試談變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
——以一道高考題為例

☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專 李祖祥

試談變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
——以一道高考題為例

☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專 李祖祥

變式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的教學(xué)手段之一，也是高中教師熟悉的教學(xué)手段，起到融合各知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)體系的作用.優(yōu)秀的老師往往能通過變式訓(xùn)練題組，以點(diǎn)帶面，不但能減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，還能達(dá)到非常好的教學(xué)效果.在這種教學(xué)模式下，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，主動(dòng)性強(qiáng)，課后回味變式，還意猶未盡.筆者通過一道高考題的變式教學(xué)實(shí)踐，粗略談?wù)勱P(guān)于變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

案例：在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則

A.2B.4C.5D.10

該題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但考點(diǎn)不明，如何確定解題方向呢？

一、解法賞析

解法1：考慮到有直角三角形載體，我們可以建系，用解析法求解.

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示，

設(shè)A（4a，0），B（0，4b），則D（2a，2b），P（a，b）.

因?yàn)閨PA|2=9a2+b2，|PB|2=a2+ 9b2，|PC|2=a2+b2，所以=10.

圖1

解法2：作為選擇題，可將直角三角形特殊化，以等腰直角三角形為載體，計(jì)算更簡(jiǎn)單.解題過程略.

解法3：考慮到目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)及中線特點(diǎn)，應(yīng)用中線長(zhǎng)定理應(yīng)該也是不錯(cuò)的選擇.

中線長(zhǎng)定理是關(guān)于三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系的歐氏幾何定理.其文字表述為：三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

如圖2所示，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線長(zhǎng)分別記為ma，mb，mc，則

圖2

圖3

中線長(zhǎng)定理兩次出現(xiàn)在人教版課標(biāo)教材的習(xí)題中（一次在解三角形，一次在直線方程），應(yīng)該引起足夠重視，其證明方法多樣，本文不再敘述，下面應(yīng)用結(jié)論直接解題.

如圖3所示，|AB|=2|CD|=4|PD|=4|PC|.

在△PAB中，應(yīng)用中線長(zhǎng)定理，有|PA|2+|PB|2=2（|BD|2+ |PD|2），

所以2（|PA|2+|PB|2）-|AB|2=4|PD|2，.

所以|PA|2+|PB|2=2|BD|2+2|PD|2=10|PC|2.故選D.

二、變式拓展

如果改變點(diǎn)P在CD上的位置，同樣的目標(biāo)式會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？

在Rt△ABC中，∠C=90°，如圖4，若△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P滿足，則（1）當(dāng)λ=1時(shí)

圖4

按照高考試題的第一種求解思路，不僅計(jì)算略顯麻煩，而且體現(xiàn)不出小題小做的特點(diǎn)，我們依然采用中線長(zhǎng)定理求解.

（1）當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的重心，則PC=2PD.在△PAB中，應(yīng)用中線長(zhǎng)定理，得

2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2

2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2=4|CD|2+4|PD|2=［λ2+（-λ-2）2］|PC|2.

題目雖然得到解決，但總覺得解第（2）小題太麻煩，還是計(jì)算，向量作用不明顯.我們?cè)噲D將中線長(zhǎng)定理與向量知識(shí)結(jié)合在一起求解.

解法2：（2）由解法1知，|PA|2+|PB|2=2（|PD|2+|DC|2）.

選準(zhǔn)考點(diǎn)知識(shí)，輕松快捷解題，這應(yīng)該成為試題研究的一個(gè)重要方向.很多試題，解題方向多樣，一般化雖然是重點(diǎn)，但不一定是最優(yōu)的.優(yōu)化解法，既節(jié)省考試時(shí)間，又能訓(xùn)練思維，一舉多得.

三、幾點(diǎn)思考

1.變式教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生主體參與

現(xiàn)代課程觀認(rèn)為，教學(xué)活動(dòng)是師生共同探求知識(shí)的過程，是教師、學(xué)生、教材、環(huán)境等諸多因素相輔相成的動(dòng)態(tài)成長(zhǎng)的構(gòu)建過程，教學(xué)活動(dòng)要充分體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性，充分落實(shí)學(xué)生的主體地位，以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展為目標(biāo).因此，教師將原本學(xué)生無從下手的試題引導(dǎo)學(xué)生主體參與變式，變式的呈現(xiàn)具有小步子、層層推進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)不同的思維過程，促使學(xué)生思維的廣度得以延伸，思維的深度得以挖掘，并讓學(xué)生觸及高中數(shù)學(xué)解決最值問題的思想與方法.在教學(xué)內(nèi)容完成度上，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)已經(jīng)考慮到了有可能來不及，即使預(yù)設(shè)了幾種變式題型，也無法預(yù)料學(xué)生的想法及其思考和表達(dá)所需的時(shí)間.在“教學(xué)內(nèi)容的完成度”與“學(xué)生思維的提升”間選擇，顯然選擇學(xué)生思維的提升，因?yàn)閷W(xué)生思考和表達(dá)的過程就是其思維呈現(xiàn)的過程，也是自我反思修正的過程.因此，我們應(yīng)該積極鼓勵(lì)學(xué)生主體參與，才能更好地促進(jìn)思維發(fā)展.

2.變式教學(xué)中優(yōu)化變式教學(xué)策略

如何才能將變式教學(xué)做得更有實(shí)效些？這需要教師優(yōu)化變式教學(xué)的策略，需要充分發(fā)揮學(xué)生的主體參與，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主變式，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究，激發(fā)更多的學(xué)生積極參與課堂.關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，科學(xué)合理地呈現(xiàn)學(xué)生設(shè)計(jì)的變式，使變式問題層層遞進(jìn)、螺旋上升，讓學(xué)生有序有向地思考分析問題，使各層次學(xué)生思考之后各有所得.關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，學(xué)生根據(jù)題目原型遷移類比遇到過的類似問題，聯(lián)想所學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、概念、性質(zhì)、定理、思想方法等，讓難以解決的問題擴(kuò)大其“最近發(fā)展區(qū)”，能收獲設(shè)計(jì)問題、解決問題的成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從變化中尋找問題之間的聯(lián)系，從變化中發(fā)現(xiàn)問題不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變化的規(guī)律，從而深刻理解變式中的知識(shí)與思想方法，培養(yǎng)思維的深刻性.關(guān)注問題交流，對(duì)學(xué)生的課堂參與給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)，尊重學(xué)生的課堂主體地位，注意傾聽學(xué)生的聲音，建立起和諧平等的師生關(guān)系，在融洽的氛圍之中將數(shù)學(xué)教學(xué)做得更有實(shí)效些.