例析證明數(shù)列不等式的幾種方法

☉湖南省長沙市雅禮中學 朱晨曦

例析證明數(shù)列不等式的幾種方法

☉湖南省長沙市雅禮中學 朱晨曦

數(shù)列是高中數(shù)學的主干內(nèi)容，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接點之一，蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法.高考數(shù)列方面的問題著重考查數(shù)列的基本方法，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸等思想的應用.數(shù)列不等式顧名思義是數(shù)列與不等式的結(jié)合，數(shù)列不等式既能很好地考查學生對數(shù)列和不等式這兩塊知識的掌握程度，又能很好地考查學生的邏輯思維能力，考查學生的雙基（基礎知識和基本技能）.筆者通過平時的學習實踐談談一些數(shù)列不等式證明的通性通法，以饗讀者.

一、構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)列不等式

當要證明的式子和某些函數(shù)有關時，可以構(gòu)造函數(shù)證明.數(shù)列是定義域為正整數(shù)的特殊函數(shù).

例1已知數(shù)列｛an｝滿足（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項an；

（2）設Sn=a1+a2+…+an，Tn=a1·a2·a3·…·an，求證：Sn≤

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-1-x（x≥1），則f′（x）=ex-1-1≥0，故f（x）在［1，+∞）上是增函數(shù).因為n≥1，所以f（n）≥f（1）= 0，移項得en-1≥n，得證！

記Cn=e-n2為數(shù)列｛cn｝的前n項之積，因此易得cn=e-（2n-1）

（n∈N*）.

二、利用放縮法證明

放縮法是證明不等式的一種常用方法，而在證明某些“數(shù)列和式的不等式”中，有兩種較常用的思路：（1）放縮成裂項求和的形式，化簡后再放縮；（2）放縮成等比數(shù)列求和的形式，化簡后再放縮.

1.放縮成裂項求和的形式，化簡后再放縮

如果數(shù)列的通項可以拆成兩項之差，證明和式不等式時，可以考慮先裂項求和再放縮；如果通項不可以直接拆項，則可嘗試先放縮通項，使其可裂項求和，最后再放縮.放縮過程需要注意“度”的調(diào)節(jié)，逐步朝著問題的方向靠攏.

例2設各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝n的前n項和為Sn，且Sn滿足-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

解：（1）（2）此略.

（3）證明：由（2）可知，an=2n，所以

當n∈N*時，由于（4n2+2n）-（3n2+3n）=n（n-1）≥0，故

2.放縮成等比數(shù)列求和的形式，化簡后再放縮

如果某個數(shù)列不能直接求和，但其通項可以放縮成一個等比數(shù)列的通項，證明和式不等式時，可先放縮通項，再求和，最后再放縮.在證明過程中，要善于觀察數(shù)列通項的特點，并結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)形式，合理地選擇放大或縮小.

例3已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

證明：（1）略.

當n∈N*時，由于3n-1≥3n-3n-1=2·3n-1，

三、利用數(shù)列的單調(diào)性證明

單調(diào)性是數(shù)列的一種重要性質(zhì)，在證明數(shù)列不等式時，有時通過判斷原數(shù)列的單調(diào)性即可得證；有時則需通過構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的單調(diào)性論證原不等式，運用這種方法解題關鍵在于要結(jié)合題干的背景和問題構(gòu)造一個恰當?shù)男聰?shù)列，這樣更有助于分析問題和解決問題.而關于數(shù)列的單調(diào)性，常?？赏ㄟ^作差法或作商法加以判斷.

例4已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設數(shù)列｛bn｝滿足an（2bn -1）=1，并記Tn為｛bn｝的前n項和，求證：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*.

解：（1）略.

（2）證明：由（1）得an=3n-1，根據(jù)an（2bn -1）=1可解得

而（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，并且f（n）＞0，

故f（n+1）＞f（n），即｛f（n）｝是單調(diào)遞增數(shù)列.因此，

從而可得3Tn+1-log2（an+3）=log2f（n）＞0，即3Tn+1＞log2（an+3）.

本題從要證明的問題出發(fā)，構(gòu)造出一個新的數(shù)列，并且可利用作商法判斷新數(shù)列的單調(diào)性，進而將該問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題處理.

四、利用數(shù)學歸納法證明

數(shù)學歸納法是一種特殊的證明方法，主要用于研究與正整數(shù)n有關的數(shù)學問題.利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式時，在P（k）?P（k+1）的遞推中，要分析P（k+1）與P（k）之間的關系，明確不等式變形的最終表達式，在變形過程中，有時需要結(jié)合函數(shù)相關性質(zhì)（如單調(diào)性等）、不等式相關背景（如基本不等式、柯西不等式等），以及不等式其他證明方法（如分析法、放縮法等）深入分析，使其沿著問題的方向靠攏.

例5已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn，滿足Sn=2an+（-1）n（n≥1）.

（1）寫出數(shù)列｛an｝的通項公式；

當m=5時，易證不等式成立.

假設當m=k（k≥5）時，不等式成立，

數(shù)學歸納法證明的思路清晰，從中挖掘出與待證問題相關的函數(shù)不等式，為數(shù)學歸納法的巧妙運用埋下伏筆.對數(shù)列不等式左邊含有n項而右邊只有一個常數(shù)時，可以構(gòu)造函數(shù)使得左邊成為單調(diào)遞減的數(shù)列然后利用單調(diào)性加以證明或者用數(shù)學歸納法加以證明，這是對這種數(shù)列不等式證明的通性通法.

五、利用基本不等式證明

關于基本不等式的運用，需要滿足三個條件：①一正，即各項都為正數(shù)；②二定，即和或積為定值；③三相等，即等號能取到.用數(shù)學符號記為（a＞0，b＞ 0），當且僅當a=b時，等號成立；而當a≠b時，則有.在高考數(shù)列不等式證明題中，有時運用基本不等式解答可以實現(xiàn)快速解題的效果.

例6等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

（2）當b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N*），證明：對任意的n∈N*，不等式成立.

解：（1）過程略，r=-1.

（2）證明：由（1）可得an=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2n.

因此，對任意的n∈N*，不等式·…·成立.

以上主要分析證明數(shù)列不等式的幾種有效方法，每種方法在使用中都有各自的特點.在證明數(shù)列不等式時，教師應引導學生要仔細觀察不等式的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)列的通項特點，明確題干信息的背景知識，對比相關證明方法的運用規(guī)律，把握數(shù)列、不等式的重要性質(zhì)，注重知識的融會貫通和方法的相互聯(lián)系，從中選用恰當?shù)姆椒`活解題.