立體幾何規(guī)則課教學(xué)“三化”策略

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 郭 偉

立體幾何規(guī)則課教學(xué)“三化”策略

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 郭 偉

通常我們把數(shù)學(xué)中關(guān)于公式、定理、法則等內(nèi)容的課堂教學(xué)稱為“規(guī)則課”，公理、定理、推論貫穿高中立體幾何的始終，因此，規(guī)則課是立體幾何的主要課型，在教學(xué)中處于核心地位.眾所周知，新課程降低了立體幾何嚴(yán)謹(jǐn)“邏輯推理”的教學(xué)難度，對其中涉及的定理與推論基本不作嚴(yán)格證明要求，而是要求在加強(qiáng)“幾何直觀”與“空間觀念”的基礎(chǔ)上，主張采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)”.在實(shí)際教學(xué)中，相當(dāng)數(shù)量的教師認(rèn)為空間觀念和幾何直觀固然重要，但它們只能作為發(fā)現(xiàn)命題的一種方式，相比之下，邏輯推理更加容易操作，定理的證明過程還是“唱主角”，立體幾何規(guī)則課教學(xué)又回到了“老路”.若讓立體幾何的教學(xué)承載太多的邏輯推理功能，而忽視空間想象與空間觀念的培養(yǎng)，就容易導(dǎo)致學(xué)生用“生硬的推理”詮釋復(fù)雜的空間關(guān)系.因此，在立體幾何規(guī)則課教學(xué)中，如何能夠凸顯新課程理念，并且實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)是擺在我們面前的一道“難題”.下面筆者就以“平面與平面平行的判定定理”為例，談?wù)剬Υ说目捶?

一、生活化——借助實(shí)物道具，提出問題

我們生活在一個(gè)空間世界，時(shí)時(shí)刻刻都被幾何現(xiàn)象與模型所包圍，大到高樓大廈、公路橋梁，小到橡皮鉛筆、螺絲尺具，這些都是實(shí)實(shí)在在的幾何模型，是發(fā)現(xiàn)幾何直觀與空間觀念的現(xiàn)成載體.不僅如此，還有很多行業(yè)本身就與幾何相關(guān)，其中傳統(tǒng)的木工行業(yè)與立體幾何聯(lián)系最緊密.比如，立體幾何的三大公理都能在木工活中找到其“影子”，木工通常用一把直尺在桌面上處處置放，以檢驗(yàn)桌面是否平整.如果尺上有兩點(diǎn)在桌面上，而有其他點(diǎn)不在桌面上，則就說明桌面不平整，否則桌面就是平的，木工利用的就是“公理1”；在裝箱子的蓋子時(shí)，往往用到兩塊鉸鏈與一把鎖，這就體現(xiàn)了“公理2”的思想；在拼接兩塊木板時(shí)，通常在其中一塊上開一個(gè)“凹槽”，在另一塊上造出一個(gè)“凸起”，然后兩塊木板就可以榫合在一起了，這不就是“公理3”的真實(shí)寫照嗎？因此，現(xiàn)實(shí)模型是發(fā)現(xiàn)幾何定理及性質(zhì)的絕好載體，通過對解決生活中具體問題的思考，從中就可以提出具有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題.

師：這是一個(gè)同學(xué)制作的一條小木凳，你們能否想辦法判斷它是否平穩(wěn)？

生：測量一下小木凳的凳腿，看它們的長度是否一樣.（根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快想到了辦法.）

師：需要測量幾條凳腿的長度？

生1：四條凳腿.

生2：不對，三條凳腿就夠了.

生3：兩條好像也可以.

……

（經(jīng)過學(xué)生討論，最終需要測量三條凳腿長度就行了.）

師：這個(gè)問題反映了立體幾何中的什么性質(zhì)，你能把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？

生4：木凳是否平穩(wěn)取決于凳面與地面是否平行，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為立體幾何中面面平行問題.

師：能否借助凳面與地面平行的方法來判斷空間中平面與平面平行.

生5：若一個(gè)面中有不共線的三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行.

師：這個(gè)判定方法正確嗎？

當(dāng)學(xué)生對空間圖形認(rèn)識(shí)不清時(shí)，基于錯(cuò)誤的空間認(rèn)識(shí)進(jìn)行推理就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論.借助現(xiàn)實(shí)的具體模型不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對于空間問題的理解，而且有利于架起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)原理聯(lián)系的橋梁，這充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生原有的認(rèn)知的基礎(chǔ)上”的建構(gòu)主義教學(xué)理念.

二、公理化——立足知識(shí)體系，尋覓線索

立體幾何是以公理化的方法構(gòu)建的邏輯嚴(yán)密的學(xué)科體系，是數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的明顯體現(xiàn).公理化方法的作用在于，由一組公理作為出發(fā)點(diǎn)，以推演規(guī)則為工具，把某一范圍內(nèi)（或系統(tǒng)）的真命題推演出來，從而構(gòu)建出龐大而復(fù)雜的理論體系.高中的立體幾何教材的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了公理化的思想.教材開門見山地給出平面的定義，將關(guān)于點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的一些基本命題作為公理，然后由公理出發(fā)得到一系列定理，再由定理推出更多定理與推論，依次類推……這種“以少搏多，以先前內(nèi)容推出后續(xù)內(nèi)容”的公理化思想貫穿立體幾何的始終，因此，立體幾何的各部分內(nèi)容可以視為公理系統(tǒng)具有相似結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的思想方法基本相同.這對于立體幾何學(xué)習(xí)的啟示就是梳理回顧前面的知識(shí)，發(fā)掘蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)思想與方法，從而為后續(xù)教學(xué)的有序展開提供有價(jià)值的線索.

