zhì)和課堂品質(zhì)從原生走向完善，直至豐潤。

參考文獻：

[1][3]潘小福.小學數(shù)學教材解讀的視角舉隅[J].教育視界，2016（8）.

[2]姚建法.數(shù)學課堂教學中的“四向”——參加全國蘇教版小學數(shù)學教材第五屆優(yōu)秀課評比暨課堂教學觀摩會有感[J].小學數(shù)學教育（下半月）， 2016（1-2）.

[4]瞿衛(wèi)華.“前經(jīng)驗課程”：兒童已有經(jīng)驗的教學價值建構(gòu)[J].江蘇教育研究，2015（7-8）.

[5]臧亞麗.姚建法.“橫向數(shù)學化”視角下的教學思辨與效度回歸——以蘇教版四上《簡單的周期》一課的教學為例[J].江蘇教育， 2016（10）.

[6]張嵐.課堂：讓學生“走起來”[J].小學數(shù)學教育（下半月），2015（7-8）.

[7]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京，北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：顏瑩