例談數(shù)列求和的幾種方法

☉湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 李志紅

例談數(shù)列求和的幾種方法

☉湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 李志紅

數(shù)列求和具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)，是數(shù)列問(wèn)題中的基本題型，問(wèn)題技巧性很強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)難度較大.不過(guò)，只要弄清規(guī)律，數(shù)列求和問(wèn)題便可迎刃而解.本文將通過(guò)例題簡(jiǎn)單介紹數(shù)列求和的一些基本方法.

一、直接用公式法求和

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，除了等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以外，還要常用公式也應(yīng)當(dāng)熟記：

還要記住一些正整數(shù)的冪和公式：

例1已知等差數(shù)列｛an｝中，a3a7=-16，a4+a6=0，求其前n項(xiàng)和Sn.

解：因?yàn)閍4+a6=a3+a7，則a3a7=-16，a3+a7=0，

所以a3=4，d=-2或a3=-4，d=2.

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和是Sn=n2-9n或Sn=-n2+9n.

二、通項(xiàng)公式法求和

利用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列各項(xiàng)，進(jìn)而將其和重新組合為可求數(shù)列的和.

例2求5，55，555，…的前n項(xiàng)和.

三、裂項(xiàng)相消法求和

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，an=bn-bn+m，n，m∈N，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

例3若｛an｝是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，求證：

證明：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d.若d=0，要證結(jié)論顯然成立；若d≠0，得

四、倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列｛an｝直接求解很困難，它的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法.

例4求包含在正整數(shù)m與n（m＜n）之間的分母為7的所有不可約分?jǐn)?shù)之和.

五、錯(cuò)位相減法求和

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

例5已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列｛an｝，｛bn｝（bn≠0，n∈N*）滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

（2）若bn=3n-1，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）cn=2n-1.

（2）得an=bncn=（2n-1）·3n-1，先寫(xiě)出Sn的表達(dá)式：

Sn=1·1+3·31+5·32+7·33+…+（2n-1）·3n-1.①

把此式兩邊都乘以公比3，得

3Sn=1·31+3·32+5·33+…+（2n-3）·3n-1+（2n-1）·3n.②

①-②，得

-2Sn=1+2·31+2·32+2·33+…+2·3n-1-（2n-1）·3n，

-2Sn=（2·30+2·31+2·32+2·33+…+2·3n-1）-（2n-1）·3n-1.

由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得

-2Sn=3n-1-（2n-1）·3n-1，

2Sn=-3n+1+（2n-1）·3n+1=（2n-2）·3n+2，

Sn=（n-1）·3n+1.

此題解答步驟多，每一步都容易出錯(cuò)，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)徹底弄清、完全掌握，爭(zhēng)取做到不丟分.

六、分類討論法求和

對(duì)于有些數(shù)列的求和問(wèn)題，需根據(jù)不同的情況進(jìn)行分類討論才能正確地獲解.

例6求Sn=1-3+5-7+…+（-1）n（2n-1）.

解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=1-3+5-7+…+［（-1）n-2（2n-3）+

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=1+（-3+5）+（-7+9）+…+［（-1）n-2

故Sn=（-1）n+1n.

七、分組法求和

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和.

例7數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝t，點(diǎn)（Sn，an+1）在直線y＝3x+1上，n∈N*.

（1）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列？

（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an+1，cn＝an+bn，Tn是數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和，求Tn.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)（Sn，an+1）在直線y＝3x+1上，

所以an+1＝3Sn+1，an＝3Sn-1+1（n＞1，且n∈N*）.

所以an+1-an＝3（Sn-Sn-1）＝3an，所以an+1＝4an（n＞1，n∈N*），a2＝3S1+1＝3a1+1＝3t+1，

所以當(dāng)t＝1時(shí)，a2＝4a1，數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.

（2）在（1）的結(jié)論下，an+1＝4an，an+1＝4n，bn＝log4an+1＝n，cn＝an+bn＝4n-1+n，

所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（40+1）+（41+2）+…+（4n-1+n）

＝（1+4+42+…+4n-1）+（1+2+3+…+n）

八、待定系數(shù)法求和

當(dāng)求和過(guò)程中一些量直接求比較困難時(shí)，可以采取待定系數(shù)的方法，先設(shè)出相應(yīng)的量，再列方程求解.

例8數(shù)列｛（2n-1）·3n｝的前n項(xiàng)和Sn=________.

解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，等比數(shù)列｛bn｝的公比為q（q≠1），得

am·bm=［a1+（m-1）d］·b1qm-1（m=1，2，…，n）.

先用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛an·bn｝的前n項(xiàng)和Sn：

所以有下面的結(jié)論成立：

若｛an｝，｛bn｝分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列（其公比q≠1），且a1，b1均是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，則數(shù)列｛an·bn｝的前n項(xiàng)和Sn=（an+b）qn-b，其中a，b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

由此結(jié)論就可以用待定系數(shù)法快速求解本題：可設(shè)Sn=（an+b）·3n-b（其中a，b是常數(shù)），

可得S1=3，S2=3+27=30，所以解得所以Sn=（n-1）·3n+1+3.

九、求導(dǎo)法、積分法求和

觀察所給式子的特征，有時(shí)可以通過(guò)求導(dǎo)解決.

（3）求數(shù)列｛（2n-1）·3n｝的前n項(xiàng)和Sn（例6）.

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，待證結(jié)論也成立.

（2）視（1）的結(jié)論為兩個(gè)函數(shù)相等，兩邊求導(dǎo)后即得欲證成立.

（3）（2n-1）·3n=6（n·3n-1）-3n.

由（2）的結(jié)論中令x=3，得數(shù)列｛n·3n-1｝的前n項(xiàng)和為，又?jǐn)?shù)列｛3n｝的前n項(xiàng)和為所以數(shù)列｛（2n-1）·3n｝的前n項(xiàng)和為（n-1）·3n+1+3.

數(shù)列求和的方法千變?nèi)f化，但是數(shù)學(xué)試題具有“源自教材，但高于教材；題在書(shū)外，但是根在書(shū)內(nèi)”的特點(diǎn)，因而在課堂解題教學(xué)活動(dòng)中，需要時(shí)刻注意立足教材，回望教材，“一切從教材中來(lái)，一切又回到教材中去”，從教材提煉數(shù)學(xué)思想方法，使得學(xué)生體會(huì)到解決問(wèn)題的思路、策略、方法源自教材，從而有效地提高創(chuàng)新能力.在平時(shí)的解題過(guò)程中不斷總結(jié)，才能取得長(zhǎng)期的收益.