經(jīng)過學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)這個(gè)判定方法不成立，并且舉出了反例，如圖1所示，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，在其中一個(gè)平面中，同樣可以找到不共線的三點(diǎn)（到交線距離相等）到另一個(gè)面的距離相等，即便增加“到面的距離相等”的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也無濟(jì)于事.

圖1

師：為什么這種方法對于小木凳有效，而對于平面平行的判定卻無效呢？

生：凳面是有限的，而平面卻可以無限延伸，你無法知道在無限遠(yuǎn)處兩個(gè)平面到底會(huì)發(fā)生什么.

師：要解決面面平行的判定問題，我們可以回憶一下線面平行的判定原理.

生：利用線線平行來判斷線面平行.

師：這其中蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)思想？其實(shí)是利用了“降維”的數(shù)學(xué)思想，把“高維”問題轉(zhuǎn)為“低維”問題.在線面平行的判定中，把維度相對高的“線面平行”轉(zhuǎn)化為維度相對低的“線線”平行來判定.在立體幾何中，“降維”思想無處不在.比如，線與線的位置關(guān)系往往用“點(diǎn)”來刻畫，判斷線是否在面內(nèi)，只需“兩個(gè)點(diǎn)”在面內(nèi)；面與面的位置關(guān)系往往用“線”來刻畫，判斷面與面是否相交，只需存在一條“公共直線”就行了.用“點(diǎn)”刻畫線，用“線”刻畫面，用“一維”來刻畫“二維”，用“二維”刻畫“三維”……用“低維”刻畫“高維”這才是公理化的神奇所在，我們常說的“空間問題平面化”也運(yùn)用了這個(gè)原理.

師：現(xiàn)在你們知道如何判定面面平行了嗎？

生：可以通過線面平行來判定.

于是，本節(jié)課的探究方向得到明確，定理的獲得自然水到渠成.

“公理化”可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，不僅有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)，而且對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力具有重要意義.

三、模型化——開展變式教學(xué)，內(nèi)化認(rèn)知

數(shù)學(xué)家戈?duì)柖≌J(rèn)為，為了了解周圍世界，人們把自己的觀點(diǎn)以及思想組織成概念的體系，這種概念體系就是模型，而用數(shù)學(xué)的語言、方法對各種對象構(gòu)建出來的模型就是數(shù)學(xué)模型.模型是把對象實(shí)體通過恰當(dāng)?shù)倪^濾，用適當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡潔的模仿品，通過這個(gè)模仿品，我們可以了解到所要研究實(shí)體的本質(zhì)，并且在形式上更便于人們對實(shí)體進(jìn)行分析和處理.因此，“模型化”是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.對于高中立體幾何而言，盡管涉及的空間模型千變?nèi)f化，但這些模型都可以看作是長方體、正方體、四面體等幾個(gè)基本模型的“變體”，因此，立體幾何學(xué)習(xí)在很大程度上就歸結(jié)為對于這幾個(gè)基本模型中的點(diǎn)、線、面等位置關(guān)系的探索，而以基本模型為載體開展變式教學(xué)更能夠把空間問題的靈活性與復(fù)雜性展現(xiàn)得淋漓盡致，從而有助于促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化.

在面面平行判定定理的理解與應(yīng)用環(huán)節(jié)中，我們不妨以正方體這個(gè)基本模型為載體，設(shè)置以下變式問題.

例1如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

圖2

圖3

變式1：如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別為AA1，AB，AD的中點(diǎn).求證：平面PQR∥平面CB1D1.

變式2：如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是棱A1B1，AA1，B1C1的中點(diǎn)，在此正方體中，是否存在過點(diǎn)E，M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由.

圖4

“模型化”的目的就是在已有的幾何模型基礎(chǔ)上，再創(chuàng)造性地利用這些模型理解與解決更多的幾何問題，從而實(shí)現(xiàn)思維上的“以不變應(yīng)萬變”.

康德認(rèn)為，人類的一切知識(shí)都是從直觀開始.立體幾何的教學(xué)也應(yīng)如此，定理的發(fā)現(xiàn)、理解、證明與運(yùn)用，只有在充分感知與理解空間圖形關(guān)系時(shí)才能準(zhǔn)確地用邏輯語言表達(dá)出來，空間觀念的理解和把握是在對周圍的環(huán)境直接感知的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、想象、綜合、抽象、分析，不斷由低到高發(fā)展的過程.理性和思維不是空中樓閣、無根之木，它只有在“幾何直觀”的土壤中才能生根發(fā)芽，茁壯成長.立體幾何規(guī)則課的“三化”策略正是上述理念的具體寫照.