例談不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)問(wèn)題的求解策略
——一道課本習(xí)題的變式探究

江蘇省張家港市崇真中學(xué) 陳 斌

例談不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)問(wèn)題的求解策略
——一道課本習(xí)題的變式探究

江蘇省張家港市崇真中學(xué) 陳 斌

筆者在平時(shí)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在不等式恒成立的條件下求參數(shù)范圍竟然不知所措.筆者在解題實(shí)踐中，總結(jié)解題的多種方法并進(jìn)行對(duì)比分析，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘題目的特點(diǎn)，往往能找到解題的突破口.因此筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劜坏仁胶愠闪?wèn)題中參數(shù)問(wèn)題的求法.

策略一直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值

有的求參數(shù)問(wèn)題，直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.

例1已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R），若不等式f（x）≤0恒成立，確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

學(xué)生基本知道要證明不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，轉(zhuǎn)而求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思路.但忽略了函數(shù)的定義域，雖說(shuō)結(jié)果碰巧正確，但解答過(guò)程錯(cuò)誤.

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

當(dāng)k≤0時(shí)，因?yàn)閤≥1，所以-kx+k+1＞0.所以f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立.

所以f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增.又x→+∞時(shí)，f（x）→+∞.

所以f（x）≤0不恒成立.

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)k的取值范圍為［1，+∞）.

策略二分離參數(shù)利用函數(shù)的最值

對(duì)于一些比較容易分離參數(shù)的函數(shù)，常常分離出變量，再轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)求解.

1.分離參數(shù)——利用極限，先猜后證

解：（1）略.

當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立.

故h（x）在［0，1］上單調(diào)遞減，h（x）≤h（0）=0，

從而知2≤-a，即a≤-2.

2.分離參數(shù)——利用特值，先猜后證

當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立.

不妨取x=1，則有-a≥6cos1-2.5≈0.7∈（0，2）.

由此可猜想，-a的最小值為2.

（以下策略同策略1，略.）

策略三不分離參數(shù)，利用二次求導(dǎo)求解

若分離后無(wú)法求導(dǎo)或解決方法太煩瑣，則不分離參數(shù)，利用二次求導(dǎo)解決.

例3已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

解：（2）由f′（x）=ex-

依g（x）=（x+m）ex-1在［-m，+∞）單調(diào)遞增，且g（-m）=-1，

知存在x0∈（-m，+∞），使g（x0）=0，即（x0+m）ex0 -1=0.

當(dāng)x∈（-m，x0）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

從而，［f（x）］min=f（x0）=ex0 -ln（m+x0）（由（x0+m）ex0

故當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0.

策略四通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍

常?？梢詫㈩}目中的函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)，通過(guò)考慮兩個(gè)函數(shù)的圖像來(lái)確定參數(shù)的范圍，從而可以取得避繁就簡(jiǎn)的效果.仍以例3中題（2）為例：

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，要證明f（x）＞0，只需證ln（x+m）＜ex.

由于函數(shù)g（x）=ex是下凸的，h（x）=ln（x+m）是上凸的.

設(shè)g（x）=ex與h（x）=ln（x+ m）切于點(diǎn)P（x0，y0），

則切線斜率k=ex0且

于是由圖像可知，要使ln（x+m）＜ex，

只需h（x0）=ln（x0+m）小于切點(diǎn)的縱坐標(biāo).

亦即只需ln（x0+m）＜ln

（因x0+m=-中x0+m＞0，知x0＜0.若x0=-1，則m=2.此時(shí)，=ln（x0+m）不成立，故x0≠-1）

從而只需m≤2.故當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0.

把不等式分離成兩個(gè)函數(shù)，再由函數(shù)圖像關(guān)系及參數(shù)幾何意義得出參數(shù)范圍.分離出的兩個(gè)函數(shù)必須一個(gè)是已知的，較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，否則圖像得不到.另一個(gè)帶參數(shù)的函數(shù)也必須是已知的簡(jiǎn)單函數(shù)，參數(shù)的幾何意義明顯才比較容易由數(shù)形結(jié)合得出參數(shù)范圍.而且作為解答題，數(shù)形結(jié)合可能比較難以論述清楚.